调整型抽样方案的复合oc函数

调整型抽样方案的复合oc函数

许多国内外科学家对改进抽样方案的复合oc函数进行了讨论。然而，作为美国最新的军事标准milstd-1916，包括正常、额外和免除的三个采样方案和完整的转换规则（包括暂停检查规则），复合oc函数尚未完全解决。本文将利用范永亮提出的转移概率流向图及多元转移概率母函数等方法,分别对检查始于正常检查、加严检查和放宽检查的调整型抽样系统S1、S2和S3的复合OC函数进行研究.2多元转移概率母函数带有中止检查规则的调整型抽样系统S由正常抽样方案、加严抽样方案和放宽抽样方案以及一套包括中止检查规则的转换规则组成.当批不合格品率为P时,三个方案下的接收概率分别记为PN、PT、PR.用N、T、R、D分别表示正常、加严、放宽和中止四种检查状态.本文将研究抽样系统的复合特性与期望比例,有定义1设按抽样系统S进行检查而提交批的不合格品率P在中止检查前保持不变,称:E{到中止检查为止,接收的总批数}/E{到中止检查为止,检查的总批数}为抽样系统S在批不合品率为P时的复合接收率,记为L(P),简记为L.本段,我们将讨论从正常检查N开始,到中止检查D为止的抽样系统S1的情形.若记M1:从N开始到D为止,检查的总批数.M1(N):从N开始到D为止,在N下检查的批数.M1(T):从N开始到D为止,在T下检查的批数.M1(R):从N开始到D为止,在R下检查的批数.则由文有:抽样系统S1的复合OC函数为L1=˜ΡΝ⋅ΡΝ+˜ΡΤ⋅ΡΤ+˜ΡR⋅ΡR,其中˜ΡΝ=E(Μ1(Ν))E(Μ1),˜ΡΤ=E(Μ1(Τ))E(Μ1),˜ΡR=E(Μ1(R))E(Μ1)(1)一般,调整型抽样系统S的转换方式如图1所示其中G(x)Ν→Τ、G(x)Ν→R、G(y)Τ→Ν、G(y)T→D、G(z)R→Ν分别为相应的转移概率母函数.应用文中的方法,由图1可得出抽样系统S1的多元转移概率流向图如下为了求出˜ΡΝ、˜ΡΤ、˜ΡR,我们引入多元转移概率母函数定义2设P(Ν)S1(t、i、j、k)是从正常检查开始,恰好检查t批至中止,其中有i批、j批、k批分别按正常检查、加严检查、放宽检查的概率(0≤i、j、k≤t,i+j+k=t),其转移概率母函数∞∑t=0i+j+k=t∑0≤i,j,k≤tΡ(Ν)S1(t、i、j、k)utxiyjzk(|u|≤1、|x|≤1、|y|≤1、|z|≤1)称为抽样系统S1的多元转移概率母函数,记作G(Ν)S1(u、x、y、z).对于G(Ν)S1(u、x、y、z),有下列关系式定理1对于|u|≤1、|x|≤1、|y|≤1、|z|≤1,有G(Ν)S1(u、x、y、z)=G(ux)Ν→Τ⋅G(uy)Τ→Τ1-[G(ux)Ν→Τ⋅G(uy)Τ→Ν+G(ux)Ν→R⋅G(uz)R→Ν](2)证明按文的方法,图2所示的抽样系统S1的多元转移概率母函数G(Ν)S1(u、x、y、z)=G(Ν)Ν→Τ(u、x、y、z)⋅G(Ν)Τ→D(u、x、y、z)1-[G(Ν)Ν→Τ(u、x、y、z)⋅G(Ν)Τ→Ν(u、x、y、z)+G(Ν)Ν→R(u、x、y、z)⋅G(Ν)R→Ν(u、x、y、z)](3)而由于G(Ν)Ν→Τ(u、x、y、z)=∞∑t=0i+j+k=t∑0≤i,j,k≤tΡ(Ν)S1(t、i、j、k)utxiyjzk,而由N→T的意义,有P(Ν)Ν→Τ(t、i、j、k)={Ρ(t)Ν→Τi=t,j=k=00其它,所以G(Ν)Ν→Τ(u、x、y、z)=G(ux)Ν→Τ,类似地有G(Ν)Ν→R(u、x、y、z)=G(ux)Ν→R、G(Ν)Τ→Ν(u、x、y、z)=G(uy)Τ→Ν、G(Ν)Τ→D(u、x、y、z)=G(uy)Τ→D、G(Ν)R→Ν(u、x、y、z)=G(uz)R→Ν,将以上各式分别代入(3)式,即得到(2)式.由于t=i+j+k,0≤i、j、k≤t.若记X=ux,Y=uy,Z=uz,则M1、M(Ν)1、M(Τ)1、M(R)1的转移概率母函数分别为G(Ν)Μ1=GΝ→Τ(X)⋅GΤ→D(Y)1-[GΝ→Τ(X)⋅GΤ→Ν(Y)+GΝ→R(X)⋅GR→Ν(Ζ)]G(Ν)Μ(Ν)1(X)=GΝ→Τ(X)⋅GΤ→D(1)1-[GΝ→R(X)⋅GR→Ν(1)+GΝ→Τ(X)⋅GΤ→Ν(1)]G(Ν)Μ(Τ)1(Y)=GΝ→Τ(1)⋅GΤ→D(Y)1-[GΝ→R(1)⋅GR→Ν(1)+GΝ→Τ(1)⋅GΤ→Ν(Y)]G(Ν)Μ(R)1(Ζ)=GΝ→Τ(1)⋅GΤ→D(1)1-[GΝ→R(1)⋅GR→Ν(Ζ)+GΝ→Τ(1)⋅GΤ→Ν(1)].由图1,容易得到GR→N(1)=1,GN→R(1)+GN→T(1)=1,GT→N(1)+GT→D(1)=1,因此,有G(Ν)Μ1(1)=1,G(Ν)Μ(Ν)1(1)=1,G(Ν)Μ(Τ)1(1)=1,G(Ν)Μ(R)1(1)=1.又由转移概率母函数的性质和G(Ν)Μ1(1,1,1,1)=1,知E(Μ1)=∂G(Ν)S1(u、x、y、z)∂u|(1,1,1,1)=∂/nG(Ν)S1(u、x、y、z)∂u|(1,1,1,1)=G′Ν→Τ(1)+G′Ν→R(1)+GΝ→Τ(1)[G′Τ→D(1)+G′Τ→Ν(1)]+GΝ→R(1)⋅G′R→Ν(1)GΝ→Τ(1)⋅GΤ→D(1)(4)E(Μ1(Ν))=dGΜ1(Ν)(Ν)(X)dX|X=1=G′Ν→Τ(1)+G′Ν→R(1)GΝ→Τ(1)⋅GΤ→D(1)(5)E(Μ1(Τ))=dGΜ1(Τ)(Ν)(Y)dY|Y=1=G′Τ→D(1)+G′Τ→Ν(1)GΤ→D(6)E(Μ1(R))=dGΜ1(R)(Ν)(Ζ)dΖ|Ζ=1=GΝ→R(1)⋅G′R→Ν(1)GΝ→Τ(1)⋅GΤ→D(1)(7)将(4)、(5)、(6)、(7)式分别代入(1)式,有定理2对于抽样系统S1,有L1=GΝ→Τ(1)[G′Τ→D(1)+G′Τ→Ν(1)]⋅ΡΤ+[G′Ν→Τ(1)+G′Ν→R(1)]⋅ΡΝ+GΝ→R(1)⋅G′R→Ν(1)]⋅ΡRG′Ν→Τ(1)+G′Ν→R(1)+GΝ→R(1)⋅G′R→Ν(1)+GΝ→Τ(1)[G′Τ→D(1)+G′Τ→D(1)](8)3s13r的s3r形式本段我们将分别讨论从加严检查T开始到中止检查D为止的抽样系统S2和从放宽检查R开始到中止检查D为止的抽样系统S3的复合OC函数.若记:Mn:从T(n=2时)开始或从R(n=3时)开始,到D为止,检查的总批数.Mn(Ν):从T(n=2时)开始或从R(n=3时)开始,在N下检查的批数.Mn(Τ):从T(n=2时)开始或从R(n=3时)开始,在T下检查的批数.Mn(R):从T(n=2时)开始或从R(n=3时)开始,在R下检查的批数.