辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年高三上学期第三次月考数学模拟卷C（含解析）

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解析版

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟

一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合、集合，且，则实数的取值范围为（）。

A、B、C、D、

【答案】B

【解析】由题意可得，若，则，故选B。

2．若复数z满足、，则的实部为（）。

A、B、C、D、

【答案】C

【解析】设复数（），则，则由、可得且，

解得、，∴，其实部为，故选C。

3．已知命题：，，则为（）。

A、，B、，C、，D、，

【答案】A

【解析】∵命题：，，∴命题：，，故选A。

4．已知函数（）在内恰有个极值点和个零点，则实数的取值范围为（）。

A、B、C、D、

【答案】A

【解析】，∵，∴，

又∵在内恰有个极值点和个零点，

∴由图像得，解得，∴实数的取值范围是，故选A。

5．设数列满足：，，记数列的前项之积为，则（）。

A、B、C、D、

【答案】C

【解析】由、得：、、、……，

则数列是以为周期的周期数列，又，且，

∴，故选C。

6．已知点是平面上的任意一点，、、是平面上不共线的三个动点，且点满足：

，则动点的轨迹一定通过的（）。

A、重心B、外心C、垂心D、内心

【答案】C

【解析】由题意可知，

即，

∴，动点在的高线上，动点的轨迹一定通过的垂心，故选C。

7．在信息传递中多数是以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号（形如，其中，，），某种“信号净化器”可产生形如的波，只需要调整参数，就可以产生特定的波（与干扰波波峰相同，方向相反的波）来“对抗”干扰。现有波形信号的部分图像，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波（标准正弦函数图像），应将波形净化器的参数分别调整为（）。

