项目六 线性动态电路

项目六线性动态电路

一阶电路的全响应6.4过渡过程的基本概念6.1一阶电路的零输入响应6.2一阶电路的零状态响应6.3▲典型问题1．曾有学生问，在旧教室晚自修下课后关日光灯时，突然发现开关处墙壁破洞里有亮光闪了下，是怎么回事？2．再如图6-1所示的实验电路，三个“10V，10W”的灯泡R1、R2、R3分别与电阻1Ω电阻、1F电容C和50H电感L串联后接到10V电源上。S闭合前，三个灯泡都不亮。

当S闭合后，A灯立刻变亮；B灯先闪亮一下，然后逐渐变暗，直至熄灭；而C灯则是逐渐变亮。

这是什么原因？三只相同的灯点亮的过程怎么会不一样呢？图6-1R、L、C并联电路在开关闭合时的现象1．了解过渡电路的相关概念及其产生的场合、应用，掌握换路定则。▲知识能力目标2．掌握RC电路、RL电路的零输入响应和零状态响应规律。3．掌握分析一阶线性过渡电路的三要素法。6.1过渡电路概念及其换路定则6.1.1过渡电路概念及其作用6.1.2换路定律与电路的初始值1.过渡电路概念

在线性电路中，当电源电压（激励）为恒定值或作周期性变化时，电路中各部分电压或电流（响应）也是恒定的或按周期性规律变化，即电路中响应与激励的变化规律完全相同，称电路的这种工作状态为稳定状态，简称稳态。6.1.1过渡电路概念及其作用

含有贮能元件（主要是电感L、电容C）的电路，电路在接通或断开后，电量从一个稳定值变化到另一个稳定值需要一段时间，此时的电路称为过渡电路。由于过渡电路时间非常短（最多几秒），所以也叫暂态电路；这段时间的电量处于不稳定状态，也称为动态电路。2.过渡电路产生的原因开关没闭合时：各支路电流为零，3只灯不亮。

开关S合上后：A灯:开关闭合瞬间立即变亮，亮度稳定不变。

B灯:开关闭合瞬间立即变亮，逐渐变暗，最终熄灭；

C灯:开关闭合瞬间不亮，然后由暗变亮，最终稳定发光。SUS–+RALCC

IRICILB观察电路中的过渡过程实验表明，电阻支路的A灯，从一种稳态到达另一种稳态不需要过渡过程，而电容和电感支路的B灯和C灯则需要过渡过程。通过以上分析可知，电路发生过渡过程的原因有：

一是电路中含有储能元件电容或电感，由于其中的能量不能跃变，由一个稳态过渡到另一个稳态需要时间。二是换路，即电路的通断、改接、电路参数的突然变化。3.过渡电路的作用作用：利用其过渡特性设计相关电路以实现延时、波形产生等功能。

危害：在电力系统中，过渡过程的出现可能产生比稳态大得多的过电压或过电流，若不采取一定保护措施，会损坏电气设备，引起不良后果

因此研究电路的过渡过程，掌握有关规律，是非常重要的。小结2.过渡电路产生的原因：一是电路中含有储能元件电容或电感；二是换路，即电路的通断、改接、电路参数的突然变化。3.过渡电路的作用：利用其过渡特性设计相关电路以实现延时、波形产生等功能。1.过渡电路的概念：含有贮能元件（主要是电感L、电容C）的电路，电路在接通或断开后，电量从一个稳定值变化到另一个稳定值需要一段时间，此时的电路称为过渡电路。1.换路定律6.1.2换路定律与电路的初始值在换路瞬间储能元件的能量不能突变产生过渡过程的原因：电路中含有储能元件(内因)，且发生了换路。uC不能突变C储能L储能iL不能突变

设换路瞬间作为计时起点，令t=0。换路前瞬间，以t=0-表示;换路后瞬间，以t=0＋表示。

（1）

换路后瞬间，电容上的电压不能突变

即换路后的瞬间电压uC（0+），等于换路前的瞬间电压

uC（0-）。uC（0+）=uC（0-）iL（0+）=iL（0-）

（2）换路瞬间，电感中的电流不能突变

即换路后的瞬间电流iL（0+），等于换路前的瞬间电压iL（0-）。换路定律2.换路后电流电压求法步骤：初始值：电路中各u、i

在t=0+

时的数值。（1）求出换路前（t=0-）电容电压uC（0-）和电感电流iL（0-）。（2）由换路定律确定，求换路后瞬间（t=0+）电容电压uC（0+）和电感电流iL（0+）。（4）按等效电路，根据电路的基本定律，求出换路后瞬间（t=0+）的各支路电流和各元件上的电压。（3）根据uC（0+）和iL（0+）的值，确定电容和电感的状态，并画出时的等效电路图。例6-1图所示电路，原处于稳态。t=0时开关S闭合。若R1=2Ω，R2=3Ω，R3=6Ω，US=18V

