人教版数学七年级下册期末知识梳理+题型解题方法+专题过关专题05 不等式与不等式组（原卷版）

专题05不等式与不等式组【9个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】考点一：不等式不等式的定义：用不等号连接的式子叫做不等式。常见的不等号：大于：“＞”，大于等于：“≥”，小于：“＜”，小于等于：“≤”，≠：“≠”。【考试题型1】判断不等式【解题方法】根据不等式的定义式子中含有不等号且满足不等关系则为不等式进行判断。例题讲解：1．（2022春•惠州期末）在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2y﹣5＞1，③m＝1，④x2﹣x，⑤x≠﹣2，⑥x+1＜2x﹣1中，是不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考试题型2】列简单的不等式【解题方法】根据语言描述的不等关系，以及常见的数学名词所表示的不关系列出不等式即可。常见的数学名词与不等关系有：正数＞0，负数＜0，非正数≤0，非负数≥0等。例题讲解：2．（2022秋•港南区期末）在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足（）A．﹣8＜x＜8 B．x＜﹣8或x＞8 C．x＜8 D．x＞8考点二：不等式（组）的解与解集不等式解的定义：使不等关系成立的未知数的值是不等式的一个解。不等式的解集的定义：不等式的解有无数个，不等式的所有解得集合叫做不等式的解集。在数轴上表示不等式的解集：具体步骤：①确定不等式解集的边界；②确定不等式边界是实心圆还是空心圈，包含等于用实心圆，不包含等于则用空心圈。③确定方法，若大于则方向向右，小于则方向向左。不等式组的解集：不等式中所有不等式的解集的公共部分是不等式组的解集。不等式组的解集的情况：①同大取大；②同小取小；③大小小大去中间；④大大小小无解答。【考试题型1】判断不等式的解【解题方法】将需要判断的数带入不等式中，判断不等关系是否成立，成立则是，不成立则不是。例题讲解：3．（2022春•运城期末）在﹣1，0，1，SKIPIF1<0中，能使不等式2x﹣1＜x成立的数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考试题型2】在数轴上表示不等式（组）的解集【解题方法】利用数轴上表示不等式解集的方法确定边界，实心圆或空心圈以及方向表示出来即可。若是不等式组，则根据表示的情况确定不等式组的公共部分。例题讲解：4．（2021秋•龙胜县期末）不等式x≤﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．5．（2022春•汝南县期末）不等式组SKIPIF1<0的解集在数轴上可以表示为（）A． B． C． D．【考试题型3】根据数轴写出所表示的解集【解题方法】根据数轴上表示解集的方法反过来进行判断即可。同样若是不等式组，则只需判断公共部分。例题讲解：6．（2022春•菏泽期末）如图，数轴上表示不等式的解集是（）A．x＞4 B．x≥4 C．x＜4 D．x≤47．（2021秋•西湖区期末）如图，该数轴表示的不等式的解集为（）A．x＜2 B．x＞1 C．0＜x＜2 D．1＜x＜2【考试题型4】根据不等式组的解集求值【解题方法】利用不等式组的解集的情况确定不等式组的解集中的未知字母的值或取值范围，再根据确定的值与取值范围求相应的值。例题讲解：8．（2022春•保定期末）若不等式组SKIPIF1<0无解，则m的值可能（）A．7 B．6 C．3 D．59．（2022春•富县期末）已知不等式组SKIPIF1<0的解集为﹣3＜x＜2，则（a+b）2021的值为（）A．﹣1 B．2021 C．1 D．﹣2021考点三：不等式的性质不等式的性质1：不等式的左右两边同时加上（减去）同一个数（式子），不等号的方向不发生改变。即：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0。不等式的性质2：不等式的左右两边同时乘（或除以）同一个正数时，不等号的方向不发生改变。即：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0或SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0。不等式的性质3：不等式的左右两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向发生改变。即：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0或SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0。注意：在使用不等式的性质时无论是加减乘除都必须是同一个数（或式子）。乘除负数时一定要改变不等式符号的方向。不等式的传递性：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0。【考试题型1】利用不等式的性质进行变形【解题方法】断不等式的变形用了哪一个不等式的性质，不等号的是否需要进行变向，是否进行了变向。例题讲解：10．（2022春•长治期末）已知两个有理数a和b，满足的关系是a＞b，则下列结论中，正确的是（）A．3﹣a＞3﹣b B．a﹣8＜b﹣8 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【考试题型2】利用不等式的变形求值【解题方法】根据不等式的变形情况判断用了不等式的哪一个性质。