河南省安阳市第三十五中学 2024届高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析

河南省安阳市第三十五中学2024届高二数学第一学期期末达标检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某一电子集成块有三个元件a，b，c并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）A. B.C. D.2．直线的一个方向向量为，则它的斜率为（）A. B.C. D.3．已知椭圆的右焦点和右顶点分别为F，A，离心率为，且，则n的值为（）A.4 B.3C.2 D.4．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（）A. B.C. D.5．已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（）A.0.01245 B.0.05786C.0.02865 D.0.037456．已知，为双曲线：的焦点，为，（其中为双曲线半焦距），与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.7．已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（）A. B.C. D.8．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A. B.C. D.9．数列，，，，…的一个通项公式为（）A. B.C. D.10．已知，为双曲线的左，右顶点，点P在双曲线C上，为等腰三角形，且顶角为，则双曲线C的离心率为（）A. B.C.2 D.11．下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②某人买彩票中奖；③从集合中任取两个不同元素，它们的和大于2；④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.其中是随机事件的个数是（）A.1 B.2C.3 D.412．函数，则不等式的解集是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．正四棱锥底面边长和高均为分别是其所在棱的中点，则棱台的体积为___________.14．过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于A，两点，，则的值为__________15．函数极值点的个数是______16．在等比数列中，若，，则_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆F：经过点且离心率为，直线和是分别过椭圆F的左、右焦点的两条动直线，它们与椭圆分别相交于点A、B和C、D，O为坐标原点，直线AB和直线CD相交于M．记直线的斜率分别为，且（1）求椭圆F的标准方程（2）是否存在定点P，Q，使得为定值．若存在，请求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由18．（12分）在直角坐标系中，点到两点、的距离之和等于，设点的轨迹为，直线与交于、两点（1）求曲线的方程；（2）若，求的值19．（12分）已知数列满足，数列为等差数列，，前4项和.（1）求数列，的通项公式；（2）求和：.20．（12分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，.（1）求证：平面PAC；（2）已知点M是线段PD上的一点，且，当三棱锥的体积为1时，求实数的值.21．（12分）已知；.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.22．（10分）如图，四棱锥中，是边长为2的正三角形，底面为菱形，且平面平面，，为上一点，满足.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】记事件为该集成块能够正常工作，事件为仅有一个元件出现故障，进而结合对立事件的概率公式得，再根据条件概率公式求解即可.【详解】解：记事件为该集成块能够正常工作，事件为仅有一个元件出现故障，则为该集成块不能正常工作，所以，，所以故选：A2、A【解析】根据的方向向量求得斜率.【详解】且是直线的方向向量，.故选：A3、B【解析】根据椭圆方程及其性质有，求解即可.【详解】由题设，，整理得，可得.故选：B4、D【解析】由向量线性运算得，利用数量积的定义和运算律可求得，由此可求得.【详解】由题意得：，，且，又，，，，.故选：D.5、D【解析】设出事件，利用全概率公式进行求解.【详解】用事件A，B分别表示随机选1人为男性或女性，用事件C表示此人恰是色盲，则，且A，B互斥，故故选：D6、B【解析】根据求得的关系，结合双曲线的定义以及勾股定理，即可求得的等量关系，再求离心率即可.【详解】根据题意，连接，作图如下：显然为直角三角形，又，又点在双曲线上，故可得，解得，由勾股定理可得：，即，即，，故双曲线的离心率为.故选：B.7、D【解析】利用向量夹角余弦公式直接求解【详解】解：两条异面直线的方向向量分别是，，这两条异面直线所成的角满足：，，故选：D8、A【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A9、B【解析】根据给定数列，结合选项提供通项公式，将n代入验证法判断是否为通项公式.