，求开关S闭合后瞬时

i1、i2

、i3、i

、uc及uL的值。解：换路前，uc(0-)=0，i(0-)=0，由换路定律得：将电容短路，电感开路，得t＝0＋时的等效电路如图6-11（b），则有图6-4例6-2图例6-2如图6-4（a）所示电路，R1=3Ω，

R2=9Ω，US=24V。换路前电路已处于稳态，t=0时开关S打开，求换路后uc,uR1、uR2、iC、iR1的初始值。解：由于换路前电路已处于稳态，电容相当于开路，则换路后，由换路定律可得：将电容用18V的电压源代替，可得换路后的电路如图。可求得：图6-5例6-3图例6-3如图6-5（a）所示的电路，已知若R1=1.6kΩ，

R2=6kΩ，R3=4kΩ，US=10V,换路前电路已处于稳态。t=0时开关S打开，求换路后

iL、uL、uR2初始值。解：换路前电路已处于稳态，电感相当于短路，则由换路定律可得：将电感用iL(0+)＝1.5mA的电流源代替，可得t=0+时的等效电路如图6-5（b），由图可求得6.2一阶电路的零输入响应6.2.1

RC电路的零输入响应6.2.2RL电路的零输入响应

RC电路的零输入响应，是指在输入信号（如电源）为零时，RC电路中的电压、电流从一个稳态变化到另一个稳态的过渡过程。这个过程是电容元件的放电过程。6.2.1RC电路的零输入响应图6-6RC放电电路

图6-6所示为RC串联电路。换路前，开关S置于“1”位，电源对电容充电。当电路达到稳态时，在t=0时，将开关S换到“2”，使电路脱离电源，电容则通过电阻放电，直到过渡过程结束。1.电压和电流的变化规律解此方程，代入初始条件可得：在放电回路中，由KVL得将代入上式，得微分方程同理可得：上两式中的负号表示放电电流的实际方向与图中的参考方向相反。0.632Us-U0uCiuRo0.368U0τUsuCiuR电压电流波形如图所示：单位:S(秒)2.时间常数

时间常数

的值实际上是电容电压衰减到初始值的0.368倍时所需要的时间,决定电路暂态过程变化的快慢当时t=

c时，电容电压为表6-1电容器放电后端电压随时间下降t0

C2

C3

C4

C5

C

6

CucU0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U

时间常数

C=RC，这是因为在一定的初始电压下，C愈大，储存的电荷愈多，放电所需的时间就愈长。而R愈大，放电电流愈小，放电所需要的时间也愈长。因此，改变R或C，即改变电路的时间常数，也就改变了电容放电的速度。

图6-9例6-4图例6-4图6-9(a)所示电路中，开关S原接通1，电路处于稳态。

时将开关S从1换到2。已知US=24V，R=1Ω，

R1=R2=2Ω，C=5μF。试求换路后uc,iC。解：此动态电路为RC电路的零输入响应。

图6-9(a)换路前电路已处于稳态，电容相当于开路，则t=0时，由换路定律可得换路后电容经电阻R1、R2放电，如图6-9（b），则电路的时间常数由RC电路零输入响应公式式（6-3）和（6-4）得波形图如图6-9（c）所示。6.2.2RL电路的零输入响应

图6-10为RL串联电路。换路前，开关S置于“1”位，电感相当于短路，其电流:图6-10RL电路的短接在t=0时将开关合到“2”，使电路脱离电源，R、L被短路。此时，电感L的能量便通过R逐步释放，直到过渡过程结束。在放电回路中，由KVL得：其中，时间常数将和代入上式得：进一步分析得：电压、电流波形图：iuLuRoτiuRuL图6-12例6-5图例6-5图6-12(a)所示测量电路中，换路前，电流表的读数为4A，电压表的读数为10V。已知电流表的内阻为0.05Ω

，电压表的内阻为10kΩ，电感L=10H。若开关S在t=0打开，求：（1）iL(0+）、uL；（2）

iL(t)的表达式，并画出其波形；（3）

电压表上的电压Uv(0+)；（4）uV(t)的表达式，并画出其波形。解：图6-12(a)动态过程为RL电路零输入响应。（1）根据换路定律(2)由得：画t=0+时的等效电路如图6-12（b）所示，此时电路的时间常数为波形如图6-12（c）中的iL所示据RL电路零输入响应公式（6-9）得（3）由图6-12（b）得（4）波形如图6-12（c）uV所示

