多标量场产生的膜世界

多标量场产生的膜世界膜世界理论在解决层次问题，宇宙学常数，暗物质暗能量等问题上取得了巨大的进展。本文首先回顾了额外维和膜世界理论的发展历史。然后我们从高维弯曲时空中多标量场产生的膜中得到了新的解，在这个解中有一个参数b它可以决定能量密度T00的分布。只有当0<bV时，才能生成膜世界。我们考虑物质场在这个膜上的局域化，对于自由标量场和自由矢量场而言，我们发现零模可以局域化到膜上。在我们引入了矢量场与背景标量场的耦合申FmnFmn后，发现耦合参数t>-讥；时，零模也能局域化到膜上。然而自由的Kalb-Ramond场的零模一般是不能局域化到膜上的，但是在引入KR场与背景标量场的耦合卿HmnlHmnl之后，在:>(2-、丙时，KR场也可以局域化到膜上。研究几种重要的物质场在膜上的局域化成功验证了这个新厚膜解的理论合理性。关键词：额外维，膜世界，KK模式第一章绪论额外维理论浩瀚的宇宙中有着说不尽的秘密，维度之谜或许就是其中之一。我们的世界真的是三维空间吗？是否有额外的维度存在？如果真的有额外的空间维度存在，那为什么我们从来没有察觉到它们的存在？在从婴儿时代起各种常识就不断的加深我们三维世界的固有认识，而不去怀疑是否存在额外的维度。然后细细想来，千百年来人类所总结出的物理学的基本原理中没有一条是依赖于世界的三维空间性的，这不仅不能否认额外维的存在，反而说明我们对额外维度的存在性一无所知。取得巨大成功的广义相对论并没有对空间的维度做出限制，这一点提示我们构建一个高维引力理论的可行性。其实早在1914年1,GunnarNordstrom就提出了五维形式的标量引力理论［1,2］，试图将引力统一到Maxwell理论之中。之后由于广义相对论的巨大成功，该理论很快就被人们所遗忘，但这一突破性地引入额外维的实践却启示了后来者：额外维度在物理学的统一之路上将占据及其重要的位置。在此之后，Kaluza和Klein在广义相对论的基础上，来统一电磁力和引力［3,4］。Kaluza-Klein理论在四维时空度规的基础上，引入额外维度来描述电磁相互作用部分，从而构造出一个统一描述时空结构和电磁相互作用的五维度规，然后通过广义相对论的方法，导出了四维形式的Eninstein方程和Maxwell方程。可以说这是一个吸收了Maxwell理论的五维广义相对论。可是为什么我们从来没有观测到额外维的存在呢？Klein对此作出的解释是第四个空间维度卷曲成了一个半径只有1033cm（Plank尺度）的圆圈［4］，这一尺度是当时和目前的实验都无法企及的。Kaluza-Klein理论虽然成功地解释了额外维度的隐蔽性，但是几乎否定了实验探测的可能，所以很快KK理论就失去了活力。但是KK理论说明了一个成功的额外维理论必须要同时具备额外维度的不可见性以及额外维度实验探测的可能性。膜世界猜想随着额外维概念的引入，解放了理论物理学领域内四维时空的固有思想。超弦理论，M-理论都是额外维理论。为了消除不合理的弦振动模式，超弦理论的时空必须设定在十维中（九维的空间，一维的时间）。而预言中的M-理论要兼容十一维超引力理论和各版本弦理论也必须是十一维的。可以说在这些理论中额1广义相对论提出之前外维度都是不可或缺的。受超弦理论启发［5,6］，膜世界猜想提了出来。膜是可以在二维，三维或者更多维度上延伸的超曲面，可以束缚住粒子和力，也可以是高维空间的边界。膜世界时空观认为我们生活的四维宇宙是一个嵌入在高维度时空中的超曲面，称为膜世界。在这个理论中，所有的物质场都被束缚在膜上，只有引力子能够自由地在所有的维度传播。膜世界猜想一经提出便广受关注，因为它为解决规范层次问题，宇宙学常数问题，费米层次问题开辟了一条新的思路。为解决层次问题，1998年由NimaArkana-Hamed,SavasDimopoulos和G.RDvali提出了大额外维模型（ADD模型）［7,8］，这个模型中引入了N个紧致成圆圈的额外维,通过增加额外维度的数量来控制单个额外维的尺度,从而使得实验探测成为可能。通过大尺度额外维的体积项来构造Plank能标和弱电能标之间的巨大数量级差别。然而由于为了解决层次问题必须要求一个大尺度的额外维，所以这个理论在解决层次问题上并不完美。不久之后，Randall-Sundrum模型的提出就完美的解决了这一问题［9,10］。1999年LisaRandall和RamanSundrum在他们所构建的膜世界模型中，突破性地放弃了额外维时空平坦性的观点。在ADD模型中膜是刚性的，没有张力。RS模型考虑了膜本身的张力，一个有张力的膜会扰动周围的时空，使得额外维卷曲，这一卷曲体现在时空度规的卷曲因子项上，通过指数化的卷曲因子来吸收层次问题中巨大的数量级差距。也就是把层次问题解释成额外维高度卷曲的效应。但是无论是ADD模型还是RS模型中的膜世界都是薄膜，这两个模型将膜世界延额外维的展宽考虑成零，即是理想化的（函数，而一个具有实际意义的膜世界模型一定是具有一定厚度的。1983年Rubakov和Shaposhnikov提出的畴壁机制为引入厚膜解提供了方案［11,12］，通过引入背景标量场与引力耦合，来产生厚膜解。本文将首先介绍如何通过两个标量场与引力耦合来构造厚膜模型，在求解的过程中我们得到了一个新的厚膜解。然后我们将讨论这一厚膜解的理论合理性，介绍物质场的局域化机制，在我们找到的新的厚膜解的基础上分析各种物质场的局域化情况，得到相应的零模。

