运动电荷在磁场中的运动问题解题技巧

高考物理电磁场模型解题技巧5.运动电荷在磁场中的运动问题基础知识回顾知识点一洛伦兹力、洛伦兹力的方向、洛伦兹力公式洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力.2.洛伦兹力的方向判断方法：左手定则.磁感线垂直穿过手心.四指指向正电荷运动的方向.拇指指向正电荷所受洛伦兹力的方向.方向特点：F±B,F±v,即F垂直于B和v决定的平面.(注意：B和v不一定垂直)3.洛伦兹力的大小：F=qvBsinO,0为v与B的夹角.v〃B时，洛伦兹力F=0.v±B时，洛伦兹力F=qvB.v=0时，洛伦兹力F=0.知识点二带电粒子在匀强磁场中的运动1.洛伦兹力的特点：洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功..粒子的运动性质(不计重力时)若v〃B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动.若v±B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动..半径和周期公式, v2 mv(1)由qvB=m—，得r= .r qB, 2n, 2nr(2)由v=, 2nm，得『IB解题技巧技巧一巧读洛伦兹力1.对洛伦兹力的理解洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功.当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化.用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向.洛伦兹力和安培力的比较洛伦兹力是单个运动电荷在磁场中受到的力，而安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现.安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力.安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功.3.洛伦兹力与电场力的比较内卜T力堰伦兹力电坷一力古生条件〜口且〔，不与E平行电蒲城在电场中大小F二g匚_£?(t_LH)F二qE一力步向与坷一宅是F1上B*FXi,正电茴受力与混场方向相同,负电持受力与电场方与相反方肯的关系与电荷电峰无芜聚功清况阳何清厅下都不可能敬王功、负男，也散功可能不做功【例1】1.(2020-徐州市铜山区大许中学月考)关于带电粒子在匀强磁场中所受的洛伦兹力，下列说法正确的是()洛伦兹力的方向可以不垂直于带电粒子的运动方向洛伦兹力力的方向总是垂直于磁场的方向洛伦兹力的大小与带电粒子的速度方向和磁场方向的夹角无关仅将带电粒子的速度减半，洛伦兹力的大小变为原来的两倍【答案】B【解析】力、洛伦兹力方向既垂直于带电粒子的运动方向，又垂直于磁场的方向，选项刀错误、B正确；以洛伦兹力的大小与带电粒子的速度方向和磁场方向的夹角都有关系，将带电粒子的速度减半，洛伦兹力的大小也减半，故C、D错误.故选B.【例2】(2020-浙江宁波咸祥中学高二期中)导线中带电粒子的定向运动形成了电流。带电粒子定向运动时所受洛伦兹力的矢量和，在宏观上表现为导线所受的安培力。如图所示，设导线ab中每个带正电粒子定向运动的速度都是v,单位体积的粒子数为时，粒子的电荷量为q，导线的横截面积为S，磁感应强度大小为8、方向垂直纸面向里，则下列说法正确的是由题目已知条件可以算得通过导线的电流为I=nqvS题中导线受到的安培力的方向可用安培定则判断每个粒子所受的洛伦兹力为F洛=qvB，通电导线所受的安培力为F安=nqvB改变适当的条件，有可能使图中带电粒子受到的洛伦兹力方向反向而导线受到的安培力方向保持不变【答案】A【解析】电流：I=Q=竺竺=nqvs，则A正确；导线受到的安培力的方向由左手定则判断，则B错误;tt粒子所受的洛伦兹力为F落qvB，导线长度为L，则其受的安培力为：F=nqLSvB=BIL，则C错误;洛伦兹力方向反向决定了所受到的安培力方向也反向，则D错误；故选A。【例3】（2019-涟水县第一中学高二月考）有关洛伦兹力和安培力的描述，正确的是（）通电直导线在匀强磁场中一定受到安培力的作用安培力是大量运动电荷所受洛伦兹力的宏观表现带电粒子在匀强磁场中运动受到的洛伦兹力做正功通电直导线在磁场中受到的安培力方向与磁场方向平行【答案】B【解析】当通电直导线放置方向与匀强磁场方向在同一直线上时，不受安培力的作用，A选项错误；安培力可以看成导体内大量电子共同受到洛伦兹力产生的，即B正确；在匀强磁场中，洛伦兹力始终与运动方向垂直，此时洛伦兹力不做功，C错误；由左手定则可知，通电直导线在磁场中受到的安培力方向与磁场方向垂直，D也错误.故选B。【例4】(2020-山西高二期末)有一个电子射线管(阴极射线管)，放在一通电直导线的上方，发现射线的径迹如图所示，则此导线该如何放置，且电流的流向如何( )直导线如图所示位置放置，电流从A流向B直导线如图所示位置放置，电流从B流向A。直导线垂直于纸面放置，电流流向纸内D,直导线垂直于纸面放置，电流流向纸外【答案】B【解析】电子射线管发出电子，为负电荷，从图中可知电子向下偏转，即受到向下的洛伦兹力，根据左手定则可知电子处在垂直纸面向里的磁场中，根据右手螺旋定则可知导线按如图所示的位置放置，电流方向从B到A，B正确.技巧二巧解带电粒子做圆周运动问题轨道圆的“三个确定”1.如何确定“圆心”由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹.确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点(一般是射入和射出磁场时的两点)，过这两点作带电粒子运动方向的垂线(这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向)，则两垂线的交点就是圆心，如图(a)所示.若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图(b)所示.若只已知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图(c)所示，此时要将其中一速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角(ZPAM)，画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O,该点就是圆心.

