高中数学人教A版（2023）选修1 1.4 空间向量应用2（线线、线面夹角；点线、点面距离）章节综合练习题（答案+解析）

第第页高中数学人教A版（2023）选修11.4空间向量应用2（线线、线面夹角；点线、点面距离）章节综合练习题（答案+解析）中小学教育资源及组卷应用平台

1.4空间向量应用2（线线、线面夹角；点线、点面距离）

一、选择题

1．（2023高二上·榆林期末）已知向量，分别为平面，的法向量，则平面与的夹角为（）

A．B．C．D．

2．（2022高二上·通州期中）设，分别是平面，的法向量，其中，，若，则（）

A．B．C．3D．

3．（2023高二上·辽宁月考）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（）

A．B．

C．D．与斜交

4．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是

A．，0，，，0，

B．，3，，，0，

C．，2，，，0，

D．，，，，3，

5．若直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量为，则（）

A．B．

C．D．A、C都有可能

6．（2023高二下·响水）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（）

A．B．C．D．

7．（2023高二下·响水）已知直线，的方向向量分别为，，则直线，夹角的余弦值为（）

A．B．C．D．

8．给出以下命题，其中正确的是（）

A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直

B．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α

C．平面α、β的法向量分别为，，则α∥β

D．平面α经过三个点A(1，0，-1)，B(0，-1，0)，C(-1，2，0)，向量是平面α的法向量，则u+t=1

9．（2022高二上·宿州期中）若向量是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（）

A．平行B．垂直

C．直线在平面内D．相交但不垂直

10．（2023高二下·镇巴县期末）如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

11．（2023高二下·成都期中）如图，将的菱形ABCD沿对角线BD折起，使得平面平面CBD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

12．（2023高二下·郫都期中）在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

13．（2023高二下·大荔期末）已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则AM与所成角的正切值为（）

A．B．C．D．

14．（2023·河北会考）如图所示的八面体的表面是由2个全等的等边三角形和6个全等的等腰梯形组成，设，，有以下四个结论：

①平面；②平面；

③直线与成角的余弦值为④直线与平面所成角的正弦值为．

其中正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

15．（2023高三下·濮阳开学考）在直三棱柱中，，且，若直线与侧面所成的角为，则异面直线与所成的角的正弦值为（）

A．B．C．D．

16．（2023高三上·江西期末）在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）

A．B．C．D．

17．（2023高二上·恩施期末）在正方体中，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的正弦值为（）

A．B．C．D．

18．（2023高二上·鄠邑期末）在正方体ABCD—中，异面直线AD，所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

19．（2022高二上·云南月考）如图，在直三棱柱中，已知，D为的中点，，则，所成角的余弦值是（）

A．B．C．D．

20．（2022高二上·武汉期中）在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（）

A．存在某个位置，使得

B．存在某个位置，使得

C．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为

D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为

21．（2023高二下·安康月考）在正方体中，动点P在线段上，点E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（）

A．B．C．D．

22．（2023高二下·响水）在正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）

A．B．C．D．

23．（2023高二下·浙江期中）若正方形ABCD的边长为a，E，F分别为CD，CB的中点（如图1），沿AE，AF将△ADE，△ABF折起，使得点B，D恰好重合于点P（如图2），则直线PA与平面PCE所成角的正弦值为（）

A．B．C．D．

24．（2023高二下·成都期中）若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线l与平面所成的角等于（）

A．B．C．D．

25．（2023·广西模拟）如图，在直三棱柱中，棱长均为．，，分别为，，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（）

A．B．C．D．

26．（2023·商洛模拟）在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（）

A．B．C．D．

27．（2023·遂宁模拟）已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）

A．B．C．D．

（2023·河北会考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，，四棱锥的体积为，为的中点．

28．线段的长是（）

A．3B．C．D．6

29．平面与平面所成二面角的正切值是（）

A．2B．C．D．1

30．直线与平面所成角的正弦值是（）

A．B．C．D．

31．（2023高三上·海淀期末）若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：

①线段长度的取值范围是；②存在点使得平面；③存在点使得.其中，所有正确结论的序号是（）

A．①②③B．②③C．①③D．①②

32．（2023高一下·温州期末）如图，在长方体中，，，为棱上一点，且，平面上一动点满足，设是该长方体外接球上一点，则，两点间距离的最大值是（）

A．B．C．D．

答案解析部分

1．【答案】A

【解析】【解答】，，，

，平面与平面的夹角为，

故答案为：A

【分析】根据题意，得到，得到，进而得到平面与平面的夹角.

2．【答案】D

【解析】【解答】，且分别是平面的法向量，则，

则有，故，则.

故答案为：D.

【分析】由，得到，结合共线向量的概念，列出方程，即可求解.