【详解】A：时，排除；B：数列，，，，…满足.C：时，排除；D：时，排除；故选：B10、A【解析】根据给定条件求出点P的坐标，再代入双曲线方程计算作答.【详解】由双曲线对称性不妨令点P在第一象限，过P作轴于B，如图，因为等腰三角形，且顶角为，则有，，有，于是得，即点，因此，，解得，所以双曲线C的离心率为.故选：A11、B【解析】因为随机事件指的是在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，只需逐一判断4个事件哪一个符合这种情况即可【详解】解：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生，①是随机事件某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生，②是随机事件从集合，2，中任取两个元素，它们的和必大于2，③是必然事件在标准大气压下，水加热到时才会沸腾，④是不可能事件故随机事件有2个，故选：B12、A【解析】利用导数判断函数单调递增，然后进行求解.【详解】对函数进行求导：，因为，，所以，因为，所以f(x)是奇函数,所以在R上单调递增，又因为，所以的解集为.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分别计算，，作差得到答案.【详解】分别是其所在棱的中点，则正四棱锥底面边长和高均为，，，故.故答案为：.14、2【解析】求出直线的方程，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可，，由抛物线的定义可知，，，即可得到【详解】解：抛物线的焦点，，准线方程为，设，，，，则直线的方程为，代入可得，，，由抛物线的定义可知，，，，解得故答案为：215、0【解析】通过导数判断函数的单调性即可得极值点的情况.【详解】因为，，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以函数的极值点的个数是0，故答案为：0.16、【解析】根据等比数列下标和性质计算可得；【详解】解：∵在等比数列中，，∴原式故答案为：【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）存在点，使得为定值.【解析】（1）设，，，结合条件即求；（2）由题可设直线方程，利用韦达定理法可得，再结合条件可得点的轨迹方程为，然后利用椭圆的定义即得结论.【小问1详解】设，，，椭圆方程为：，椭圆过点，，解得t=1，所以椭圆F的方程是【小问2详解】由题可得焦点的坐标分别为，当直线AB或CD的斜率不存在时，点M的坐标为或，当直线AB和CD的斜率都存在时，设斜率分别为，点，直线AB为，联立，得则，，同理可得，，因为，所以，化简得由题意，知，所以设点，则，所以，化简得，当直线或的斜率不存在时，点M的坐标为或，也满足此方程所以点在椭圆上，根据椭圆定义可知，存在定点，使得为定值【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理法及题设条件求出点M的轨迹方程，再结合椭圆的定义，从而问题得到解决.18、（1）；（2）.【解析】（1）本题可根据椭圆的定义求出点的轨迹；（2）本题首先可设、，然后联立椭圆与直线方程，通过韦达定理得出、，最后通过得出，代入、的值并计算，即可得出结果.【详解】（1）因为点到两点、的距离之和等于，所以结合椭圆定义易知，点的轨迹是以点、为焦点且的椭圆，则，，，点的轨迹.（2）设，，联立，整理得，则，，因为，所以，即，整理得，则，整理得，解得.【点睛】关键点点睛：本题考查根据椭圆定义求动点轨迹以及直线与抛物线相关问题的求解，椭圆的定义为动点到两个定点的距离为一个固定的常数，考查韦达定理的应用，考查计算能力，是难题.19、（1），；（2）.【解析】（1）根据等比数列的定义，结合等差数列的基本量，即可容易求得数列，的通项公式；（2）根据（1）中所求，构造数列，证明其为等比数列，利用等比数列的前项和即可求得结果.【小问1详解】因为数列满足，故可得数列为等比数列，且公比，则；数列为等差数列，，前4项和，设其公差为，故可得，解得，则；综上所述，，.【小问2详解】由（1）可知：，，故，又，又，则是首项1，公比为的等比数列；则.20、（1）证明见解析（2）3【解析】（1）证明出，且，从而证明出线面垂直；（2）先用椎体体积公式求出，利用体积之比得到线段之比，从而得到的值.【小问1详解】证明：∵平面ABCD，且平面ABCD，∴.又因为，且，∴四边形ABCD为直角梯形.又因为，，易得，，∴，∴.又因为AC，PA是平面PAC的两条相交直线，∴平面PAC.【小问2详解】由（1）知且，∴.又∵平面ABCD，.又∵，∴，∴点M到平面ABC的距离为，∴，∴.21、（1）；（2）.【解析】解不等式求得为真、为真分别对应的解集；（1）由为真可得全真，两解集取交集可得结果；（2）由和的真假性可得一真一假，则分为真假和假真两种情况求得解集.【小问1详解】若为真，则，即，即，所以或，若为真，则，所以，因为为真命题，所以均为真命题.所以实数的取值范围是.【小问2详解】若为假命题，为真命题，则一真一假，若真假，则，解得或，若假真，则，解得，综上所述，实数的取值范围是.22、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设为中点，连接，根据，证明平面得到答案.（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，计算各点坐标，计算平面和平面的法向量，根据向量夹角公式计