由以上计算可见，在换路瞬间电压表的电压从10V突变到40kV，这会造成电压表烧坏，因此，在这种情况下，应先拆除电压表，然后再断开电路。

除此之外，电感两端产生的高压还会击穿开关的两个触点之间的空气，产生火花放电，烧坏开关触头；或者击穿线圈本身的绝缘层，使线圈匝间短路而损坏。所以在实际应用中需采取保护措施，例如采用防护罩，或增加保护环节等。

小结一、RC电路的零输入响应

RC电路的零输入响应，是指在输入信号（如电源）为零时，RC电路中的电压、电流从一个稳态变化到另一个稳态的过渡过程。这个过程是电容元件的放电过程。二、RL电路的零输入响应使电路脱离电源，R、L被短路。此时，电感L的能量便通过R逐步释放，直到过渡过程结束。这个过程是电感元件的放电过程。6.3一阶电路的零状态响应6.3.1

RC电路的零状态响应6.3.2RL电路的零状态响应6.3.1RC电路的零状态响应

RC电路的零状态响应，是指RC电路中的电容初始电压为零时，接通电源后电路中的电压、电流随时间的变化过程。这一过程是电容元件的充电过程。图6-13RC充电电路

图6-13所示的RC串联电路中，若初始条件为零，则换路后，电源对电容充电。在充电回路中，由KVL得解此方程可得进一步分析得：将

，

代入上式得：电压、电流波形图：iucuRoiuRuC图6-16例6-6图例6-6图6-16（a）所示电路原处于稳态，已知US=6V，R1=R2==R3=10kΩ，C=20μF，

在

t=0时开关S闭合。试求闭合后过渡过程中的电容电压uc

。解：此动态电路为RC电路的零状态响应。换路后电容C两端的等效充电电阻为由等效电路图6-16（b）可得，电路的时间常数为据RC电路零状态响应公式（4-14）得6.3.2RL电路的零状态响应图6-17所示的RL串联电路换路后电路与直流电源接通，电感便获取电源能量，建立磁场并产生感应电压。由KVL得电流图6-17RL与直流电源接通将

和

代入上式得解此方程，代入初始条件可得进一步分析可得电压、电流波形图：iuLuRoiuRuL

例6-7如图6-19所示电路为一直流发电机电路简图，已知励磁电阻R=20Ώ，励磁电感L=20H，外加电压为US=200V，试求：（1）当S闭合后，励磁电流的变化规律和达到稳态值所需的时间；（2）如果将电源电压提高到250V，求励磁电流达到额定值的时间。图6-19例6-7图解：此电路为RL电路零状态响应，时间常数：与RC电路相似，工程上认为经过（4～5)τ的时间，过渡过程已基本结束。所以，励磁电流达到稳态所需时间为：当电源电压提高到250V，励磁电流达到额定值的时间与上面同。6.4一阶电路的全响应及三要素法6.4.1

一阶电路的全响应6.4.2一阶电路的三要素6.4.1一阶电路的全响应

前面分析了RC、RL电路的零输入响应和零状态响应，由于电路中分别只含有一个储能元件（C或L），在直流电源作用下，其电路方程均为一阶线性微分方程，故称一阶电路。由电路的初始储能和外加激励共同作用下，电路产生的响应称为一阶电路的全响应。在图所示电路中，设开关S闭合前电容器已充电至Uo，则有解此电路微分方程得：

uc由两部分组成，其中第一项为电路的稳态分量，第二项为电路的暂态分量。即

全响应＝稳态分量＋暂态分量1.RC电路的全响应若将式（6-21）改写为全响应零状态零输入即：全响应＝零输入响应＋零状态响应在图6-24所示中，若开关S闭合前电感L中原有电流为I0，即初始值不为零，则2.RL电路的全响应则:全响应又可视为零输入响应和零状态响应的叠加。解上面微分方程，得：iL中的前一项为稳态分量，后一项为暂态分量，也可以写成：6.4.2一阶电路的三要素法一阶电路-只包含一个储能元件，或用串并联法简化后只包

含一个储能元件的电路。动态电路

一阶二阶经典法:

通过一阶微分方程求，前面分析均如此（比较麻烦）。2.三要素法（简便方法）求解方法：1.初始值3.时间常数2.稳态值

对于直流电源作用下的一阶电路，只要求得以下三个要素：

利用此三个要素分析过渡过程的方法称为“三要素法”。f（0+）—初始值，根据换路定理求得

τ—时间常数f（∞）—换路后达到的稳态值（C开路，L短路）uC（0+）=uC（0-）iL（0+）=iL（0-）其一般形式为：稳态值初始值时间常数uc或iL使用条件：时间常数τ：①一阶电路，②直流激励Req——从C或L两端看进去的等效电阻RC电路：τ=Req

C；RL电路：τ=L/Req

等效电阻例6-8图6-20所示的电路中，当t=0时开关S闭合。若换路前电容没有储能。试用三要素法求uc(t)，i(t)。图6-20例6-