2.如何确定“半径”、. .、一， ,,mv万法一：由物理万程求：半径R=--；qB方法二：由几何方程求：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定.如何确定“圆心角与时间”（1） 速度的偏向角咛圆弧所对应的圆心角（回旋角）0=2倍的弦切角a,如图（d）所示.（2） 时间的计算方法.方法一：由圆心角求，I=二T； 方法二：由弧长求t=-2n v【例5】（2020-运城市景胜中学月考）如图所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，正、负电子分别以相同速度沿与x轴成30°角从原点垂直射入磁场，则正、负电子在磁场中运动时间之比为（）X…「xXxXA.2：1B.1：2C.1：必D.1：15【答案】A【解析】电子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，轨迹如图所示可得V2qvB=m—r再有T=至，联立上式可得V2兀mT= qB由于两个电子带电量相同，可得两个电子的运动周期相等;正电子从y轴上射出磁场时，根据几何知识可得，速度与y轴的夹角为60，其轨迹对应的圆心角为120，则正电子在磁场中运动时间为120 1 T=—T360。 3同理可知，负电子以30入射时，从x轴离开磁场时，速度方向与x轴的夹角为30，则轨迹对应的圆心角为60，则负电子在磁场中运动时间为t=-6^T=-T2360 6所以正电子与负电子在磁场中运动时间之比为«:t2=2:1故选A。【例6J.（2020-西藏城关•拉萨中学月考）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场.一带电粒子垂直磁场边界从«点射入，从b点射出.下列说法正确的是■乂 乂 *粒子带正电粒子在b点速率大于在a点速率若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短【答案】C【解析】_V2由左手定则确粒子的电性，由洛伦兹力的特点确定粒子在b、a两点的速率，根据qvB=m—确定r粒子运动半径和运动时间.由题可知，粒子向下偏转，根据左手定则，所以粒子应带负电，故A错误；由于洛伦兹力不做功，所以粒子动能不变，即粒子在b点速率与a点速率相等，故B错误；若仅减小磁感应强度，由公式V2 mvqvB=m得：r==;，所以磁感应强度减小，半径增大，所以粒子有可能从b点右侧射出，故Cr qB正确，若仅减小入射速率，粒子运动半径减小，在磁场中运动的偏转角增大，则粒子在磁场中运动时间一定变长，故D错误.【例7】（2020•江苏月考）如图所示，在一挡板MN的上方，存在磁感应强度为B的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。MN边上O点处放置了发生光电效应的极限频率为v的金属钠，现用频率为2v的光去照射钠，已知电子质量为m、电荷量为幻普朗克常量为h，不计电子的重力和电子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收。则没有电子从磁场逸出的矩形磁场的最小面积为（ ）

A.12mhvB. —eA.12mhvB. —e2B2C.16mhve2B224mhD. Le2B2【答案】B【解析】根据爱因斯坦光电效应方程可知：光电子的最大初动能mv2=h（2v）一hv=h2m所以光电子进入磁场的最大速度光电子在磁场中的运动最大半径rmv V2mhv—~eB~eB所有粒子在磁场中最大半径相同，由。点沿MN射入的光电子恰好应为最右端边界；随着粒子的速度方向偏转，光电子转动的轨迹圆可认为是以2R为半径转动，如图所示由几何图形可知，没有电子从磁场逸出的最小矩形磁场的面积S=（3R）.（2R）=冬e2B2故选B。【例8】（2020•江苏启东中学高二开学考试）M点是位于圆形匀强磁场边界的一个粒子源，可以沿纸面向磁场内各个方向射出带电荷量为0、质量为以、速度大小相同的粒子，如图所示.已知磁场的方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为方，所有粒子射出磁场边界的位置均处于边界的某一段圆1弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的3，不计粒子的重力，则此粒子速度的大小和在磁场中运动最长