第二章两个标量场产生的厚膜解2.1两个标量场产生的膜世界作用量的构造首先，我们将讨论由两个相互作用的标量场生成厚膜世界的方法。比起一个标量场产生的膜世界模型，由两个标量场生成的膜世界将具有更加丰富的结构。我们仿照文献［13,14］中的方法构造一个合适的模型。假设膜世界是由两个标量场申（kink场）和屮（dilaton场）生成的。系统的作用量设为：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"S=jd匚g丄R--Gpl--如》一vG,屮） ⑴\ 2k2 2其中R是标量曲率，k52=8nG5,这里G5是五维万有引力常数。为了方便，我们设k5=l。我们考虑平直的厚膜世界，因此五维时空线元假设为［15,16,17］：ds2=e2A（yhdx卩dx+e2b（y）dy2 （2）yv这里y=x5是额外维度的坐标。背景标量场申和屮仅仅是y的函数，因为膜世界可以看做高维世界空间中均匀的一个横截面。在这个模型中，厚膜由势V（（p¥）实现。现在我们由作用量S（1）和线元（2）式来导出爱因斯坦场方程和物质场的运动方程。爱因斯坦场方程和物质场的运动方程的推导2.2.1抽象的场方程和运动方程丄R+L2k2 M5分别对三个场量丄R+L2k2 M5分别对三个场量g叫（p，屮变分为0则得到三个场的运动方程。对g^v变分设S=Id5xv-g0=5S=I,LM=-2(如)2一A屮)2一V3M),k52=1-S1心RLm)M5gyv吃+_r_ g、yv -j-g§gyv丿2 5gyv5gyvd5+丄§(F)J-g 5gyv得到 ― 、5R ― 、5R+R5J-g_-215J-gL§gpv 、;—g§gpv丿M-5gpv(3)vpo p九vo v九poTOC\o"1-5"\h\z由rp _arp—arp+rp—rpvpo p九vo v九poopv pvo=a5rP=a5rP-asrP+5rPrx+rParx-5rPrx-rParxpoopvpvovpo p九vo p九vo v九po v九vfer^_aferpArpTo-rorp-ToTp九vp 九vpdXvp v九dp p九vo5R_5RP_v5rP-v5rPpv ppv pvp vppR_gpvRpv又因为Vgpv二0opv其中第二项为全微分项。在无穷远处时5R=R&pv+vCpv§ro—gpo§rppv其中第二项为全微分项。在无穷远处时p pp5gpv趋于0,所以5r_R5gpvpv—Rpv5r_R5gpvpv—Rpv又因为-Fl1 ggpv5g pv_2厂g5gpv 2\一g 5gpv1所以方程(3)左侧为：R--Rg。pv2pv-g-2 5gpv1厂-ggpv定义方程(3)右侧为1 7L 21T_-2 mpv、［一g 5gpvL-2pvMM-5gpv作用量对g2作用量对g2的变分为零,得到Einstein场方程：Gpv_Gpv_R-1Rg_gL-2-5L^_Tpv2pvpvM 5gpv pv(4)对申对申和屮场量的变分,程为Lagrange方程：由变分原理知,对标量场变分可得标量场的运动方由于L由于Lg不含a申,申项,gpaaJ-gL_虫-gL

