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文档简介
北京市东城区东直门中学2023-2024学年数学高二上期末教学质量检测试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知等比数列满足,,则()A.21 B.42C.63 D.842.已知双曲线的左、右焦点分别为,点在的左支上,过点作的一条渐近线的垂线,垂足为,则的最小值为()A. B.C. D.3.已知二次函数交轴于,两点,交轴于点.若圆过,,三点,则圆的方程是()A. B.C. D.4.已知函数,若,,则实数的取值范围是A. B.C. D.5.已知等差数列的前项和为,,,当取最大时的值为()A. B.C. D.6.某汽车制造厂分别从A,B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试,下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程(单位:)A类轮胎:94,96,99,99,105,107B类轮胎:95,95,98,99,104,109根据以上数据,下列说法正确的是()A.A类轮胎行驶的最远里程的众数小于B类轮胎行驶的最远里程的众数B.A类轮胎行驶的最远里程的极差等于B类轮胎行驶的最远里程的极差C.A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数D.A类轮胎的性能更加稳定7.攒(cuán)尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式,多见于亭阁或园林式建筑.下图是一顶圆形攒尖,其屋顶可近似看作一个圆锥,其轴截面(过圆锥轴的截面)是底边长为,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积约为()A. B.C. D.8.展开式的第项为()A. B.C. D.9.若圆与直线相切,则()A.3 B.或3C. D.或10.已知直线,若异面,,则的位置关系是()A.异面 B.相交C.平行或异面 D.相交或异面11.已知向量,且与互相垂直,则k=()A. B.C. D.12.已知椭圆的两焦点分别为,,P为椭圆上一点,且,则的面积等于()A.6 B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同,则积不容异”,即夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件,若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,则该几何体的体积为________.14.美好人生路车站早上有6:40,6:50两班开往A校的公交车,若李华同学在早上6:35至6:50之间随机到达该车站,乘开往A校的公交车,公交车准时发车,则他等车时间不超过5分钟的概率为______15.已知点P在圆上,已知,,则的最小值为___________.16.圆锥的高为1,底面半径为,则过圆锥顶点的截面面积的最大值为____________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等差数列的公差,前3项和,且成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.18.(12分)已知p:方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆;q:当时,函数恒成立.(1)若p为真,求实数t的取值范围;(2)若为假命题,且为真命题,求实数t的取值范围19.(12分)已知函数.(1)若函数的图象在处的切线方程为,求的值;(2)若函数在上是增函数,求实数的最大值.20.(12分)某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行,决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策,不超过12站的地铁票价如下表:乘坐站数票价(元)246现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过12站,且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.(1)若甲、乙两人共付费6元,则甲、乙下地铁的方案共有多少种?(2)若甲、乙两人共付费8元,则甲比乙先下地铁的方案共有多少种?21.(12分)如图,在直四棱柱中,(1)求二面角的余弦值;(2)若点P为棱的中点,点Q在棱上,且直线与平面所成角的正弦值为,求的长22.(10分)已知数列,,其中,是各项均为正数的等比数列,满足,,且(1)求数列,的通项公式;(2)设,求数列的前n项和
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】设等比数列公比为q,根据给定条件求出即可计算作答.【详解】等比数列公比为q,由得:,即,而,解得,所以.故选:D2、D【解析】利用双曲线定义可得到,将的最小值变为的最小值问题,数形结合得解.【详解】由题意得,故,如图所示:到渐近线的距离,则,当且仅当,,三点共线时取等号,∴的最小值为.故选:D3、C【解析】由已知求得点A、B、C的坐标,则有AB的垂直平分线必过圆心,所以设圆的圆心为,由,可求得圆M的半径和圆心,由此求得圆的方程.【详解】解:由解得或,所以,又令,得,所以,因为圆过,,三点,所以AB的垂直平分线必过圆心,所以设圆的圆心为,所以,即,解得,所以圆心,半径,所以圆的方程是,即,故选:C4、A【解析】函数,若,,可得,解得或,则实数的取值范围是,故选A.5、B【解析】由已知条件及等差数列通项公式、前n项和公式求基本量,再根据等差数列前n项和的函数性质判断取最大时的值.【详解】令公差为,则,解得,所以,当时,取最大值.故选:B6、D【解析】根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解.