A、、、

B、、、

C、、、

D、、、

【答案】B

【解析】设干扰信号对应的函数解析式为（，，），

由题图得（为干扰信号的周期），解得，∴，

∵函数的最大值为，∴，将代入，解得，，

∵，∴，∴，

∴欲消除的波需要选择相反的波，即，

∴、、，故选B。

8．若，其中、，则下列结论一定成立的是（）。

A、B、C、D、

【答案】D

【解析】∵，其中、，

∴，其中、，

令，定义域为，，令，解得，

当时，，∴在内单调递减，

当时，，∴在内单调递增，

∴在处取得极小值，也是最小值，∴，

即，当且仅当时等号成立，

∴（），∴（、），

令，定义域为，，令，解得，

当时，，∴在内单调递减，

当时，，∴在内单调递增，

则（、）等价于（、），

∴，即，∴，即，故选D。

二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。

9．已知向量，将向量绕坐标原点逆时针转角得到向量（），则下列说法正确的是（）。

A、B、

C、D、

【答案】BCD

【解析】以、为邻边作平行四边形，则，即，

∴，∴A选项错，B选项对，

∵，∴，又∵，∴由余弦定理得：

，∴C选项对，

∵，∴为菱形，又∵、，∴，∴D选项对，

故选BCD。

10．已知数列满足：，（），则下列说法错误的是（）。

A、数列是单调递增数列B、数列是单调递增数列

C、数列是单调递增数列D、数列是单调递增数列

【答案】BCD

【解析】当时，∵，∴，

当时，，

验证，当时，符合，∴当时，，

A选项，，由性质可知是单调递增数列，对，

B选项，，由性质可知是单调递减数列，错，

C选项，，则数列是常数列，错，

D选项，，由性质可知是单调递减数列，错，

故选BCD。

11．如图所示，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，为线段上的动点，则

（）。

A、

B、多面体的体积为

C、若为线段的中点，则平面

D、点、分别为线段、上的动点，点在平面内，则的最小值是

【答案】ACD

【解析】如图所示，将几何体补全成棱长为的正方体，在该正方体中，

∵、，∴，A选项对，

∵，B选项错，

当为线段的中点时，∵，平面，平面，∴平面，

同理平面，又，平面，平面，

∴平面平面，平面，∴平面，C选项对，

设关于的对称点为，关于的对称点为，则在线段上，

记为直线与之间的距离，

∵，且平面，平面，∴平面，

即转化为点到平面的距离，即长度的三分之二，，

则，

经检验点、都分别在线段、上，D选项对，

附证：平面，

∵平面，平面，∴，

又∵，，∴平面，

∵平面，∴，同理，且，

∴平面，，设点到平面的距离为，根据等体积可知，

∴，解得，∴点到平面的距离为。

故选ACD。

12．对，下列命题正确的是（）。

A、B、C、D、

【答案】AB

【解析】A选项，令，，

∵，∴，∴，即函数单调递增，又，∴，

∴，即，故A正确，

B选项，，，

，，

∵，∴，，则，在递增，

即有，即，在递增，即有，故B正确，

C选项，令，，，由，故C错误，

D选项，令，，，，故D错误，故选AB。

三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。

13．已知平面向量、，且，则。

【答案】

【解析】由题意得，由得，

∴，∴。

14．已知为定义在上的奇函数，当，，且关于直线对称。设方程的正数解为、、…、、…，且任意的，总存在实数，使得成立，则实数的最小值为。

【答案】

【解析】∵为定义在上的奇函数，∴且，

又关于直线对称，∴，∴，

则，∴函数是以为周期的周期函数，

作出函数和的图像如图所示，

由的正数解依次为、、…、、…，

则的几何意义为函数两条渐近线之间的距离为，

∴，∴对于任意的，，∴，即的最小值为。

15．在锐角的内角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为。

【答案】

【解析】在中，，由题意及正弦定理得：，

∴，∴，

∴，又、，∴，

∴，∴，

又为锐角三角形，∴，∴，解得，

∴。

16．在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在正方体表面上运动，且满足，则点轨迹的长度为。

【答案】

【解析】以为坐标原点，以、、为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

∴、、、，∴，

设，则，

∵，∴，即，

当时，当时，

取、、、，

连结、、、，则、，

∴、，∴四边形为矩形，即、，

又和为平面中的两条相交直线，∴平面，

又、，∴为的中点，则平面，

为使，必有点平面，

又点在正方体表面上运动，∴点的轨迹为四边形，

又，，∴，则点的轨迹不是正方形，

则矩形的周长为。

四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分分）已知函数。

（1）求函数的单调增区间；

（2）在中，角、、所对的边分别为、、，且（为锐角），，，求、。

【解析】（1）

，2分

令，解得，

∴的单调增区间为，；4分

（2）在中，，

，，又，∴，6分

，∴，7分

由余弦定理得：，∴，即，

代入数值得：，即，即，解得，∴。10分

18．（本小题满分分）已知数列中，，，且当时，。

（1）设，试用表示，并求的通项公式；

（2）设（），求数列的前项和。

【解析】（1）当时，，1分

∴，∴，

∴当时，，4分

又当时，，∴当时，，；6分

（2）由（1）可知，

∴，9分

∴

。12分

19．（本小题满分分）如图所示，在中，，为上一点，。

（1）若为的中点，，求的面积；

（2）若，求的面积的最小值。

【解析】（1）∵为的中点，∴，

∴，2分

∵，，∴、，3分

∴，4分

由余弦定理得：，∴，5分

∴，∴；6分

（2）∵，∴，

∵，∴，8分

∴，

又，∴，10分

∵，当且仅当时等号成立，

∴，即，∴。12分

20．（本小题满分分）如图所示，在三棱柱中，，四边形是菱形，，点在棱上，且。

（1）若，证明：平面平面。

（2）若，是否存在实数，使得平面与平面所成角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

【解析】（1）证明：取的中点，连接、，∵四边形是菱形，且，∴，

∵为的中点，∴，1分

∵，且为的中点，∴，

∵且、平面，∴平面，2分

∵平面，∴，

∵，且、平面，∴平面，3分

∵平面，∴平面平面；4分

（2）解：∵，∴，∴，

∵为的中点，∴，

∵四边形是菱形，且，∴是等边三角形，

∵是的中点，∴，

∵，∴，且、、两两垂直，

以为原点、、的方向分别为、、轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，6分

设，则、、、、，

∴、、、、，

∵，∴，∴，7分

设平面的法向量为，则，即，

令，则，，∴，9分

设平面的法向量为，则，即，

令，则，，∴，11分

设平面与平面所成的角为，

则，解得或，

又，∴均可取，

∴存在或，使得平面与平面所成角的余弦值是。12分

21．（本小题满分分）已知函数（），曲线在点处的切线方程为

。

（1）求、的值；

（2）若、是两个正数，且，证明：。

【解析】（1）的定义域为，，1分

∵曲线在点处的切线方程为，

∴，即，解得、；3分

（2）由（1）可知，令，定义域为，

∴，∴在上单调递增，

∵、是两个正数，且，∴，设，5分

当时，命题显然成立，得证，6分

当时，令，定义域为，

∴，

∴当时，、，∴，∴在上单调递增，8分

∴，即，∴，9分

∵，∴，∴，10分

∵在上单调递增，∴，即，11分

综上所述，。12分

22．（本小题满分分）设且，函数，。

（1）证明：恒成立；

（2）若对，恒成立，求实数的取值范围。

【解析】（1）证明：的定义域为，，令，解得，1分

当时，，∴在区间内单调递减，2分

当时，，∴在区间内单调递增，3分

∴在处取得极小值也是最小值，∴，∴恒成立；4分

（2）①当时，取，则，即不符合题意，5分

②当时，取，则，即不符合题意，6分

③当时，由，∴，

即对恒成立，

令，，且，

∴对恒成立，8分

设，，

则，设，

则，

由（1）知，∴，

同理，由可推出，

∴，即在上单调递增，又，

∴在内单调递减，在内单调递增，∴成立，11分

综上所述，实数的取值范围为。12分辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年高三上学期第三次月考数学模拟卷C

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟

一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合、集合，且，则实数的取值范围为（）。

A、B、C、D、

2．若复数z满足、，则的实部为（）。

A、B、C、D、

3．已知命题：，，则为（）。

A、，B、，

C、，D、，

4．已知函数（）在内恰有个极值点和个零点，则实数的取值范围为（）。

A、B、C、D、

5．设数列满足：，，记数列的前项之积为，则（）。

A、B、C、D、

6．已知点是平面上的任意一点，、、是平面上不共线的三个动点，且点满足：

，则动点的轨迹一定通过的（）。

A、重心B、外心C、垂心D、内心

7．在信息传递中多数是以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号（形如，其中，，），某种“信号净化器”可产生形如的波，只需要调整参数，就可以产生特定的波（与干扰波波峰相同，方向相反的波）来“对抗”干扰。现有波形信号的部分图像，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波（标准正弦函数图像），应将波形净化器的参数分别调整为（）。

A、、、

B、、、

C、、、

D、、、

8．若，其中、，则下列结论一定成立的是（）。

A、B、C、D、

二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。

9．已知向量，将向量绕坐标原点逆时针转角得到向量（），则下列说法正确的是（）。

A、B、

C、D、

10．已知数列满足：，（），则下列说法错误的是（）。

A、数列是单调递增数列B、数列是单调递增数列

C、数列是单调递增数列D、数列是单调递增数列

11．如图所示，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，为线段上的动点，则

（）。

A、

B、多面体的