讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布

第七讲持续型随机变量（续）及

随机变量的函数的分布3.三种重要的持续型随机变量（1）均匀分布设持续型随机变量X含有概率密度则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X~U(a,b).

X的分布函数为（2）指数分布设持续型随机变量X的概率密度为其中>0为常数,则称X服从参数为的指数分布.容易得到X的分布函数为

如X服从指数分布,则任给s,t>0,有

P{X>s+t|X>s}=P{X>t} (4.9)

事实上性质(4.9)称为无记忆性.

指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.（3）正态分布设持续型随机变量X的概率密度为其中,(>0)为常数,则称X服从参数为,的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为X~N(,).

显然f(x)0,下面来证明令,得到f(x)含有的性质:

（1）.曲线有关x=对称.这表明对于任意h>0有

P{-h<X}=P{<X+h}.

（2）.当x=时取到最大值x离越远,f(x)的值越小.这表明对于同样长度的区间,当区间离越远,X落在这个区间上的概率越小。在x=处曲线有拐点。曲线以Ox轴为渐近线。X的分布函数为特别:当=0,=1时称X服从原则正态分布.其概率密度和分布函数分别用(x)和(x)表达,即有易知 (-x)=1-(x) (4.15)

人们已经编制了(x)的函数表,可供查用(见附表2).

引理若X~N(,),则证明：由此知Z~N(0,1).若X~N(,),则它的分布函数F(x)可写成:则对于任意区间(x1,x2],有

例如,设X~N(1,4),查表得设X~N(,),由(x)的函数表还能得到:

P{<X<}=(1)-(-1)

=2(1)-1=68.26%

P{<X<}=(2)-(-2)=95.44%

P{<X<}=(3)-(-3)=99.74%我们看到,尽管正态变量的取值范畴是(),但它的值落在(,)内几乎是必定的事.这就是人们所谈的"3"法则.例１将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内.调节器整定在d°C,液体的温度X(以°C计)是一种随机变量,且X~N(d,0.52).(1)若d=90,求X不大于89的概率.(2)若规定保持液体的温度最少为80的概率不低于0.99,问d最少为多少?解(1)所求概率为(2)按题意需求d满足设X~N(0,1),若za满足条件P{X>za}=a,0<a<1,(4.18)则称点za为原则正态分布的上a分位点.由(x)的对称性知z1-a=-za第二章随机变量及其分布§4持续型随机变量及其概率密度惯用的几个za值：（课间休息）随机变量的函数的分布例１设随机变量X含有下列的分布律,试求Y=(X-1)2的分布律.解Y全部可能值为0,1,4,由P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1,P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,例２设随机变量X含有概率密度求变量Y=2X+8的概率密度.解：分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y).下面先来求FY(y).

将FY(y)有关y求导数,得Y=2X+8的概率密度为例３设随机变量X含有概率密度fX(x),,求Y=X2的概率密度.解分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y).由于Y=X20,故当y0时FY(y)=0.当y>0时有将FY(y)有关y求导数,即得Y的概率密度为例３结论的应用：设X~N(0,1),其概率密度为则Y=X2的概率密度为（5.1）此时称Y服从自由度为1的分布.定理设随机变量X含有概率密度fX(x),,又设函数g(x)到处可导且恒有g'(x)>0(或恒有g'(x)<0),则Y=g(X)是持续型随机变量,其概率密度为其中=min(g(),g()),=max(g(),g()),h(y)是g(x)的反函数.证先设g'(x)>0.此时g(x)在(，)严格单调增加,它的反函数h(y)存在,且在()严格单调增加,可导.分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y).

因Y在()取值,故当时,FY(y)=P{Yy}=0;当y时,FY(y)=P{Yy}=1.当时,FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}=P{Xh(y)}=FX[h(y)].将FY(y)有关y求导数,即得Y的概率密度对于g'(x)<0的状况同样能够证明,有合并(5.3),(5.4)式，命题得证。例４设随机变量X~N().试证明X的线性函数Y=aX+b(a0)也服从正态分布.证X的概率密度为现在Y=g(X)=aX+b,由这一式子解得由(5.2)式得Y=aX+b的概率密度为即有Y=aX+b~N(a+b,(a)2).这就是上一节引理的成果.例５设电压V=Asin,其中A是一种已知的正常数，相角是一随机变量，且有。试求电压V的概率密度.解现在v=g()=Asin，又，的概率密度为由（5.2）式得V=Asin的概率密度为作业第二章习题第69页开始

第1,6,12,14,16,19,23,28题§5随机变量的函数的分布在实际中经常对某些随机变量的函数更感爱好.

例如,在某些实验中,所关心的随机变量往往不能由直接测量得到,而它却是某个能直接测量的随机变量的函数.例如我们能测量圆轴的直径d,而关系的却是截面积A=pd2/4.这里,随机变量A是随机变量d的函数.下面讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求得它的函数Y=g(X)(g()是已知的持续函数)的概率分布.(特注：y=0时概率为零，但并非不可能事件。)当g'(x)<0时,g(x)在(，)严格单调递减,它的反函数h(y)存在,且在()严格单调递减,可导.分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y).

当时,FY(y)=P{Yy}