通常考察不等式的性质2和性质3的应用，若不等式的解得符号与不等式的符号不同，则用不等式的性质3，则系数小于0；若不等式的解的符号与不等式的符号相同，则用不等式的性质2，则系数大于0。例题讲解：11．（2022春•江津区期末）若a＞b，且（m﹣3）a＜（m﹣3）b，则m的值可能是（）A．2 B．3 C．4 D．512．（2022春•甘州区校级期末）如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1考点四：一元一次不等式的定义一元一次不等式的定义：含有1个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。判断一元一次不等式：①只有一个未知数。②未知数项系数不能为0。③未知数次数一定为1。【考试题型1】根据一元一次不等式的定义求未知系数的值【解题方法】通利用未知数的次数是1，未知数项的系数不能为0建立方程组求解即可。例题讲解：13．（2022春•晋安区期末）若（m﹣1）x|m|﹣3＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1考点五：解一元一次不等式具体步骤：第一步：去分母——不等式左右两边同时乘分母的最小公倍数。第二步：去括号。第三步：移项。第四步：合并。第五步：系数化为1。两边同时除以系数或乘以系数的倒数。若系数为正数，则不等号方向不变，若系数为负数，则不等号方向改变。【考试题型1】解一元一次不等式【解题方法】根据解一元一次不等式的具有步骤逐步进行求解即可，注意每一步的方法细节。例题讲解：14．（2022春•蓬莱市期末）当x同时满足﹣x＝5a+3和不等式SKIPIF1<0成立时，求a的取值范围．【考试题型2】利用解一元一次不等式求值【解题方法】根据解一元一次不等式的具体步骤进行求解，再根据求出的解与已知解相等或满足的条件建立方程或建立不等式求解。例题讲解：15．（2022春•关岭县期末）关于x的不等式SKIPIF1<0的解集如图所示，则a的值是（）A．9 B．﹣9 C．5 D．﹣5【考试题型3】利用不等式的解求另一个不等式的解【解题方法】通常不等式中都含有未知系数，通过已知不等式的解集求出未知系数之间的关系，在带入所求不等式中求出解集。例题讲解：16．（2022春•鼓楼区校级期末）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜SKIPIF1<0，则关于x的不等式nx﹣n＞m+mx的解集是（）A．x＜﹣SKIPIF1<0 B．x＞﹣SKIPIF1<0 C．x＜SKIPIF1<0 D．x＞SKIPIF1<0【考试题型4】不等式与坐标象限【解题方法】根据象限内坐标的特点建立不等式，求解不等式即可。例题讲解：17．（2022春•合江县期末）已知点P（4m﹣8，1）在第二象限，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m≤2 C．m≥2 D．m＞2【考试题型5】不等式的整数解【解题方法】按照解不等式得步骤解出不等式进行判断即可例题讲解：18．（2021秋•港南区期末）解不等式SKIPIF1<0，并写出它的非负整数解．【考试题型6】根据不等式的整数解的个数求值【解题方法】把未知字母看作常数，根据解一元一次不等式的具体步骤进行求解，解集为关于未知字母的表达式，根据整数解得个数判断表达式在哪两个连续的整数之间建立不等式进行求值。若整数个数从左至右满足，当原不等式的解集有等号时，则左边的整数取等于，右边不取等，若原不等式没有等号时，则左边的数不取等，右边的数取等。若整数个数从右至左满足，当原不等式组有等于时，则右边的数取等，左边的数不取等，若原不等式没有等号时，则左边的数不取等，左边的数取等。例题讲解：19．（2022春•八步区期末）若关于x的不等式3x﹣a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（）A．﹣7≤a＜﹣4 B．﹣7＜a≤﹣4 C．4＜a≤7 D．4≤a＜7【考试题型7】新定义运算与一元一次不等式【解题方法】根据定义运算法则列出一元一次不等式，在根据解不等式的方法进行求解例题讲解：20．（2022春•通海县期末）定义一种法则“⊗”如下：a⊗b＝SKIPIF1<0，如：1⊗2＝2，若（2m﹣5）⊗3＝3，则m的取值范围是（）A．m＞4 B．m≤4 C．m＜4 D．m≥4考点六：一元一次不等式组的定义几个含有相同未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。注意：一元一次不等式组中可以有多个一元一次不等式，但是只能有一个未知数。【考试题型1】判断一元一次不等式组【解题方法】根据定义含有多个一元一次不等式，但只有含有一个未知数进行判断。例题讲解：21．（2022春•招远市期末）下列各式不是一元一次不等式组的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考点七：解一元一次不等式组求不等式组的所有不等式的解集的公共部分即为不等式组的解集。【考试题型1】解不等式组【解题方法】解出不等式组中的每一个不等式然后求其公共部分即可。例题讲解：22．（2022春•罗湖区校级期末）解不等式组SKIPIF1<0．【考试题型2】根据不等式组的解得情况求不等式组中字母的值【解题方法】把未知字母看作常数进行求解，得到的解集为一个已知和一个含有字母的式子，再根据不等式组的解得情况：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解答进行判断含有未知字母的式子与已知数的大小关系建立不等式求解。例题讲解：23．（2022春•岚山区期末）若关于x的不等式组SKIPIF1<0无解，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．