paa申p所以方程(6)化为a%-gL aJ-gLa m=mpaa申 a申p

又因为1「Qp)——21eB丿又因为1「Qp)——21eB丿1「Q屮)——21eB丿2-VGM）可计算得QF一Q仁匚g)•

」Qp,JIe2B4丿—g=e4A+BgL， QVM二—e4A+B 二Qp Qp—C4a-BpJ二—e4A-BG"+(4A'-B%，)Qy所以p的运动方程为e4A-BG〃+(4A，-Bb)=QVe4A+bQp同理可得屮的方程。两个运动方程可化为:p"+(4A—B%，=e2b——(6)Qp(6)屮"+(4A，—B%'=e2b空Q屮2.2.2具体的场方程和运动方程为求具体的Einstein场方程,我们由度规(2)知Einstein张量的非零分量为G=—3e2A-2BGAS—A'B'+A〃)00()G=3e2A-2B2A，2-A，B，+A，，(7)G=3e2A-2BGAS—A，B，+A〃)(7)G=3e2A-2BGAS—A'B'+A〃)33G=6A，24400分量至00分量至33分量形式是一样的，所以独立的分量场方程为=「1 1 )e「1 1 )e2A-2B—p‘2+—屮'2+e2bV12 2 丿代入Goo得到：2A+2『+e2Bv=-6A—3A+3ABT00=g00LM=同理44分量方程:综上得到4个运动方程：T44=g44综上得到4个运动方程：T44=g44LM-244丸M8g44=102+1屮‘2-e2bV22102+1屮‘222一e2bV=6A‘2102+1屮‘222一e2bV=6A‘2102+1屮‘2+e2BV=-6A‘2-3A"+3A‘B‘(9)22(9)0‘+(4A‘-B‘)p‘=e2b空00屮“+(4A‘-B‘\‘=e2b——2.3运动方程的求解这四个运动方程(9)式可以通过超势法(Superpotentialmethod)[18]来求解:设错误!未找到引用源。VG，屮)二"G)~G)利用这里的巧妙设定：错误!未找到引用源。屮=<3bA[15]得到：x.3bA“+丽(4A‘-B‘加=e2b空2e2bV二-3A心A‘-B‘)—3A‘‘两式相除得到：C)=e-2：b3屮(10)为使得方程中的e2b消除，可令B=bA,b是一个正参数，则方程变为：102+1屮‘2-VG)=6A‘222(11)102+1屮‘2+pG)=-6A‘2-3A“+3A‘B‘22(12)0‘+(4A‘-B‘)p‘—0V"0)00(13)文献原式为错误!未找到引用源。3M3a(awG(awG))2'2V(p)=-3A'(4A'-B')-3A''(15)设超势为W（（p）aw(0)—=0'ap(16)申'2二一3A"(14)所以0'ddwG)_如QawG)_°wG)QQWG)ByQ0 dyQ0Q0 dyQ0Q0'( 、 -3a(A'(4A'一B'))(4A'-B认 一.、-3a(A'2(4一b))(4一b)A'0= —得到所以只要设：A'24-b-W2

所以只要设：A'24-b-W2

6'awG)]2一2〔B0丿VG，屮）二e-2丫b3屮|1之前的4个运动方程（9）式化为： 「BW（P=0,A'=--W,B=bA,v=43bAB0 3在这里我们找到一个合适的超势W妙wG）=a—冗4一^W26则解为：Q00+—Sin

冗0(y)=2—ArcTan\ay]-)A()=a—2电yArcTan\ayD屮(y)^/3bA(y)B(y)=bA(y)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)其中a和u都为正参数，下面给出了卷曲因子和单kink场（p（y）的图像。图2.1为卷曲因子的图像，图2.2为单kink场的图像，选择参数a=1,u=2。

图2.2申图2.2申-y2.4膜世界解的特点和存在的合理性现在我们讨论这种解的物理性质，分析下是否能构成膜世界。由图2.1可知，卷曲因子是光滑的，系统的能量密度不会出现奇点，在原点会有一定的展宽，如果能构成膜世界，那它将是一个厚膜模型。同时标量场卩勿为一单kink场，所以最后得到的膜世界应该是一单膜。Cos2d(26)丿丿Vb2VCos2d(26)丿丿Vb2Vb4图2.3V©)呷Vb6如图2.3所示，a=30，u=l/10。当b=4时，V出现一系列的真空态，所谓真空态，即背景标量场不处于激发状态，无背景标量粒子产生。由于我们选择标量场卩创是单kink场，当额外维坐标yf±g时，^(y)^±V0,即±u。标量场的值被约束在±卩之间，所以图中有物理意义的图像只是临近的两个真空态之间的图像,表明当额外维趋向无穷远时，标量场逐渐接近真空态，不存在物质分布。我们只考虑经典的场论情况，而不考虑引力的量子效应，所以当b>4时或者当b<4时,V的图像真正有意义的也只是临近的两个真空态之间的图像(暂不考虑这两个系统的稳定性)，所以得到和b=4时一样的结论。同时我们得到厚膜世界的能量密度T00