与S1的讨论类似,有S2和S3的复合OC函数为Ln=Ρ˜Ν⋅Ρ˜Ν+Ρ˜Τ⋅ΡΤ+Ρ˜R⋅ΡR其中Ρ˜Ν=E(Μn(Ν))E(Μn),Ρ˜Τ=E(Μn(Τ))E(Μn),Ρ˜R=E(Μn(R))E(Μn)n=1,2(9)且S2和S3的多元概率流向图分别如图3和图4同样,我们可以给出S2和S3的多元转移概率母函数的定义GS2(Τ)(u、x、y、z)=∑t=0∞∑0≤i,j,k≤li+j+k=tΡS2(Τ)(t、i、j、k)utxiyjzkGS3(R)(u、x、y、z)=∑t=0∞∑0≤i,j,k≤ti+j+k=tΡS3(R)(t、i、j、k)utxiyjzk,|u|≤1,|x|≤1,|y|≤1,|z|≤1其中PS2(Τ)和PS3(R)是S2和S3中相应的概率.与前一段的讨论类似,可得定理3对于|u|≤1,|x|≤1,|y|≤1,|z|≤1,有GS2(Τ)(u、x、y、z)=GΤ→D(uy)[1-GΝ→R(ux)⋅GR→Ν(uz)]1-[GΝ→R(ux)⋅GR→Ν(uz)+GΝ→Τ(ux)⋅GΤ→Ν(uy)](10)定理4对于|u|≤1,|x|≤1,|y|≤1,|z|≤1,有GS3(R)(u、x、y、z)=GR→Ν(uz)⋅GΝ→Τ(ux)⋅GΤ→D(uy)1-GΝ→Τ(ux)⋅GΤ→Ν(uy)-GR→Ν(uz)⋅GΝ→R(ux)(11)同样,利用文、、中的方法,有E(Μ2)=GΝ→Τ(1)[G′Τ→D(1)+G′Τ→Ν(1)]+GΤ→Ν(1)⋅[G′Ν→R+G′Ν→Τ(1)+GΝ→R(1)⋅G′R→Ν(1)]GΝ→Τ(1)⋅GΤ→D(1)(12)E(Μ2(Ν))=GΤ→Ν(1)[G′Ν→Τ(1)+G′Ν→R(1)]GΝ→Τ(1)⋅GΤ→D(1)(13)E(Μ2(Τ))=G′Τ→D(1)+G′Τ→R(1)GΤ→D(1)(14)E(Μ2(R))=GΤ→Ν(1)⋅GΝ→R(1)⋅G′R→Ν(1)GΝ→Τ(1)⋅GΤ→D(1)(15)将(12)、(13)、(14)、(15)式代入(9)式,得定理5对于调整型抽样系统S2,有L2=GΝ→Τ(1)[G′Τ→D(1)+G′Τ→Ν(1)]⋅ΡΤ+GΤ→Ν(1)[G′Ν→Τ(1)+G′Ν→R(1)]⋅ΡΝ+GΤ→Ν(1)⋅GΝ→R(1)⋅G′R→Ν(1)⋅ΡRGΤ→Ν(1)GΤ→Ν(1)[G′Ν→Τ(1)+G′Ν→R(1)+GΝ→R(1)⋅G′R→Ν(1)]+GΝ→Τ(1)[G′Τ→D(1)+G′Τ→Ν(1)](16)利用文中的方法,可有E(Μ3)=G′R→Ν(1)[GΝ→Τ(1)⋅GΤ→D(1)+GΝ→R(1)]+G′Ν→Τ(1)+G′Τ→D(1)⋅GΝ→Τ(1)+GΝ→Τ(1)⋅G′Τ→Ν(1)+G′Ν→R(1)GΝ→Τ(1)⋅GΤ→D(1)(17)E(Μ3(Ν))=G′Ν→Τ(1)+G′Ν→R(1)GΝ→Τ(1)⋅GΤ→D(1)(18)E(Μ3(Τ))=G′Τ→D(1)+G′Τ→Ν(1)GΤ→D(1)(19)E(Μ3(R))=G′R→Ν(1)[GΝ→Τ(1)⋅GΤ→D(1)+GΝ→R(1)]GΝ→Τ(1)⋅GΤ→D(1)(20)将(17)、(18)、