3．【答案】D

【解析】【解答】所以与不平行也不垂直，所以与斜交。

故答案为：D

【分析】利用已知条件结合方向向量的定义和法向量的定义，再结合线面的位置关系判断方法，从而找出正确的选项。

4．【答案】D

【解析】【解答】解：若，则，

而中，不满足条件；

中，不满足条件；

中，不满足条件；

中，满足条件．

故答案为：D．

【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合方向向量和法向量的求解方法，再利用数量积的坐标表示结合若，则，从而找出正确答案。

5．【答案】B

【解析】【解答】解:直线的一个方向向量为，平面α的一个法向量为

则，，

故答案为：B．

【分析】利用已知条件结合空间向量的方法，再结合方向向量和法向量推出，再利用向量共线定理，进而得出直线与平面的位置关系，从而找出正确答案。

6．【答案】B

【解析】【解答】解：如图，“鳖臑”A-BCD是由正方体的四个顶点构成的，

以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，

则，，，，，

则，，

，

则异面直线BM与CD夹角的余弦值为．

故选：B．

【分析】将“鳖臑”A-BCD放在正方体内部，建立空间直角坐标系即可利用向量求异面直线BM与CD夹角的余弦值．

7．【答案】B

【解析】【解答】解：因为直线，的方向向量分别为，，

所以，

则直线，夹角的余弦值为.

故选：B.

【分析】利用空间向量的夹角公式计算可得答案.

8．【答案】A

【解析】【解答】对于A，∵，

∴，∴l与m垂直，A符合题意；

对于B，∵与不共线，

∴直线l不垂直平面α，B不符合题意；

对于C，∵与不共线，

∴平面α与平面β不平行，C不符合题意；

对于D，=(-1，-1，1)，=(-1，3，0)，

由n·=-1-u+t=0，n·=-1+3u=0，解得u=，t=，∴u+t=，D不符合题意.

故答案为：A.

【分析】根据，可判定A符合题意；根据与不共线，可判定B不符合题意；根据与不共线，可判定C不符合题意；根据法向量的求法，求得的值，可判定D不符合题意.

9．【答案】D

【解析】【解答】，，，故与不垂直，即直线与平面不平行；

若，则，无解，故与不平行，即直线与平面不垂直.

故答案为：D.

【分析】根据题意，由，的坐标分析可得与不共线，不垂直，结合直线的方向向量和平面向量法向量的定义分析可得答案.

10．【答案】A

【解析】【解答】以为原点，，，为，，轴建立坐标系，如图

则，，，，，

，，

，

.

故答案为：A

【分析】以为原点，，，为，，轴建立坐标系，利用空间向量求解。

11．【答案】B

【解析】【解答】

如图，取BD中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，

令，，，，，

则，，

，

，所成角的余弦值为.

故答案为：.

【分析】取BD中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，令，利用向量夹角公式，即可求出异面直线AB与CD所成角的余弦值.

12．【答案】A

【解析】【解答】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，

∴，

故答案为：A.

【分析】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，然后可求出点A，D1，D和B1点的坐标，进而得出向量，的坐标，根据向量夹角的余弦公式即可求出异面直线与所成角的余弦值.

13．【答案】B

【解析】【解答】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为，

以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

所以，，，.

所以，.

则

故答案为：B.

【分析】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为2，以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得答案.

14．【答案】C

【解析】【解答】对于①.如图所示，连接，取中点取中点.连接.

由等边三角形的性质得，由等腰梯形的性质得.又平面，所以平面.所以.同理又平面，所以平面，所以该结论正确；

对于②，首先计算等腰梯形的高，再计算几何体的高.

取AB中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，设是的中心，是的中心.过作，过作..

.所以几何体的高为.

所以.

所以，

设平面的法向量为，则

，

所以，

所以平面不正确；

对于③，由题得.

所以直线与成角的余弦值为，所以该结论正确；

对于④，由题得.

.

设平面的法向量为，则

，

所以直线与平面所成角的正弦值为．所以该结论正确.

故答案为：C

【分析】对于①.如图所示，连接，取中点取中点.连接，证明，即可判断；对于②③④，设是的中心，是的中心.过作，过作，再利用向量法计算即可判断得解.

15．【答案】D

【解析】【解答】因为直三棱柱，所以底面，

又因为，所以两两垂直，

以为轴建立如图所示坐标系，

设，则，，，，

所以，，，

设平面的法向量，

则，解得，

所以直线与侧面所成的角的正弦值，

解得，

所以，，

设异面直线与所成的角为，

则，

所以异面直线与所成的角的正弦值为.

故答案为：D

【分析】以B为原点，以为轴建立如图所示坐标系，设，利用线面角的向量求法求出，再求异面直线所成角即可.

16．【答案】A

【解析】【解答】在四棱锥中，平面，四边形是正方形，

以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

令，而分别是棱的中点，则，

由得：，则，，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

故答案为：A

【分析】根据给定条件，以点A为原点，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可求出异面直线与所成角的余弦值.

17．【答案】D

【解析】【解答】解：如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．

设正方体的棱长为2，则，0，，，1，，，2，，，0，，

．

则，

异面直线与所成角的正弦弦值为，

故答案为：D．

【分析】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可求出异面直线与所成角的正弦弦值.

18．【答案】D

【解析】【解答】如图，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，

不妨设正方体边长为1，则，

则，

设异面直线AD，所成角为，

则.