2(b-1)aB(2yArcTan[ay])T=e 3兀x00[兀(1+a2y2)丿则：+(3b一 (2ArcTan[ay[兀(1+a2y2)丿则：(28)T(yT±g(28)T(yT±g)000a2U43兀2A+(3b-6)愛1 9兀21<b(29)T(0)=4a2°200其中△1和△2都是正的无穷小量且Lim—2二0。yTg412.0y图2.6厚膜能量密度T00酎1.1T00b2.01.51.00.52.0y图2.6厚膜能量密度T00酎1.1T00b2.01.51.00.50.00.51.010 5 0 5 101/2.01.51.00.50.00.51.02.01.51.00.50.00.51.0yT00 b2.0110 5 0 5 10以上图像中a=1,1=2。我们可以从图像2看出T00随b在不同区域的取值而发生的变化。无论哪一种情况，能量密度都在原点呈现一定的展宽，而非理想化的8函数。从以上的T00的计算和图像可以知道，当1<b<2时，T00是衰减的；当2<6时，T00是发散的，总的能量都是无穷大，不符合要求。所以只有当0<b<1时，才能得到合理的厚膜数值解。第三章局域化机制简介如果真的有额外维存在，那么它就会在我们的四维时空中留下痕迹，这一痕迹就是KK粒子（KK模式）[19],也就是说KK模式是高维时空中的粒子在低维世界中的表现形式，根据狭义相对论的质能关系，额外维的动量在四维时空中被看做质量。因此额外维的信息将以质量谱的形式展现出来。前一章中,我们已经得到了两个标量场在五维时空中生成的厚膜解,那么如何从理论上来验证这个厚膜解的合理性就是现在首先要考虑的了。这一验证方法就是物质场的局域化，所谓“局域化”，是指高维物质场的KK模式能被束缚到膜上。这样做的目的有两个,第一是为了保证能够在四维时空中重构出标准模型，第二是为了给实验上探测额外维提供可能性，只有当KK模式能够被束缚到膜上时，我们才可能观测到它的存在。我们认为零模式（额外维动量为零）代表四维时空中的已知粒子，因为它不携带额外维的信息，其他有质量的KK模式则代表着额外维的存在。因此研究物质场的局域化，首先要保证零模能够被束缚在膜上，从而不与现在的物理规律相矛盾，其次要研究有质量的KK模式在膜上的局域化情况，从而为探测额外维存在提供理论预测。我们采用KK分解的局域化机制，将高维物质场的膜上部分与额外维部分分离（假设膜与额外维垂直）。通过这一方法，我们可以得到额外维部分的类Schrodinger方程，这样就达到了简化问题的目的，从而通过求解Schrodinger方程来得到KK模式。下面我们将分析三种典型的形式场（标量场，矢量场，Kalb-Ramond场）的局域化来验证厚膜解的理论合理性。13第四章物质场在膜世界上的局域化在这一章中，我们将通过KK机制得到三种物质场相对应的类Schrodinger方程来讨论这些物质场在膜世界上的局域化和质量谱。为了确保这几种物质场都能实现局域化，我们将考虑在背景微扰下的物质场，忽略物质场对背景几何的逆效应［13,20,21］。为了方便，我们使用共形平直度规：ds2=e2A（y）（dx卩dxv+dz2） （30）yv将它与度规（2）比较，我们发现当=（b-i）Ady时，两个坐标系统等价。对于共形的平直时空来说，当0<b<1时额外维z将是无限大的，当b>1时额外维z将是有限的（|z|<z=辛））。我们将主要讨论参数b对零模和物质场质量maxaU2\b—1丿谱的影响。4.1标量场首先，我们研究五维时空中的标量场的局域化，这里我们讨论自由的标量场不考虑它与背景标量场的耦合。设自由标量场的作用量：因此，1. .——S0=-2'd5心-ggMN°M祝N①对应的Lagrange密度为(31)(32)标量场①的运动方程为=0°L °=00—C 0—。①P°°①P这里0°L°L0—

dd①PggMNd（d①。①）MN dd①P——J—ggMN5P°①2 MN=-gPN°n①所以运动方程为Q(—ggPMQO)=0P' M代入五维时空度规式(30)(33)其中ds2=e2AG)(dx卩dxv+dz2)

yv得到：TOC\o"1-5"\h\zg二e2An,、厂g=e5Av-g二e5A|1V |1V得到：5Ai-ge-2AQ①)L zQ(一ggpmQ①)=Q5Ai-ge-2AQ①)L zP、 M P( M ) (=Qe5A、一ge-2AnyvQ①厶Q\