a≥﹣1 D．a＞﹣1【考试题型3】解不等式组与坐标象限【解题方法】根据坐标象限的坐标特点建立不等式组，然后求解即可。例题讲解：24．（2022春•满城区校级期末）点P（m﹣1，2m+1）在第二象限，则m的取值范围是（）A．m＜﹣SKIPIF1<0或m＞1 B．﹣SKIPIF1<0＜m＜1 C．m＜1 D．m＞﹣SKIPIF1<0【考试题型4】不等式组的整数解个数【解题方法】解出不等式组进行判断即可。例题讲解：25．（2022春•蓬莱市期末）不等式组SKIPIF1<0的整数解的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【考试题型5】根据不等式组的整数解的个数求未知字母的值【解题方法】把未知字母看作常数进行求解，得到的解集为一个已知数和一个含有字母的式子，根据整数解得个数判断表达式在哪两个连续的整数之间建立不等式进行求值。若整数个数从左至右满足，当原不等式的解集有等号时，则左边的整数取等于，右边不取等，若原不等式没有等号时，则左边的数不取等，右边的数取等。若整数个数从右至左满足，当原不等式组有等于时，则右边的数取等，左边的数不取等，若原不等式没有等号时，则左边的数不取等，左边的数取等。例题讲解：26．（2022春•荣昌区期末）若关于x的方程SKIPIF1<0的解为正数，且a使得关于y的不等式组SKIPIF1<0恰有两个整数解，则所有满足条件的整数a的值的和是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点八：一元一次不等式（组）的应用具体步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数。②根据题中的不等关系列出不等式（组）。③解不等式（组），求出解集。④写出符合题意的解。表达不等关系的关键词：列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等词来体现问题中的不等关系。【考试题型1】由实际问题抽象不等式（组）【解题方法】找到题目中表达不等关系的关键词，然后根据表达的不等关系建立不等式。例题讲解：27．（2022春•金水区校级期末）北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x件，则能够得到的不等式是（）A．100x+80（10﹣x）＞900 B．100+80（10﹣x）＜900 C．100x+80（10﹣x）≥900 D．100x+80（10﹣x）≤90028．（2022春•丛台区校级期末）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（）A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8x C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8【考试题型2】一元一次不等式（组）的实际应用【解题方法】根据一元一次不等式（组）解决实际应用题的具体步骤进行解答即可，注意未知数的取值范围必须满足问题的实际意义。例题讲解：29．（2022春•清江浦区期末）某医院准备派遣医护人员协助西安市抗击疫情，现有甲、乙两种型号的客车可供租用，已知每辆甲型客车的租金为280元，每辆乙型客车的租金为220元，若医院计划租用6辆客车，租车的总租金不超过1530元，那么最多租用甲型客车多少辆？30．（2022春•思明区校级期末）随着全国疫情防控取得阶段性进展，各学校进一步做好疫情防控工作．为方便师生测体温，某校计划购买A、B两种额温枪．经调研得知：购买1个A型额温枪和2个B型额温枪共需800元，购买2个A型额温枪和3个B型额温枪共需1300元．（1）求每个A型额温枪和B型额温枪各多少元；（2）若该学校准备购买A、B两种型号的额温枪共50个（每种型号至少买一只）；要求总费用不超过12800元，则对购买A型号的额温枪在数量上有什么要求？说明理由．（3）在（2）的条件下，若甲、乙两商店以同样价格出售这两种型号的额温枪，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲店购买A型额温枪按原价90%收费，B型额温枪不优惠；在乙店购买A型额温枪不优惠，但购买B型额温枪按原价90%收费；则学校到哪家商店购买额温枪花费少？【专题过关】一．不等式的定义（共2小题）1．（2023春•谯城区校级月考）下列是不等式的是（）A．﹣x＞1 B．x＝3 C．x﹣1 D．2x2．（2023春•西安月考）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高x（m）的范围可表示为（）A．x≥4.5 B．x＞4.5 C．x≤4.5 D．0＜x≤4.5二．不等式的解集（共4小题）3．（2023•南海区一模）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中，是不等式2x+3＞0解的共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2022秋•渌口区期末）若不等式组SKIPIF1<0的解集为x＜m，则m的取值范围为（）A．m≤1 B．m＝1 C．m≥1 D．m＜15．（2022秋•株洲期末）已知不等式组SKIPIF1<0无解，则a的取值范围为．6．（2023春•高明区月考）已知不等式组SKIPIF1<0的解集是﹣2＜x＜2，则ab＝．三．在数轴上表示不等式的解集（共4小题）7．（2023•东方一模）下列数轴中，表示x≥﹣3正确的是（）A． B． C． D．8．