【详解】解:对A:A类轮胎行驶的最远里程的众数为99,B类轮胎行驶的最远里程的众数为95,选项A错误;对B:A类轮胎行驶的最远里程的极差为13,B类轮胎行驶的最远里程的极差为14,选项B错误对C:A类轮胎行驶的最远里程的平均数为,B类轮胎行驶的最远里程的平均数为,选项C错误对D:A类轮胎行驶的最远里程的方差为,B类轮胎行驶的最远里程的方差为,故A类轮胎的性能更加稳定,选项D正确故选:D.7、B【解析】由轴截面三角形,根据已知可得圆锥底面半径和母线长,然后可解.【详解】轴截面如图,其中,,所以,所以,所以圆锥的侧面积.故选:B8、B【解析】由展开式的通项公式求解即可【详解】因为,所以展开式的第项为,故选:B9、B【解析】根据圆与与直线相切,利用圆心到直线的距离等于半径求解.【详解】圆的标准方程为:,则圆心为,半径为,因为圆与与直线相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即,解得或,故选:B10、D【解析】以正方体为载体说明即可.【详解】如下图所示的正方体:和是异面直线,,;和是异面直线,,与是异面直线.所以两直线与是异面直线,,则的位置关系是相交或异面.故选:D11、C【解析】利用垂直的坐标表示列方程求解即可.【详解】由与互相垂直得,解得故选:C.12、B【解析】根据椭圆定义和余弦定理解得,结合三解形面积公式即可求解【详解】由与是椭圆上一点,∴,两边平方可得,即,由于,,∴根据余弦定理可得,综上可解得,∴的面积等于,故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】根据圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,由,求得底面半径,进而得到高,再利用锥体的体积公式求解.【详解】设圆锥的母线长为l,高为h,底面半径为r,因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,所以,解得,所以,所以圆锥的体积为:,故该几何体的体积为,故答案为:14、【解析】根据题意,李华等车不超过5分钟,则他必须在6:35-6:40或者6:45-6:50到达,进而根据几何概型求概率的方法求得答案.【详解】由题意,李华等车不超过5分钟,则他必须在6:35-6:40或者6:45-6:50到达,则所求概率.故答案为:.15、【解析】推导出极化恒等式,即,结合最小值为,求出最小值.【详解】由题意,取线段AB中点,则,,两式分别平方得:①,②,①-②得:,因为圆心到距离为,所以最小值为,又,故最小值为:.故答案为:16、2【解析】求出圆锥轴截面顶角大小,判断并求出所求面积最大值【详解】如图,是圆锥轴截面,是一条母线,设轴截面顶角为,因为圆锥的高为1,底面半径为,所以,,所以,,设圆锥母线长为,则,截面的面积为,因为,所以时,故答案为:2三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】(1)由,且成等比数列列式求解出和,然后写出;(2)由,用错位相减法求和即可.【详解】(1)∵,∴①又∵成等比数列,∴,②∵,由①②解得:,,∴(2)∵,,∴两式相减,得∴【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算,错位相减法求和,属于中档题.18、(1)(2)【解析】(1)由给定条件结合椭圆标准方程的特征列不等式求解作答.(2)求命题q真时的t值范围,再借助“或”联结的命题为真命题求解作答.【小问1详解】因方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆,则有,解得,所以实数t的取值范围是.【小问2详解】,则有,当且仅当,即时取“=”,即,因当时,函数恒成立,则,解得,命题q为真命题有,因为假命题,且为真命题,则与一真一假,当p真q假时,,当p假q真时,,所以实数t的取值范围是.19、(1);(2).【解析】(1)先对函数求导,再根据在处的切线斜率可得到参数的值,然后代入,求出的值,则即可得出;(2)根据函数在上是增函数,可得,即恒成立,再进行参变分离,构造函数,对进行求导分析,找出最小值,即实数的最大值【详解】解:(1)由题意,函数.故,则,由题意,知,即.又,则.,即..(2)由题意,可知,即恒成立,恒成立.设,则.令,解得.令,解得.令,解得x.在上单调递减,在上单调递增,在处取得极小值..,故的最大值为.【点睛】本题主要考查利用某点处的一阶导数分析得出参数的值,参变量分离方法的应用,不等式的计算能力.本题属中档题20、(1)24(种)(2)21(种)【解析】(1)先根据共付费6元得一人付费2元一人付费4元,再确定人与乘坐站数,即可得结果;(2)先根据共付费8元得一人付费2元一人付费6元或两人都付费4元,再求甲比乙先下地铁的方案数.【小问1详解】由已知可得:甲、乙两人共付费6元,则甲、乙一人付费2元一人付费4元,又付费2元的乘坐站数有1,2,3三种选择,付费4元的乘坐站数有4,5,6,7四种选,所以甲、乙下地铁的方案共有(3×4)×2=24(种).【小问2详解】甲、乙两人共付费8元,则甲、乙一人付费2元一人付费6元或两人都付费4元;当甲付费2元,乙付费6元时,甲乘坐站数有1,2,3三种选择,乙乘坐站数有8,9,10,11,12五种选择,此时,共有35=15(种)方案;当两人都付费4元时,若甲在第4站下地铁,则乙可在第5,6,7站下地铁,有3种方案;若甲在第5站下地铁,则乙可在第6,7站下地铁,有2种方案;若甲在第6站下地铁,则乙可在第7站下地铁,有1种方案;综上,甲比乙先下地铁的方案共有(种).21、(1),(2)【解析】(1)推导出,以A为原点,分别以,,所在的直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,利用空间向量求二面角的余弦值;(2)设,则,求出平面的法向量,利用空间向量求出的长【详解】解(1)在直四棱柱中,因为平面,平面,平面,所以因为,所以以A为原点,分别以,,所在的直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,因为,所以,所以,设平面的一个法向量为,则,令,则,因为平面,所以平面的一个法向量为,设二面角的平面角为,由图可知为锐角,所以二面角的余弦值为(2)设,则,因为点为的中点,所以,则,设平面一个法向量为,
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