大一上微积分公式

a0-

a0-

b00系数不为0的情况)TOC\o"1-5"\h\z“axn+axn-1+ +a一、lim0 1 nxTgbxm+bxm-1+ +b0 1 m⑷⑷lim<n=1nTg5)二、重要公式(1)limSinxxT0(7)limarccotx=0xTg

(2)lim(1+x片=exT0limarctanx=2xTg(8)limarccotx=兀xT-g

(3)limna(a>o)=1nTg兀(6)limarctanx=-xT-g(9)limex=0xT-g(10)limex=gxT+g

(11)limxx=1

xT0+常用等价无穷小关系sintanx〜xarcsinx〜xarctanx~x sintanx〜xarcsinx〜xarctanx~x 1-cosxln(1+x)~xex-1〜xax-1〜xlna(1+x1〜dx四、泰勒公式带有皮亚诺余项的泰勒公式定理1若函数f在点x存在直至n阶导数，则有f(x)=T(x)+0((x-x)n),即0 n 01)f(x)二f(x0)+^(x-叮+…+^^(x-x0)n+0((x-x0)n)1)即函数f在点x处的泰勒公式；R(x)=f(x)-T(x)称为泰勒公式的余项.0 n n带有Lagrange型余项的Taylor公式定理2(泰勒)若函数f在[a,b]上存在直到n阶的连续导函数，在(a,b)内存在n+1阶导函数，则对任意给定的x，x0e[b],至少存在一点(a，b)使得：f(x)二f(x)+ (x-x)+•••+^^(x-x)n+f+1)1J(x-x)n+11! 0 n! 0 (n+1)!3、 函数的Maclaurin公式x2 xnex=1+x+ +•—+ +0(xn)2! n!

x3 x5sinx=x一 +H F(-l)m-i引5!+0(x2m)(2m-1)!COSx=1一+Fx3 x5sinx=x一 +H F(-l)m-i引5!+0(x2m)(2m-1)!COSx=1一+F F(-1)m +0(x2m+1)2! 4! (2m)!ln(1+x)=x—乂+兰+…+(—1)n-1巴+0(xn)2 3 n(1+x)a=1+ax+芈—Ux2+...+込1h#凹+0(xn)2!n!=1+x+x2+•••+xn+0(xn)1—x函数展开成幂级数：函数展开成泰勒级数：f(x)=f(x0)(x一x0)+弓詁(x一x0)2i+罟」(x一x0)nin!余项：R=f(n+1)&)(x—x)n+1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR=00 n*nf〃(0)2 ,f(n)(0),x2+•…+ xn+•…2!n(nF1)!=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f'(0)x+n!五、基本导数公式(tgx)'=sec2x(ctgx)'=一CSC2x(secx)'=secx-tgx(cscx)'=一cscx-ctgx(ax)'=axIna(logx)'=—axlna(arcsinx)'\-1—x2(arccosx)'=- =1—x2(arctgxy= 1—1+x2(arcctgxy=— 1—1+x2六、高阶导数的运算法则u(x)±v(x)](n)(1)u=u(xXn)+v(x)n)(2)cu(x)](n)=cu(n)(x)(3)「u(ax+b)](n)=anu(n)(ax+b)(uv)(n)=£nk=0k!n(n—1) n(n—1)•…(n—k+1)k!=u(n)V+nu(n—1)V+ u(n—2)V+ + u(n—k)V(k)+ +uV(n)2!七、基本初等函数的n阶导数公式(4)smsin(ax+b)](n)=ansinax+b+n(4)sm(5)(6)cos(ax+b)(5)(6)cos(ax+b)](n)=ancosax+b+n•—2丿'1、(n)=(1)an•n!(ax+b\+1(7)(n-1)=(-1)n-1 j-八、微分公式与微分运算法则⑴八、微分公式与微分运算法则⑴d(c)=0 (2)d(x卩)=卩x^-1dx⑶d(sinx)=cosxdx⑷d(cosx)=-sinxdx (5)d(tanx)=sec2xdx⑹d(cotx)=-csc2xdx(7)d(7)d(secx)=secx-tanxdx(8)d(escx)=-cscx-cotxdx(9)dCx)=(9)dCx)=exdx⑽dCx)=axlnadx(11)d(lnx)=—dxx(12)dGog(12)dGogx)= -—dxa xlna(13)d(arcsinx)= dx (14)d(arccosx)=- dx1—x2(15)d((15)d(arctanx)= -—dx1+x2(16)d(arccotx)= 1dx1+x2九、微分运算法则⑴d(u土v)=du土dv2d(cu)=cdu⑶d(uv)=vdu+udvJu)vdu-udv⑷d —Vv丿 v2一些函数双曲正弦：shx=ex一e一x2sinxlim 一1xtOx双曲余弦:chx=e"+e-%2双曲正切：thx=shx=e"一e-%lim(1+丄)x一e一2.718281828459045.xT8 xex+e-xarshx=ln(x+x2+1)archx=土ln(x+、，x2一1)arthx=丄ln1^^2 1一x十、基本积分公式Jtgxdx=—ln|cosx|+CJctgxdx=ln|sinx|+CJsecxdx=ln|secx+tgx|+CJcscxdx=ln|cscx—ctgx|+CJdxa2+x2Jdxx2—a2Jdxa2—x2Jdx1x=—arctg—+Caa1x—aln+C2ax+a1a+xln+C2aa—xJdxcos2xJdxsin2xJsecx-tgxdx=secx+CJcscx-ctgxdx=一cscx+C=Jsec2xdx=tgx+C=Jcsc2xdx=-ctgx+CJaxdx= +ClnaJshxdx=chx+CJchxdx=shx+Ca2—x2二arcsin-+CaJ.dx=ln(x+.x2土a2)+Cv'x2土a2K-K-补充公式=JsinnxdxJEdxJRdxJEdx=Jcosnxdx=n_11nn—20x a2[x2+a2+ln(x+»x2+a2)+C^2 2<x■ a2n _—x2—a2——lnx+吋x2—a2+C22x a2 .xa2一x2+arcsin+C2-Jtanxdx=—lncosx+cJsecxdx=lnsecx+tanx+cJcotxdx=lnsinx+cJcscxdx=lncscx—cotx+cJ丄J丄x2—a2dx=丄ln|匕|+c2a x+a|1 1 xdx=arctan+ca2+x2 a adx=xarcsin+cdx=ln一、常用凑微分公式积分型换元公式Jf(ax+b)dx=丄Jf(ax+b为(ax+b)au=ax+bJfC卩)xyjdx=丄JfC卩》C卩)u=x卩Jf(lnx)丄dx=Jf(lnx》(lnx)xu=lnxJfCx)・exdx=Jf(ex》(ex)u=exJfCx)•axdx=—!—JfCx》Cx)lnau=axJf(sinx)•cosxdx=Jf(sinx为(sinx)u=sinxJf(cosx)•sinxdx=-Jf(cosx为(cosx)u=cosxJf(tanx)•sec2xdx=Jf(tanx为(tanx)u=tanxJf(cotx)•CSC2xdx=Jf(cotx为(cotx)u=cotxJf(arctanx)・ 1dx=Jf(arctanx)d(arctanx)1+x2u=arctanxJf(arcsinx)^.1 :dx=Jf(arcsinx)d(arcsinx)Jl-x2u=arcsinx十二、分部积分法⑴形如JXneaxdx，令u=Xn,dv=eaxdx形如Jxnsinxdx令u=x«,dv=sinxdx形如Jxncosxdx令u=xn,dv=cosxdx⑵形如Jxnarctanxdx令u=arctanx⑵形如Jxnarctanxdx令u=arctanx,dv=xndx形如Jxnlnxdx令u=lnx,dv=xndx⑶形如JeaxsinxdxJeaxcosxdx令u=ea召sinx,cosx均可。十三、第二换元积分法中的三角换元公式(1)畧a2—x2 x=asint(2) a2+x2 x=atant (3)审x2—a2x=asect十五、三角函数公式