（2023春•南岗区校级月考）一个关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式的解集为．9．（2023•南湖区校级二模）将不等式组SKIPIF1<0的解集表示在数轴上，正确的是（）A． B． C． D．10．（2022秋•天元区校级期末）已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（）A．x＞11 B．x≥﹣1 C．﹣3＜x≤﹣1 D．x＞﹣3四．不等式的性质（共2小题）11．（2023春•北碚区校级期中）若a＜b，c＜0，则下列结论正确的是（）A．﹣a＜﹣b B．SKIPIF1<0 C．a+c＞b+c D．ac2＞bc212．（2023春•渝中区校级月考）已知a＞b，则下列不等式不一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．2a﹣3＞2b﹣3 C．am＞bm D．a（c2+1）＞b（c2+1）五．一元一次不等式的定义（共2小题）13．（2023春•新城区校级月考）下列式子：①7＞4；②3x≥2x+1；③x+y＞1；④x2+3≤2x中，是一元一次不等式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．（2023春•谯城区校级月考）若关于x的一元一次不等式2a﹣x|2+3a|＞2，则a的值（）A．﹣1 B．1或﹣SKIPIF1<0 C．﹣1或﹣SKIPIF1<0 D．﹣SKIPIF1<0六．解一元一次不等式（共2小题）15．（2023春•顺德区校级期中）不等式2x+1≥x的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．16．（2023春•永安市期中）如表是小彬求解一元一次不等式及自我检查的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解答过程自我检查解：去分母，得10﹣5（x+1）＞2（x﹣3）．…第一步去括号，得10﹣5x﹣5＞2x﹣6．…第二步移项，得﹣5x+2x＞10+5﹣6．…第三步合并同类项，得﹣3x＞﹣9．…第四步系数化为1，得x＜3．…第五步第一步正确，其依据是；第二步符合去括号法则，也正确；第三步出错了！（1）第一步的依据是不等式的一条性质，请写出这一性质的内容：（2）第三步出错的原因是：；（3）请从第三步开始，写出正确解答过程．七．一元一次不等式的整数解（共3小题）17．（2023•雁塔区校级四模）解不等式：SKIPIF1<0，并写出该不等式的正整数解．18．（2023春•胶州市期中）已知关于x的方程2x﹣a＝3的解是不等式SKIPIF1<0的最小整数解，求a的值．19．（2023春•宿州月考）已知关于x的不等式（a+1）x＜3的自然数解有且只有一个，试求a的取值范围．八．一元一次不等式组的定义（共1小题）20．（2022•丰顺县校级开学）下列不等式组为一元一次不等式组的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0九．解一元一次不等式组（共4小题）21．（2023•聊城一模）不等式组SKIPIF1<0的解集是（）A．x≥3 B．x＜2或x≥3 C．x＜2 D．2＜x≤322．（2023•丰润区模拟）不等式组SKIPIF1<0的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．23．（2023春•北碚区校级期中）解下列不等式组：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．24．（2023春•嘉祥县月考）从﹣2，﹣1，0，1，2这5个数中，选一个数a，使关于x的不等式组SKIPIF1<0有解，且使关于x的一元一次方程SKIPIF1<0的解为负数，求a的值．十．一元一次不等式组的整数解（共5小题）25．（2023•驿城区校级二模）不等式组SKIPIF1<0的正整数解的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个26．（2023春•北碚区校级期中）若关于x的不等式组SKIPIF1<0最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝7的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（）A．13 B．18 C．21 D．2627．（2023•镇海区校级模拟）若关于x的不等式组SKIPIF1<0有解且至多有4个整数解，且多项式x2﹣（1﹣m）能在有理数范围内因式分解，则符合条件的整数m的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．428．（2023•巧家县一模）若关于x的一元一次方程SKIPIF1<0有正整数解，且使关于x的不等式组SKIPIF1<0至少有4个整数解，则满足所有条件的整数a的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．229．（2023春•渝中区校级月考）如果关于y的方程SKIPIF1<0有非负整数解，且关于x的不等式组SKIPIF1<0的解集为x≥1，则所有符合条件的整数a的和为（）A．﹣5 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12十一．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共2小题）30．（2023春•广西月考）某数的3倍大于2，它的2倍不大于1，设某数为