故答案为：D

【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，求得向量则的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解.

19．【答案】C

【解析】【解答】以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，

所以，，设，所成的角为，

则．

故答案为：C

【分析】以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可求出，所成角的余弦值.

20．【答案】C

【解析】【解答】如下图所示，设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，

以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，

设正四面体的棱长为2，

则，，，，，

设，其中，

对于A，若存在某个位置使得，，，

所以，解得，不满足题意，A不符合题意；

对于B，若存在某个位置使得，，，

则，该方程无解，B不符合题意；

对于C，设平面的一个法向量为，

，，

由，令，则，

若存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为，又，

则，

整理得，解得或（舍去），

所以存在，即为的中点，满足题意，C符合题意；

对于D，设平面的一个法向量为，

又，，

由，取，得，

设平面的一个法向量为，

，，

由，取，则，

若存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为，

则，

整理得，易得，所以该方程无解，D不符合题意.

故答案为：C.

【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项进行判断，可得答案.

21．【答案】D

【解析】【解答】解：如图：

设正方体的边长为2，以D点为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，

则A(2，0，0)，E(2，1，0)，设平面的法向量为

令z=1可得x=1，y=-1，所以

设直线与平面所成的角为，则（当时等号成立）故D选项正确.

故答案为：D

【分析】先建立空间直角坐标系，求出点和向量的坐标，用线面角的向量求法公式把表示成的式子，结合二次函数求出最大值即可.

22．【答案】A

【解析】【解答】解：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的边长为2.

则，，

由题得.

设平面ACE的法向量为，则.

取z=1，得.

设直线与平面所成角为，

则.

故选：A.

【分析】以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值得解.

23．【答案】A

【解析】【解答】由，，可得，，

，则，

PA，PF，PE三线两两垂直，以P为坐标原点，PE，PF，PA分别为坐标轴建立如图所示的空直角坐标系，

可得，

设，由，，

有，解得，即得，

所以可得，，

设平面PCE的一个法向量，

，令，则，

所以平面PCE的一个法向量为，

又，设PA与平面PCE所成角为，

所以.

故答案为：A

【分析】由，，可得，，再利用勾股定理得出，所以PA，PF，PE三线两两垂直，以P为坐标原点，PE，PF，PA分别为坐标轴建立空直角坐标系，再由已知条件得出点的坐标，再结合勾股定理得出点C的坐标，再根据向量的坐标表示得出向量的坐标，从而由平面的法向量求解方法得出平面PCE的一个法向量，再利用和数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线PA与平面PCE所成角的正弦值。

24．【答案】C

【解析】【解答】令直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的夹角为，

，，.

故答案为：C

【分析】根据线面角的正弦值等于线与面法向量夹角余弦值的绝对值，求解可得答案.

25．【答案】C

【解析】【解答】取中点，连接、，在直三棱柱中，棱长均为，

所以三棱柱为正三棱柱，则，，平面，

所以平面，

如图建立空间直角坐标系，则，，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，则，令，则，，

所以，

所以直线与平面所成角为，则，

所以直线与平面所成角的正弦值是.

故答案为：C

【分析】取中点，连接、，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量，利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值.

26．【答案】B

【解析】【解答】如图所示，

以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

设直线与平面所成的角为，所以，

故答案为：B.

【分析】以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值.

27．【答案】C

【解析】【解答】因为点在底面的射影为中点，则平面，

又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的

正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为平面，平面，则，

因为，，则，

则、、、，

所以，，

易知平面的一个法向量为，

，

因此，直线与平面所成角的正弦值为.

故答案为：C.

【分析】由已知可得平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，，平面的一个法向量为，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

【答案】28．D

29．B

30．D

【解析】【分析】（1）设，取中点，连接，证明出平面，即是四棱锥的高，，计算求解即可；

（2）分别取的中点为，连接，由底面，得出，，从而得到为平面与平面所成二面角的平面角，计算求解即可；

（3）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，，所以，所以，求出平面的法向量，从而可利用空间向量的坐标运算求得直线与平面所成角的正弦值.

28．由已知，设，则矩形的面积，

取中点，连接，

∵是等边三角形，，

∴，且，∵平面平面，

平面平面，平面，

∴平面，即是四棱锥的高，

∴四棱锥的体积

∴解得，，∴.

故答案为：D.

29．分别取的中点为，连接，

设，则.因为是等边三角形，所以，

又因为平面平面，平面平面，平面，底面，

因为四棱锥的体积为，所以，

解得.则，，所以，，

又因为底面为矩形，所以，

所以为平面与平面所成二面角的平面角，.

故答案为：B

30．取中点为，中点为，连接，因为是等边三角形，为中点，所以，

因为平面底面，平面底面，平面，

所以平面，又平面，则，

如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

又，所以，

则，所以，

设平面的法向量为，又，

则，

令，则，

所以，

则直线与平面所成角的正弦值是.

故答案为：D.

31．【答案】D

【解析】【解答】取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点.

在正方体中，平面，平面，，