1.两角和公式cotA-cotB-1cot(A+B)=cotB+cotAcot(A-B)=cotA-1.两角和公式cotA-cotB-1cot(A+B)=cotB+cotAcot(A-B)=cotA-cotB+1cotB-cotA倍角公式sin2a=2sinacosacos2a=2cos2a-1=1-2sin2a=cos2a-sin2asin3a=3sina-4sin3actg2a-1ctg2a=一2ctga2tgatg2a= —1-tg2acos3a=4cos3a-3cosa半角公式.a‘；1-cosasin=±22a,-1-cosa

tg=±■-2 \1+cosaa■cos= ■2■1+cosa反三角函数性质：1-cosa sinasina 1+cosaa 1+cosa 1+cosa sinactg=± = =2 1-cosa sina 1-cosa. 兀arcsinx= -arccosx2兀arctgx= -arcctgx亠=丄=2RsinAsinBsinC和差化积公式正弦定理：余弦定理：c2=a2+b2-2abcosCa+b a-bsina+sinb=2sm -cos—22a+b a-bcosa+cosb=2cos-cos—22a+ba-bsina-sinb=2cos-sin22a+ba-bcosa-cosb=-2sin-sin22sin(a+b)tana+tanb=—cosa-cosb5.积化和差公式sinasinb=-—25.积化和差公式sinasinb=-—2Lsinacosb=—2L6.万能公式cos(a+b)-cos(a-b)]sin(a+b)+sin(a-b)]cosacosb=-r2Lcosasinb=cos(a+b)+cos(a-b)]2[_sin(a+b)-sin(a-b)]2tan—.2

sina2tan—.2

sina=—a1+tan2—2a1-tan2-2cosa=—a1+tan2—22tan—2tana=—a1-tan2—22usinx2usinx= ,cosx=1+u21-u2，,1+u22duxu=tg,dx=2 1+U2中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=广化)(b-a)柯西中值定理：f的—f⑺=丄字F(b)-F(a)F崔)当尸(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds=丫1+y'2dx,其中y'=tga—Aex平均曲率:K=——.Ae:从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；As：MM弧长。AsAedeAsdsM点的曲率：K=limAstOv；(i+y'2)3直线：K=0;1半径为a的圆：K=a定积分的近似计算：矩形法：f(x)沁 a(y+y+•••+y)TOC\o"1-5"\h\zn01 n-1a梯形法:f(x)qa[](y+y)+y+•••+y]n20n1 n-1a抛物线法:f(x)ua[(y+y)+2(y+y+•••+y)+4(y+y+•••+y)]3n 0n 2 4 n-2 1 3 n-1a定积分应用相关公式：功：W=F-s水压力：F=p-A引力：F=k,k为引力系数r2函数的平均值：=—ff(x)dxb一aa均方根：-^ff2(t)dtb一a1 a欧拉公式：eix=cosxeix=cosx+isinxcosx=或＜sinx=eix+e―ix2eix—e-ix级数审敛法：设：p=lim处u,2、比值审敛法：设：p=lim处u,2、比值审敛法：设：limUnfg3、定义法