甘肃省武威市天祝一中2023-2024学年高二数学第一学期期末复习检测试题含解析

甘肃省武威市天祝一中2023-2024学年高二数学第一学期期末复习检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）A. B.C. D.2．△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（）A. B.（y≠0）C. D.3．已知等比数列中，，前三项之和，则公比的值为（）A1 B.C.1或 D.或4．已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则5．关于的不等式的解集为（）A. B.C.或 D.6．已知p：，q：，那么p是q的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件7．设是双曲线的一个焦点，，是的两个顶点，上存在一点，使得与以为直径的圆相切于，且是线段的中点，则的渐近线方程为A. B.C. D.8．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（）A. B.C. D.9．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：污染指数3060100110130140概率其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（）A. B.C. D.10．命题“对任意，都有”的否定是（）A.对任意，都有 B.存在，使得C.对任意，都有 D.存在，使得11．若命题“对任意，使得成立”是真命题，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.12．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为互斥事件的是（）A.至多有1个白球；都是红球 B.至少有1个白球；至少有1个红球C.恰好有1个白球；都是红球 D.至多有1个白球；至多有1个红球二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，已知与所在平面垂直，且，，，点P、Q分别在线段BD、CD上，沿直线PQ将向上翻折，使D与A重合．则直线AP与平面ACQ所成角的正弦值为______14．如图三角形数阵：132456109871112131415……按照自上而下，自左而右的顺序，位于第行的第列，则______.15．设，则_________16．求值______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆C经过，，三点，并且与y轴交于P，Q两点，求线段PQ的长度.18．（12分）如图，在四棱锥S−ABCD中，已知四边形ABCD是边长为的正方形，点S在底面ABCD上的射影为底面ABCD的中心点O，点P在棱SD上，且△SAC的面积为1（1）若点P是SD的中点，求证：平面SCD⊥平面PAC；（2）在棱SD上是否存在一点P使得二面角P−AC−D的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由19．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且______（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前n项和为，令，求数列的前n项和20．（12分）某话剧表演小组由名学生组成，若从这名学生中任意选取人，其中恰有名男生的概率是.（1）求该小组中男、女生各有多少人？（2）若这名学生站成一排照相留念，求所有排法中男生不相邻的概率.21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，求△ABC面积的最大值.22．（10分）设数列的前项和为，，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）证明：对一切正整数，有.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由轴截面三角形，根据已知可得圆锥底面半径和母线长，然后可解.【详解】轴截面如图，其中，，所以，所以，所以圆锥的侧面积.故选：B2、D【解析】根据三角形的周长得出，再由椭圆的定义得顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，可求得顶点C的轨迹方程.【详解】因为，所以，所以顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即，所以顶点C的轨迹方程是，故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义，由定义求得动点的轨迹方程，求解时，注意去掉不满足的点，属于基础题.3、C【解析】根据条件列关于首项与公比的方程组，即可解得公比，注意等比数列求和公式使用条件.【详解】等比数列中，，前三项之和，若，，，符合题意；若，则，解得，即公比的值为1或，故选：C【点睛】本题考查等比数列求和公式以及基本量计算，考查基本分析求解能力，属基础题.4、D【解析】根据空间直线与平面间的位置关系判断【详解】若，，也可以有，A错；若，，也可以有，B错；若，，则或，C错；若，，则，这是线面垂直的判定定理之一，D正确故选：D5、C【解析】求出不等式对应方程的根，结合不等式和二次函数的关系，即可得到结果.【详解】不等式对应方程的两根为，因为，故可得，根据二次不等式以及二次函数的关系可得不等式的解集为或.故选：C.【点睛】本题考查含参二次不等式的求解，属基础题.6、C【解析】若p成立则q成立且若q成立不能得到p一定成立,p是q充分不必要条件.【详解】因为>0,<1,所以若p：成立，一定成立,但q：成立，p：不一定成立,所以p是q的充分不必要条件.故选：C.7、C【解析】根据图形的几何特性转化成双曲线的之间的关系求解.【详解】设另一焦点为，连接，由于是圆的切线，则，且，又是的中点，则是的中位线，则，且，由双曲线定义可知，由勾股定理知，，，即，渐近线方程为，所以渐近线方程为故选C.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，属于中档题.8、A【解析】根据原函数图象判断出函数单调性，由此判断导函数的图象.