的时间分别为A.qBR,2nmv=——,t的时间分别为A.qBR,2nmv=——,t-mBq3qBRB.v— 2m2nmt机—3Bq3qBRt〜2nmC.v= ,t〜—z—2m Bq【答案】C【解析】qBRD.v= m2nmt铝 3Bq所有粒子的速度大小相同，因此在磁场中做圆周运动的半径大小相同，由于所有粒子射出边界的位置均处于磁场边界的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是圆形磁场周长的3,则最远出射点离M点的距离为粒子做圆周运动轨迹的直径2r,由几何关系可知，r—Rcos30。-室R,由qvB—m兰2 rr V2解得qvB—m—，因为粒子是从M点沿纸面向磁场内各个方向射入，取最靠切线方向的粒子，在r2nm磁场中近似做完整一个圆周，其运动的时间最长，即'『'故C正确，A、B、D错误;故选C故选C.技巧三考点三带电粒子在有界磁场中的临界极值问题带电粒子在有界磁场中运动的几种常见的情形直线边界：如图甲、乙、丙所示，粒子进出磁场具有对称性，且粒子以多大的角度0进入磁场，

就以多大的角度0出磁场；粒子进入磁场时的速度V垂直边界时，出射点距离入射点最远，且Smaxmax=2R如图甲所示；同一入射点和出射点，可能对应粒子的两个入射方向，且一个优弧”，一个“劣弧”弧”，如图乙、丙中的出射点A.甲 乙 内平行边界：常见的临界情景和几何关系如图所示.圆形边界:带电粒子沿指向圆心的方向进入磁场，则出磁场时速度矢量的反向延长线一定过圆心，即两速度矢量相交于圆心，如图所示.O'O'带电粒子进入有界磁场区域，一般存在临界问题(或边界问题)以及极值问题.解决这类问题的方法思路如下：直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值.以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解.【例9】(2020-濮阳高三月考)如图所示，直线集和饥的夹角为3。二在两直线所夹的空间内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场向右的区域无限大，磁感应强度为心。在F点有速度相等的正、负离子沿垂直于0口方向射入磁场。两离子的运动轨迹均与。右相切，若不计两离子间的相互作用力，则正、负两种离子的比荷之比为()

TOC\o"1-5"\h\z73:11:33:1【答案】D【解析】如图所示，由左手定则知磁场中的正离子向左偏转、负离子向右偏转。洛伦兹力提供向心力，正离子有负离子有V2qvB=m由几何关系知R

sinR

sin30°sin30°解以上三式得故选D。故选D。【例10】一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示.图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度①顺时针转动.在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动与MN成30。角.当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒.不计重力.若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为（）A.w3BB.①2BA.w3BB.①2BC.2wD.——B【答案】A【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动根据几何关系，有Z根据几何关系，有ZMOA=90°，ZOMA=45°，ZCMOf=60°，所以ZOMA=75°，ZOAM=75°，ZMOAZMOA=30°，即轨迹圆弧所对的圆心角为30°，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期了=带，粒30° 12兀m 1 12k子在磁场中匀速圆周运动的时间间=旅FF，圆筒转动90°所用时间E4厂=4X；m 3B粒子匀速圆周运动的时间和圆筒转动时间相等解得‘。、则£x驾=4xW，解得勺-wm 3BA正确，BCD错误.【例11（2020•江苏启东中学月考）如图所示，平行边界MN、PQ之间有垂直纸面向里的匀强磁场，

磁感应强度的大小为8,两边界间距为d,边界MN上A点有一粒子源，可沿纸面内任意方向射出完全相同的质量为m，电量为q的带正电的粒子，粒子射出的速度大小均为v=典竺，若不计粒3m子的重力及粒子间的相互作用，则粒子能从PQ边界射出的区域长度与能从MN边界射出的区域长度之比为（）W*XX伊I I；XX；I I!jcx!*XXII 'I|iM又x\Q■■A.?：1 B.2:3 C.t3:2 D.2（7:7【答案】C【解析】粒子在磁场中运动的轨道半径为r=m=3d，则能达到pq上的粒子长度为2?（3d）2一（3d）2?（3d）2一（3d）2=—d；能打到MN上的粒子的长度为2=3d，故粒子能从PQ边界射出的区域长度与能从MN边界射出的区域长度之比为提，故选C.2【例12].（2020-山西月考）如图所示ABC为等腰直角三角形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为8。磁场垂纸直面向里。BC边的长度为[。一质量为m带电量为q的粒子水平射入AB边的中点。从C点垂直BC边射出（不计粒子的重力）。下列说法正确的是（ ）召 c粒子带正电兀m粒子在磁场中运动的时间为；一Bq粒子做圆周运动的半径为L粒子入射的速度为骅2m【答案】D【解析】从C点垂直BC边射出，可知粒子向下偏转，根据左手定则可知，粒子带负电，故A错误;BCD.由几何关系可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，根据向心力公式得mv2

