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文档简介

北京市十二中2024届数学高二上期末经典模拟试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.命题若,且,则,命题在中,若,则.下列命题中为真命题的是()A. B.C. D.2.设等差数列的前n项和为,且,则()A.64 B.72C.80 D.1443.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作,书中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是尺,芒种的日影子长为尺,则冬至的日影子长为()A.尺 B.尺C.尺 D.尺4.某社区医院为了了解社区老人与儿童每月患感冒的人数y(人)与月平均气温x(℃)之间的关系,随机统计了某4个月的患病(感冒)人数与当月平均气温,其数据如下表:月平均气温x(℃)171382月患病y(人)24334055由表中数据算出线性回归方程中的,气象部门预测下个月的平均气温约为9℃,据此估计该社区下个月老年人与儿童患病人数约为()A.38 B.40C.46 D.585.已知分别是椭圆的左,右焦点,点M是椭圆C上的一点,且的面积为1,则椭圆C的短轴长为()A.1 B.2C. D.46.设函数在R上可导,则()A. B.C. D.以上都不对7.已知抛物线上一点到焦点的距离为3,准线为l,若l与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为,则双曲线C的离心率为()A.3 B.C. D.8.若的解集是,则等于()A.-14 B.-6C.6 D.149.已知不等式的解集为,关于x的不等式的解集为B,且,则实数a的取值范围为()A. B.C. D.10.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为,,点A的坐标为,点P是双曲线在第二象限的部分上一点,且,点Q是线段的中点,且,Q关于直线PA对称,则双曲线的离心率为()A.3 B.2C. D.11.已知等差数列,,,则数列的前项和为()A. B.C. D.12.椭圆的焦点坐标为()A.和 B.和C.和 D.和二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为____________________.14.古希腊数学家阿波罗尼斯发现:平面上到两定点A,B的距离之比为常数的点的轨迹是—个圆心在直线上的圆.该圆被称为阿氏圆,如图,在长方体中,,点E在棱上,,动点P满足,若点P在平面内运动,则点P对应的轨迹的面积是___________;F为的中点,则三棱锥体积的最小值为___________.15.已知函数集合,若A中有且仅有4个元素,则满足条件的整数a的个数为______16.圆锥的高为1,底面半径为,则过圆锥顶点的截面面积的最大值为____________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,一个湖的边界是圆心为的圆,湖的一侧有一条直线型公路,湖上有桥(是圆的直径).规划在公路上选两个点、,并修建两段直线型道路、.规划要求,线段、上的所有点到点的距离均不小于圆的半径.已知点到直线的距离分别为和(为垂足),测得,,(单位:百米).(1)若道路与桥垂直,求道路的长;(2)在规划要求下,点能否选在处?并说明理由.18.(12分)已知数列和满足,(1)若,求的通项公式;(2)若,,证明为等差数列,并求和的通项公式19.(12分)如图,直角梯形AEFB与菱形ABCD所在平面互相垂直,,,,,,M为AD中点.(1)证明:直线面DEF;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)如图,正方体的棱长为4,E,F分别是上的点,且.(1)求与平面所成角的正切值;(2)求证:.21.(12分)如图,在直三棱柱中,,E、F分别是、的中点(1)求证:平面;(2)求证:平面22.(10分)某保险公司根据官方公布的历年营业收入,制成表格如下:表1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序号x12345678910营业收入y(亿元)0.529.3633.6132352571912120716822135由表1,得到下面的散点图:根据已有的函数知识,某同学选用二次函数模型(b和a是待定参数)来拟合y和x的关系.这时,可以对年份序号做变换,即令,得,由表1可得变换后的数据见表2.表2T149162536496481100Y0.529.3633.6132352571912120716822135(1)根据表中数据,建立y关于t的回归方程(系数精确到个位数);(2)根据(1)中得到的回归方程估计2021年的营业收入,以及营业收入首次超过4000亿元的年份.附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.参考数据:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据不等式性质及对数函数的单调性判断命题的真假,根据大角对大边及正弦定理可判断命题的真假,再根据复合命题真假的判断方法即可得出结论.【详解】解:若,且,则,当时,,所以,当时,,所以,综上命题为假命题,则为真命题,在中,若,则,由正弦定理得,所以命题为真命题,为假命题,所以为真命题,,,为假命题.故选:A.2、B【解析】利用等差数列下标和性质,求得,再用等差数列前项和公式即可求解.【详解】根据等差数列的下标和性质,,解得,.故选:B.3、D【解析】根据题意转化为等差数列,求首项.【详解】设冬至的日影长为,雨水的日影长为,根据等差数列的性质可知,芒种的日影长为,,解得:,,所以冬至的日影长为尺.故选:D4、B【解析】由表格数据求样本中心,根据线性回归方程过样本中心点,将点代入方程求参数,写出回归方程,进而估计下个月老年人与儿童患病人数.【详解】由表格得为,由回归方程中的,∴,解得,即,当时,.故选:B.5、B【解析】首先分别设,,再根据椭圆的定义和性质列出等式,即可求解椭圆的短轴长.【详解】设,,所以,即,即,得,短轴长为.