y( ) (v )=e3aqnyvQ①丿+Q3aq①丿=o

y v zz即：QyvQ e-3AQ(3AQ①)=0yv zz现在我们做KK分解：①(x,z)=Y©(x)X(z)e-3A/2(34)(35)nnn将式(35)代入方程分离变量：工I(z)e-3A/2QyvQ©(x))+©(x)e-3AQLAQC-3A/2x(z)用=0.yvn n zznX(z)e-3A/2Q(nyvQ©(x))+©(x)e-3A/2n yvn nQ2XQ-fA，2X2n丿Qho©O)Q2Xn(z)-4A*Xn(z)-2A"X(z)y心=- X(z)nn所以：Qyv^©(x))卩 (uX« =m2©x nn(36)Q2XQ-9A，2XQ-3A"XQ)zn4n2X(z)n(37)这里mn2是常数，得到:其中a(vQQ(x))=m©Q □_m2I(x)=0卩 vn nn nna2+v())X()=2X()z0(39)vQ)=—a2A+—(aA]0 2z4z式(38)为四维时空中标量场的Klein-Gordon方程，式(39)为关于额外维的类Schrodinger方程，携带有额外维的信息。另外，如果我们引入正交归一化条件，则可以成功将五维标量场作用量约化成四维的有效作用量：s=-1Jd5x一ggMNa①a①MN=-1Jd5xe5A*-g(-2Agyva①a①+e-2Agzza①a①)2 / 卩v zz=-—H}d4xj-gg^a©a©nm-—HfJd4xx；■-g©©卩mvn m nJdze3Aafe-3A2Xmn zI m、f3』ae-3A2X丿zv n丿丿nm(40)其中：Jdze3Aa(e—3A2=Jdze3Aa2x]amf-3A'//\e-3A2Xn丿3A2a丿z\e-3A2X+e2mXzmY—3A'=Jdzf9A'2咒(z)x(z)--A'G咒)X-乂4 m n 2 zmn=Jdz9A'2XQ)XQ+14mn:\+e-3A2aXzn丿2e3A2X2a'xGx)+Gx)6mz-3A'X (z)X (z)|+2A''X (z)X (z)2 m n、2 "m "n=Jdz9A'2X(z)X(z)+—A'X(z)X(z)-X(z虽2X(z)'乂4 m n 2 m n r.=JdzX(z丫9A'2X(z)+3A''X(z)-a2X(z)m14 n 2=Jdzm2X(z)X(z)nm n乂4 m n 2 m n m znzn)]丿+L(xax)-xa2x】zmzn mzn丿所以当额外维满足正交归一化条件时：JdzX(z)X(z)=§mnmn(41)可以得到：工Jd4X、；一gC庇申a©+m2©2)2 卩nVn nnnS=一丄工Jd4x«0 2S=——工Jd4x□©0 2n所以必须保证零模正交归一化的情况下，才能得到正确的四维标量场有效作用量。现在让我们重写出式(40)关于y的等效势函数V0:v(z)=3a2a+—(aa》aA=eG-b)a°A, a2A=e2(1-b)a(2A+(1—bA))z y zV(y)=3e2(1-b)ay2A+o 2 yV(y)=e2(1-b)A0yvQ申a©+m2©2)卩nVn nnI+m2©2)n nn选取我们之前膜世界的解式(23)A(y)=得到：(yT0)=-丝20 兀2(ytg)=00(y*)=0^0 4兀2(yTs)=+10—e2(1~b)ACa)y 4 y3 3(5 V-a2a+——-b212丿、2y代入：ao2(2yArcTanlayD3兀2(aa>(0<b<1)(b=1)—A+一一一bA2I 1(b>1)其中△1和△2都是正的无穷小量且Lim—2二0oys'10.050.000.050.100.150.20V0b1.015图4.1V0-y(b=0.1)y图4.3V0-y(b=2.0)0.050.000.050.100.150.200.050.00_0.050.100.15'0.20L/11■11111.Kb2.010102.5y图4.4V0-y(b=2.5)40 20 0 20 40图4.5V0-y(b=2.8)0.050.000.050.100.150.20图4.2V0-y(b=1.0)Kb2.8在这一膜世界中，自由标量场的有效势函数展现在图中（参数a=1,u=1）o当0vbv1时，有效势函数V0为类火山势，如图4.1；当b=1时，V0为PT势，如图4.2；当1<b<2.5时，V0在额外维边界处发散，如图4.3；当2.5<b时，V0在额外维边界处衰减，如图4.4及图4.5。由于有效势函数在额外维原点为负值（a，u都是正参数），保证了零模解的存在。自由标量场的零模解为m0=0时的额外维场函数d2咒（z）=V咒Q）眩(z)J眩(z)J1A，Q+9aQ1(z)z012 4丿z0咒He3a£>20零模是否能局域化到膜上，等价于零模是否能满足正交归一化条件:J叫J叫(z (z)=L0(z)e(b-1)Adyf心2)a1〉(2yArcTanfayT)乂Je亠+2 3^2 dy因此当b>-2时可以满足归一化条件，我们的厚膜解要求0vb<1满足b>-2,所以自由标量场可以局域化到膜世界上。我们总结一下这章内容，在0<b<l的区间内，b取任何值，自由标量场的零模都可以局域化到膜上，所以不存在不稳定的KK模式，自由标量场可以在这个膜世界上实现局域化。当0<b<1时，有效势函数为类火山势，只有零模能局域化到膜上；当b=1时，有效势函数为PT势，类似有限深势阱，有限个有质量的KK束缚态解存在。4.2矢量场这一章中，我们讨论矢量场的局域化。由于一般自由矢量场不能局域化到膜上,所以我们首先引入矢量场与背景标量场（dilaton场）的耦合来讨论它的局域化，然后让耦合参数取零，来导出非耦合的情况。设与背景标量场（dilaton场）耦合的矢量场的作用量：1f ,——S=一一Jd5x一ge^^gMRgNsFF1 MNRS因此，对应的Lagrange密度为(42)L=—1.■■—get屮gmrgnsFF14* MNRS矢量场场强Fmn由式(44)给出：(43)矢量场Ap的运动方程为这里dLi—