qvB= r解得，粒子入射的速度为qBrqBL

v= = m 2m粒子在磁场中运动的时间为1兀（L）-（-）宜

ru 2 2 —mt=——= — = v qBL 2qB2m故D正确，BC错误；故选D。技巧四带电粒子在磁场中运动多解问题的解法求解带电粒子在磁场中运动多解问题的方法分析题目特点，确定题目多解的形成原因.作出粒子的运动轨迹示意图（全面考虑多种可能性）.若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件.【例13】（2019-河北安国中学高三月考）M、N两板相距为"，板长为5么两板不带电，板间有垂直于纸面的匀强磁场，如图所示，一大群电子沿平行于板的方向从各处位置以速度羽射入板间，为了使电子都不从板间穿出，磁感应强度B的范围（）（设电子电量为e，质量为m）A.B.C.D.mv 2mvA.B.C.D.mv 2mv<B<—13ed ed2mv mvB> 或B< ed 13edmv 2mv <B< 10ed ed2mv mvB> 或B< ed 10ed 1.idJ L1XXX1 1【答案】A【解析】【解析】由图示可知，靠近M板进入磁场的电子刚好打到N板右边缘，对应的磁感应强度有最小值B1,设此时轨道半径为％，由牛顿第二定律得：mv2evB= iRi由几何关系得：(R-d>+(5d)2=R21 1解得：B广岛靠近M板进入磁场的电子刚好打到N板左边缘，对应的磁感应强度有最大值B2,此时轨道半径为为，由牛顿第二定律：mv2evB= 2R2由几何关系得:解得：_2mv

B 2ed综上所述，磁感应强度B的范围为：mv 2mv B 13ed edA正确。故选A。【例14】（2020-湖北荆门・高二期末）如图所示，边长为b的正方形abcd区域内（包括边界）存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在a点处有一粒子源，能够沿ab方向发射质量为m、电荷量为+q的粒子，粒子射出的速率大小不同。粒子的重力忽略不计，不考虑粒子之间的相互作用，则（）b c■::|***!」 *轨迹不同的粒子，在磁场中运动时间一定不同从c点射出的粒子入射速度大小为公性m兀m从d点射出的粒子在磁场中运动的时间为fqB粒子在边界上出射点距a点越远，在磁场中运动的时间越短【答案】C【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力：V2qvB=m——R解得半径：R=*粒子运动的周期:2冗R2冗mT= = vqB设粒子在磁场中转过的圆心角为6,粒子在磁场中的运动时间:t=2T如2兀 qB粒子速率不同运动轨迹不同，如果转过的圆心角6相等，则粒子在磁场中的运动时间相等，如从ad1.边离开磁场的粒子在磁场中转过半个圆周，虽然运动轨迹不同，但运动时间都相同，为5T，A错误;从c点飞出的粒子半径:解得速度：v=性，B错误;m从d点飞出的粒子运动时间为半个周期:兀m

t=T=——qBC正确;根据C选项的分析可知，粒子从1点射入，从ad边飞出，所用时间均为半个周期，因此粒子在边界上出射点距a点越远，在磁场中运动的时间不一定越短，D错误。故选C。【例15】（2020•陕西西安中学高三三模）据有关资料介绍，受控核聚变装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区域内。如图所示，环状磁场的内半径为％，外半径为&2,被束缚的带电粒子的比荷为化中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为V。中空区域中的带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为&2的区域内，则环状区域内磁场的磁感应强度大小可能是（ ）22RvA，k(R-R)22 1/22RvA，k(R-R)22 1B，k(R;-R) C，k(R：-%)【答案】AC【解析】由题意可知，粒子的比荷为k,要使所有的粒子都不能穿出磁场，与内圆相切的方向进入磁场的粒子在磁场运动的轨迹刚好与外圆相切，运动轨迹如图所示，由几何知识可知，粒子最大轨道半径r=W2粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得V2qvB=m—

r解得B= 2Vk(R2—R1)要使粒子不离开磁场B>—2V—

k(R2—R)由于R1<R2,则2Rv 2v R2v―f~—3 = 2——< k侦2—R2)k(R—R)R+Rk(R—R)2 1 2 12 1 2 1故AC正确，BD错误。故选AC。

【例16】（2019-江西东湖•南昌十中高二月考）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在0P之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知OA间的距离为s，负离子比荷为q/m，速率为v，OP与OQ间夹角为300。则所加磁感应强度B满足（ ）A.垂直纸面向里，b>mv3qsB.垂直纸面向里，bA.垂直纸面向里，b>mv3qsB.垂直纸面向里，b〉mqsC.垂直纸面向外，c3mvC.垂直纸面向外，c3mvB> qsD.垂直纸面向外，bD.垂直纸面向外，b〉mqs【答案】BC【解析】AB、当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则知：负离子向右偏转.约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切.如图