故选:B6、B【解析】根据极限的定义计算【详解】由题意故选:B7、C【解析】先由已知结合抛物线的定义求出,从而可得抛物线的准线方程,则可求出准线l与两条渐近线的交点分别为,然后由题意可得,进而可求出双曲线的离心率详解】依题意,抛物线准线,由抛物线定义知,解得,则准线,双曲线C的两条渐近线为,于是得准线l与两条渐近线的交点分别为,原点为O,则面积,双曲线C的半焦距为c,离心率为e,则有,解得故选:C8、A【解析】由一元二次不等式的解集,结合根与系数关系求参数a、b,即可得.【详解】∵的解集为,∴-5和2为方程的两根,∴有,解得,∴.故选:A.9、B【解析】解出不等式可得集合,由可得,然后可得在上恒成立,然后分离参数求解即可.【详解】由得,,解得,因为,所以所以可得在上恒成立,即在上恒成立,故只需,,当时,,故故选:B10、C【解析】由角平分线的性质可得,结合已知条件即可求双曲线的离心率.【详解】由题设,易知:,由知:,即,整理得:.故选:C11、A【解析】求出通项,利用裂项相消法求数列的前n项和.【详解】因为等差数列,,,所以,所以,所以数列的前项和为故B,C,D错误.故选:A.12、D【解析】本题是焦点在x轴的椭圆,求出c,即可求得焦点坐标.【详解】,可得焦点坐标为和.故选:D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】依题意,设所求的双曲线的方程为.点为该双曲线上的点,.该双曲线的方程为:,即.故本题正确答案是.14、①.②.【解析】建立空间直角坐标系,根据,可得对应的轨迹方程;先求的面积,其是固定值,要使体积最小,只需求点到平面的距离的最小值即可.【详解】分别以为轴建系,设,而,,,,.由,有,化简得对应的轨迹方程为.所以点P对应的轨迹的面积是.易得的三个边即是边长为为的等边三角形,其面积为,,设平面的一个法向量为,则有,可取平面的一个法向量为,根据点的轨迹,可设,,所以点到平面的距离,所以故答案为:;15、32【解析】作出的图像,由时,不等式成立,所以,判断出符合条件的非零整数根只有三个,即等价于时,;时,;利用数形结合,进行求解.【详解】作出的图像如图所示:因为时,不等式成立,所以,符合条件的非零整数根只有三个.由可得:时,;时,;所以在y轴左侧,的图像都在的下方;在y轴右侧,的图像都在的上方;而,,,,.平移直线,由图像可知:当时,集合A中除了0只含有1,2,3,符合题意,此时整数a可以取:-23,-22,-21……-9.一共15个;当时,集合A中除了0含有1,-1,-2,符合题意.当时,集合A中除了0只含有-1,-2,-3,符合题意,此时整数a可以取:5,6,7……20一共16个.所以整数a的值一共有15+1+16=32(个).故答案为:32【点睛】分离参数法求零点个数的问题是转化为,分别做出和的图像,观察交点的个数即为零点的个数.用数形结合法解决零点问题常有以下几种类型:(1)零点个数:几个零点;(2)几个零点的和;(3)几个零点的积.16、2【解析】求出圆锥轴截面顶角大小,判断并求出所求面积最大值【详解】如图,是圆锥轴截面,是一条母线,设轴截面顶角为,因为圆锥的高为1,底面半径为,所以,,所以,,设圆锥母线长为,则,截面的面积为,因为,所以时,故答案为:2三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)15(百米)(2)点选在处不满足规划要求,理由见解析【解析】(1)建立适当的坐标系,得圆及直线的方程,进而得解.(2)不妨点选在处,求方程并求其与圆的交点,在线段上取点不符合条件,得结论.【小问1详解】如图,过作,垂足为.以为坐标原点,直线为轴,建立平面直角坐标系.因为为圆的直径,,所以圆的方程为.因为,,所以,故直线的方程为,则点,的纵坐标分别为3,从而,,直线的斜率为.因为,所以直线的斜率为,直线的方程为.令,得,,所以.因此道路的长为15(百米).【小问2详解】若点选在处,连结,可求出点,又,所以线段.由解得或,故不妨取,得到在线段上的点,因为,所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径5.因此点选在处不满足规划要求.18、(1)(2)证明见解析,,【解析】(1)代入可得,变形得构造等比数列求的通项公式;(2)先由已知得,先分别求出,的通项公式,然后合并可得的通项公式,进而可得的通项公式【小问1详解】当,时,,所以,即,整理得,所以是以为首项,为公比的等比数列故,即【小问2详解】当时,由,,得,所以因为,所以,则是以为首项,2为公差的等差数列,,;是以为首项,2为公差的等差数列,,综上所述,所以,,故是以2为首项,1为公差的等差数列当时,,且满足,所以19、(1)证明见解析(2)【解析】(1)由平面平面ABCD,可得平面ABCD,连接BD,可得,以为原点,为轴,竖直向上为轴建立空间直角坐标系,利用向量法计算与平面的法向量的数量积为0即可得证;(2)分别计算出平面和平面的法向量,然后利用向量夹角公式即可求解.【小问1详解】证明:因为平面平面ABCD,平面平面ABCD,且,所以平面ABCD,连接BD,则等边三角形,所以,以为原点,为轴,竖直向上为轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,设为平面的法向量,因为,则有,取,又因为,所以,因为平面,所以平面;【小问2详解】解:分别设为平面和平面的法向量,因为,则有,取,因,则有,取,所以,由图可知二面角为锐二面角,所以二面角的余弦值为.20、(1);(2)证明见解析.【解析】(1)在正方体中,平面,连接,则为与平面所成的角,在直角三角形,求出即可;(2)∵是正方体,又是空间垂直问题,∴易采用向量法,∴建立如图所示的空间直角坐标系,欲证,只须证,再用向量数量积公式求解即可.【小问1详解】在正方体中,平面,连接,则为与平面所成的角,又,,,∴;【小问2详解】如图,以为坐标原点,直线、、分别轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.则∴,,∴,∴.21、(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)连接,交于点M,连接ME,则M为中点.根据三角形的中位线定理和平行四边形的判断和性质可证得,再由线面平行的判定定理可得证;(2)由线面垂直的性质和判定可得证.【详解】证明:(1)连接,交于点M,连接ME,则M为中点因为E、F分别是与的中点,所以,则,从而为平行四边形,则又因为平

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