ddAQP所以运动方程为F=dA-dAMNMNNMOL dL 04—di=0OA QddAP QP%0i二0

dAP1 d(F F)4、.：-get屮gMRgNs—oG=_p—get屮gMRgNS 1MNRSddAQP)A一dA)FN N_M——RSddAQP(44)=一.「一get屮gQRgPsF% RSd 一ge^wgMRgNsFM RS代入五维时空度规式（30）)=0(45)ds2=e2A(y)(dx卩dxv+dz2)其中g=e2ah，■—g=e5a■-g=e5a

|iv |iv七 "式（45）有一个自由指标，所以可以分为两类方程：Q(■'-getQ(■'-get屮gMRgmF)=Q(5a—ge^屮e-2Agvpe-2Ag“F)M RS v ' p九、v—ge^屮e-2Ag44e-2Ag卩尹J■■—geA+T屮gvug“F'+Q —geA+T屮g“F丿p九 4 4九RSv+Qe5A=q(v=0TOC\o"1-5"\h\zN取4指标时,( )( )Q一get冗(y)gMRg4sF厶Q》5a：-geT屮e-2Agvpe-2Ag44F’

M RS v( ) p4=Q—geA+T屮gvpF丿N、 p4二0即：eA+x^d(.■'-ggvpgMFIg»p-gd(a+t屮FL0v' p九 勺 4 4九()ex屮Q—gg时F—0

卩 v4现在我们选择规范A=0并做KK分解：A(x,z)=Ya(n)(x)p(z)e-(+"3bT)2卩 卩 nn(46.a)(46.b)(47)由式(47)可以得到F=YFp

pX pXin一工a(n)Qpp(z)e-(+'3』2(48.a)F=p4nQe-(+臥》；+p(z)(1- ke-(+畑》：zn n 2 丿(48.b)zn1-J3br)A-e-(+%》2丿(48.c)pJ-pJ-将式(48・b)，(48f)代入方程(46.a)分离变量：Y5屮。Yv^p(z\-(+■3brl2+g“e-Aa(n)Qv n "+p(z)(-1-J3brn这里屮（z）=<3bA（z）,可以得到:et屮◎(+、3b)A26 (vy))(z)=—丘丫屮GlL3b)A2ay(n)(62p(z)v n zn1+莎 (1+V3bt丿A+2^.'3brA<)—pCn'+ap(zXr屮QznAS)(50)所以我们有C)drv"二m2a血)V nL°+V(zipQ=mp(z)zn这里m2是四维矢量场的质量，有效势函数V1为n ' )() (+極)(51.a)(51.b)nnVS1U如6A》+出叱2A14z2z(52)同样式(51.b)为关于额外维的类Schrodinger方程。另外，如果我们引入正交归一化条件，则可以成功将五维矢量场作用量约化成四维的有效作用量：S=——Jd5兀：'一get屮gMRgNsFF1 4 * MNRS=——Jd5xe5A：—getv—4AgMRgns(6A—QA)6A—QA)4 MNNMRSSR=—1Jd5xeA+tv：—g《陀gvpFF+gvpQA6A+g陀6A6A)4 yvap 4v4p 4卩4a=——Jd5X%—g[gyagvpFnFmpp+gvPa(n)a(m)(Qp6p4 yvapnm vpznzmnm / )App)nm—1+、;3bu6p+p6p)+』mzn nzm 4（+g陀aQa匚)dpdp—znzmdpmz+p6p)+1+*3加)ASpp]

nzm 4 nm丿丿=一丄工工Jd5xj—g[gpagvPFnFmpp+2gpva(n)a(m)(Q(Qpp)—pQ2p4 pvapnm pvzznm mzn丽辛pp+1+')A"pp)]2mn 4 nm-dznm+p3brmn=一丄工工Jd5X‘一g[gpagVPFnFmpp+2gpva(n)a)(—pQ2p4 pvapnm pv mznnm(亍)A〃 1+、丽丿和聋+1+、：3bT pp+ A‘2pp)]mnr入 J )d4mnr入 J )d4兀\：■—g2gpva(n)a(m)Jdzm2pp丿pv nnmd4X*—ggpagvPFnFmJdzpp+Jpvap nm当额外维满足正交归一化条件时：(53)Jdzp(z)p(z)=5(53)mn mn可以得到：—g——gpa—g——gpa(fvPFnF