【详解】原函数在上从左向右有增、减、增，个单调区间；在上递减.所以导函数在上从左向右应为：正、负、正；在上应为负.所以A选项符合.故选：A9、A【解析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可.【详解】由表知空气质量为优的概率是，由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为，所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率，故选：A【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.10、B【解析】根据全称命题的否定是特称命题形式，可判断正确答案.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意，都有”的否定是“存在，使得”故选：B.11、A【解析】由题得对任意恒成立，求出的最大值即可.【详解】解：由题得对任意恒成立，(当且仅当时等号成立)所以故选：A12、C【解析】根据试验过程进行分析，利用互斥事件的定义对四个选项一一判断即可.【详解】对于A：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“至多有1个白球”与“都是红球”不是互斥事件.故A错误；对于B：“至少有1个白球”包含都是白球和一红一白，“至少有1个红球”包含都是红球和一红一白，所以“至少有1个白球”与“至少有1个红球”不是互斥事件.故B错误；对于C：“恰好有1个白球”包含一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“恰好有1个白球”与“都是红球”是互斥事件.故C错误；对于D：“至多有1个红球”包含都是白球和一红一白，“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，所以“至多有1个白球”与“至多有1个红球”不是互斥事件.故D错误.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】取的中点，的中点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，根据求出，再由空间向量的数量积即可求解.【详解】取的中点，的中点，如图以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，由，即，解得，所以，故，设为平面ACQ的一个法向量，因为，，由，即，所以，设直线AP与平面ACQ所成角为，则.故答案为：14、【解析】由题意可知到第行结束一共有个数字，由此可知在第行；又由图可知，奇数行从左到右是从小到大排列，偶数行从左到右是从大到小排列，第行个数字从大到小排列，由此可知在到数第列，据此即可求出，进而求出结果.【详解】由图可知，第1行有1个数字，第2行有2个数字，第2行有3个数字，……第行有个数字，由此规律可知，到第行结束一共有个数字；又当时，，所以第行结束一共有个数字；当时，，所以在第行，故；由图可知，奇数行从左到右是从小到大排列，偶数行从左到右是从大到小排列，第行是偶数行，共个数字，从大到小排列，所以在倒数第列，所以，所以.故答案为：.15、【解析】求出函数的导数，再令，即可得出答案.【详解】解：由，得，所以.故答案为：.16、【解析】将原式子变形为：，将代入变形后的式子得到结果即可.【详解】将代入变形后的式子得到结果为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】设圆的方程为，代入点的坐标，求出，，，令，即可得出结论【详解】解：设圆的方程为，则，，，，，即,令，可得，解得、，所以、，或、，，18、（1）证明见解析（2）存在，点P为棱SD靠近点D的三等分点【解析】（1）由的面积为1，得到，，由，点P为SD的中点，所以，同理可得，根据线面垂直的判断定理可得平面PAC，再由面面垂直的判断定理可得答案；（2）存在，分别以OB，OC，OS所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，假设在棱SD上存在点P，设，求出平面PAC、平面ACD的一个法向量，由二面角的向量法可得答案.【小问1详解】因为点S在底面ABCD上的射影为O，所以平面ABCD，因为四边形ABCD是边长为的正方形，所以，又因为的面积为1，所以，，所以，因为，点P为SD的中点，所以，同理可得，因为，AP，平面PAC，所以平面PAC，又平面SCD，∴平面平面PAC【小问2详解】存在，连接，由平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，又，可得两两垂直，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，假设在棱SD上存在点P使二面角的余弦值为，设，，，所以，，设平面PAC的一个法向量为，则，因为，，所以，令，得，，因为平面ACD的一个法向量为，所以，化简得，解得或（舍），所以存在P点符合题意，点P为棱SD靠近点D的三等分点19、（1）；（2）.【解析】（1）选择不同的条件，再通过构造数列以及累乘法即可求得对应情况下的通项公式；（2）根据（1）中所求，求得，再利用错位相减法求其前项和即可.【小问1详解】选①：∵，即，∴.即，∴数列是常数列，∴，故；选②：∵，∴时，，则，即∴，∴；当时，也满足，∴；选③：得，所以数列是等差数列，首项为2，公差为1则，∴.【小问2详解】由（1）知当时，，∴又∵时，，符合上式，∴∴∴而相减得∴.20、（1）男生人数为，女生人数为；（2）.【解析】（1）设男生的人数为，则女生人数为，且，根据组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值，即可得解；（2）利用插空法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：设男生的人数为，则女生人数为，且，由已知可得，即，因为且，解得，所以，该小组中男生人数为，女生人数为.【小问2详解】解：若男生不相邻，则先将女生全排，然后在女生所形成的个空中选个空插入男生，因此，所有排法中男生不相邻的概率为.21、（1）（2）【解析】（1）对，利用正弦定理和诱导公式整理化简得到，即可求出；（2）先由正弦定理求出c，再由余弦定理和基本不等式求