I4 ii, 丄 尸m— m2gpvpvaP2ngpva(n)a(n)〜 pV丿(53)这里Fn a(n)-Qa(n)为四维有效矢量场的场强。pvpvvp所以必须保证零模正交归一化的情况下，才能得到正确的四维矢量场有效作用量。现在让我们重写出式(52)关于y的等效势函数V1：)畔dGa》+(+列2AQA=e(i—b)AQA,Q2A=e2(i—b)A(Q2A+(i—b)(QA)2)z y y+片丽丿V(z)=1Vi(y)=TV(y)=e2(i-b)a1e2<1—b)A冷2A+_)y

出2A+yy 4e2(1-b)AGA)y、+®!)+2(+{3^1—b)(QA)选取我们之前膜世界的解式(23选取我们之前膜世界的解式(23)A(y)=au2(A(y)=3兀2得到：(yt0)=-2a202(*丽)1 3兀2(yTx)=0\o"CurrentDocument"1 (-)\o"CurrentDocument"(yT丄a2041 '3T1(0<b<1)36兀2V]y”七1-A+3-2b+莎曲1 2 9兀2丿其中△1和△2都是正的无穷小量且Lim—2二0。yTs1要存在零模解要求有效势函数在额外维原点为负值（a,“（八 2a202（+符丽）VlyT0丿二一 <03兀2V1y即要求T必须满足:1T>-=3b所以当T<迅3时，V（yTS,b>1）为负无穷；当P>迅3时,叫b 1 *3b无穷。图4.6V1-y(b=0.5)0.1图4.8V1-y(b=1.7)(b=1)(b>1)u都是正参数）：V(yTb>1)为正1图4.7V1-y(b=1.0)b3.0y0.00.1V图4.9V1-y(b=3.0)0.20.3U30 20 10 0 10 20 30/、/\■J\―i__i_LVb3.30.10.00.10.20.3图4.10V1-y(b=3.3)在这一膜世界中，与背景标量场（dilaton场）耦合的矢量场的有效势函数展现在图中（参数a=1,u=1,t=1）。当0<b<1时，有效势函数V1为类火山势，如图4.6；当b=1时，V为PT势，如图4.7；当1<b且t<»时，V在额外维边v3b界处衰减，如图4.9及图4.10；当1<b且t>駕时，Vi在额外维边界处发散,如图4.8。TOC\o"1-5"\h\z耦合矢量场的零模解为m0=0时的额外维场函数d2p（z）=V（z）p（z）A二0） 1d2p(z)=z0(z)0+“3bT“（aAd2p(z)=z0(z)04 z 2p（）y（+"30。ypVz丿xe 20零模是否能局域化到膜上，就是零模是否能满足正交归一化条件:零模是否能局域化到膜上，Jdzp(z)pQ)=Jp2(z)e(b-i)Ady x Je-+3加3冗2°yArcTan^^dy y000因此当t>-我时可以满足归一化条件。我们的厚膜解要求0<bV，这时-爲3>-爲，所以当t>-£〒时，与背景几何的耦合矢量场可以局域化到膜世界上。当物质场为自由矢量场时，耦合参数T取0,这时仍旧满足t=0>-；■；，即V3使不引入背景几何的影响，矢量场依然能局域化到膜世界上。我们总结一下这章内容，在0<b<1的区间内，若t>-Jb；，矢量场的零模都可以局域化到膜上，所以不存在不稳定的KK模式，无论是否考虑背景几何的影响，矢量场可以在这个膜世界上实现局域化。当0<b<1时，有效势函数为类火山势，只有零模能局域化到膜上；当b=1时，有效势函数为PT势，类似有限深势阱，有限个有质量的KK束缚态解存在。Kalb-Ramond场现在我们进一步考虑Kalb-Ramond场的局域化，由于自由的Kalb-Ramond场的零模不能局域化，所以必须考虑背景几何的影响，引入与背景标量场（dilaton场）的耦合以便零模能局域化。考虑耦合的KR场作用量：S =-Jdx-ge^vH HmnlKR MNL因此，对应的Lagrange密度为L=—：一ge^gMDgNEgLFH HKR DEFMNLKR场场强Hmnl由式(56)给出：(55)KR场BOP的运动方程为这里dLKR—ddBQOP所以运动方程为H=dBMNL[MNL]dL dL oKR—d K^=0dB QddBOP QOP%0KR二0dBOPd(H H)¥‘—geWgMDgNEgLF DEFMNL' ddBQOP2 dH TT=_P—ge^^ gMDgNEgLF 严H3! ddBMNLQOP12二一•'一ge^W gMDgNEgLF8Q§ PHV 3!o DEFMNL=—2J—geQwgMQgNOgLPH¥ MNLdQ代入五维时空度规式(.：—g匚屮gQMgONgPLH L0、 MNL30)ds2=e2A(y)(dx卩dxv+dz2)□V(56)(57)二e二e2的 ：—g二e5a,.—g二e5a|1Vg□V式（57）有两个自由指标，可以分为两类情况讨论：O=a,P=B（a,B取0,12,3指标）时，TOC\o"1-5"\h\z）（― ）（一 ）—geQwHQOP，=d—geQwH叫卩3。 —geQwH4a卩丿、 □ 、O=4或P=4O=4或P=4指标时，( )d—ge®H卩卩〈=0叮 )d—ge®H叫厶0□即：e、a(:—gH陀卩)^(■-geWHap)=0me^a(—gHmB)=0m现在我们选择规范Ba=0并做KK分解：(n)(^,)aB aB (n)n由式(59)可以得到：H凹卩ap阻 a工maB()e(-、'庞)vponn

?ai)^)(丄庞uG)()(1-r阪(-阪定2丿1HaPA乙3将式(60.a),(60.b)代入方程(58.a)分离变量:乞Jew。S［卩baBU(z)e-(+*3庞》；t+41纳3e-吨'u)(z)e「◎；+UC上卡EeL欣J(58.a)(58.b)(59)(60.a)(60.b)(61)这里屮(z)=\：3bA(z),可以得到:d8[卩baB]U卩 n n(z)=--baB(a2U(z)+auQ(1+、亦+1-页)3nzn zn顾-1Ajin2-U(z)nAS)(八)d刊卩ba卩v3—n——:

baB

na2U(z)-u(z卜3庞-1a2a+(1-'3庞)2(aa》]znn 2z 2 z-utz) n所以我们有a(h财)=m2baB,/3卩 nnLa+V(z)U(z)=m2U(z)zKRnnn(62)(63.a)(63.b)(a)+FUa2a4z 2z这里m2是四维Kalb-Ramond场的质量，有效势函数V为n(a)+FUa2a4z 2zKR同样式(63.b)为关于额外维的类Schrodinger方程。

另外，如果我们引入正交归一化条件，则可以成功将五维Kalb-Ramond场作用量约化成四维的有效作用量：S=—Jd5Xv—geWgMDgNEgLFH HKR DEFMNL=—Jd5Xe5A,—ge^—6AgMDgNEgLFQB% [DEF])a(B)[MNL]3乂2v2 A+ gvpgayababaPyyva6X6 4Py4va)a(B)[MNL]3乂2v2 A+ gvpgayababaPyyva6X6 4Py4va丿=—HJd5xj-g[gyagvPgayh与h)UU+-gvPgayb(n)b)GU0Unm aPy：('a…£(—、/3b©k(uau+uau)+ —販: asuu)]2mzn nzm 4 nm=—Hjd5xj—g[gyagvPgayh(n)h(m)UU gvPgayb(n)b(m)(a(QUU)—Ua2U3 Pyvazznm mznnm ( )—UU+— A'2UU)]2mn 4 nm邓丫yvanm卩丫vaznzmau+uau)+mzn nzmaPyyvanm—(—应庄+a〔(—、宓肚uu、z( 2mn丿=—HJd5xJ—g[gyagvPgayh(n)h(m)UU gvPgayb(n)b(m)(—U02”aPyyva" … 3 Pyvamznnm ( )1-阪丿A，2UU)]邓丫yvanm+(3b©—l^UU+2mn 4nm=—H(Jd4x—ggyagvPgayh(n)h「)JdzUU+Jd4xJ-g丄gvpgayb©)b「)Jdzm2UI aPyyva nm 3nm当额外维满足正交归一化条件时：JdzUQ0=6mn mn邓丫yva nmU卩丫va nnm/(65)可以得到：n._ (入 入 入 入 入 1 入 入 入 入)(66)邓丫yva3nd4XJ'—gg陀gvBgah(n)hC”)+—m2gvBgayb(n)b(66)邓丫yva3nKR % c c c这里h(n)=ab为四维有效矢量场的场强。aPy [yaP]所以必须保证零模正交归一化的情况下，才能得到正确的四维Kalb-Ramond场有效作用量。现在让我们重写出式(64)关于y的等效势函数VKR:(z)=L驱)(aA》+-1)aA4z(2za2A=e2(1-b)Aa2AzaA=e(1-b)AaA,a2A=e2(1-b)A(a2A+(1-b)(aA))z y z y yV(y)=g- C2A+(-bA))+j丿KR 2 y y'骚一i'2a+(-、Q2V(y)=e2<i-b)aKRe2(1-b)A(aA)2-4-b儿a)'y丿选取我们之前膜世界的解式（23）A（y）=代入:au2(2yArcTanlayD3兀2得到：(y—0)=-2a2(视-d2KR(y—g)=0KR(0<b<1)(y—g)=a2U4WKR 36兀2(y—亠壬11KR 2-A+1-2bf1、a2u49兀2丿(b=1)(b>1)其中△］和厶2都是正的无穷小量且Lim