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文档简介
北京市一七一中学2023年数学高二上期末复习检测模拟试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列满足,,数列的前n项和为,若,,成等差数列,则n=()A.6 B.8C.16 D.222.已知公差不为0的等差数列中,(m,),则mn的最大值为()A.6 B.12C.36 D.483.已知点,则满足点到直线的距离为,点到直线距离为的直线的条数有()A.1 B.2C.3 D.44.已知椭圆C:的左,右焦点,过原点的直线l与椭圆C相交于M,N两点.其中M在第一象限.,则椭圆C的离心率的取值范围为()A. B.C. D.5.下列命题中正确的个数为()①若向量,与空间任意向量都不能构成基底,则;②若向量,,是空间一组基底,则,,也是空间的一组基底;③为空间一组基底,若,则;④对于任意非零空间向量,,若,则A.1 B.2C.3 D.46.已知等差数列满足,则其前10项之和为()A.140 B.280C.68 D.567.已知实数,满足不等式组,则的最小值为()A2 B.3C.4 D.58.下列说法正确的个数有()(ⅰ)命题“若,则”的否命题为:“若,则”;(ⅱ)“,”的否定为“,使得”;(ⅲ)命题“若,则有实根”为真命题;(ⅳ)命题“若,则”的否命题为真命题;A.1个 B.2个C.3个 D.4个9.在中国古代,人们用圭表测量日影长度来确定节气,一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起,依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,其日影长依次成等差数列,若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,小寒、雨水,清明日影长之和为28.5尺,则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为()A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺10.已知椭圆的左、右顶点分别为,上、下顶点分别为.点为上不在坐标轴上的任意一点,且四条直线的斜率之积大于,则的离心率的取值范围是()A. B.C. D.11.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.8 B.16C. D.12.已知是函数的导函数,则()A0 B.2C.4 D.6二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若两定点A,B的距离为3,动点M满足,则M点的轨迹围成区域的面积为_________14.某公司青年、中年、老年员工的人数之比为10∶8∶7,从中抽取100名作为样本,若每人被抽中的概率是0.2,则该公司青年员工的人数为__________15.中国古代《易经》一书中记载,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”,如图,一位古人在从右到左依次排列的红绳子上打结,满三进一,用来记录每年进的钱数.由图可得,这位古人一年的收入的钱数为___________.16.若方程表示的曲线是双曲线,则实数m的取值范围是___;该双曲线的焦距是___三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等差数列中,,前5项的和为,数列满足,(1)求数列,的通项公式;(2)记,求数列的前n项和18.(12分)在①,;②,,③,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并解决问题问题:设等差数列的前项和为,________________,若,判断是否存在最大值,若存在,求出取最大值时的值;若不存在,说明理由注:如果选择多个条件分别解答.按第一个解答记分19.(12分)已知函数,(),(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值(2)当时,若函数在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围20.(12分)已知集合,,.(1)求;(2)若“”是“”的必要不充分条件,求实数a的取值范围.21.(12分)已知几何体中,平面平面,是边长为4的菱形,,是直角梯形,,,且(1)求证:;(2)求平面与平面所成角的余弦值22.(10分)如图,四棱锥中,是边长为4的正三角形,为正方形,平面平面,、分别为、中点.(1)证明:平面;(2)求直线EP与平面AEF所成角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】利用累加法求得列的通项公式,再利用裂项相消法求得数列的前n项和为,再根据,,成等差数列,得,从而可得出答案.【详解】解:因为,且,所以当时,,因为也满足,所以.因为,所以.若,,成等差数列,则,即,得.故选:D.2、C【解析】由等差数列的性质可得,再应用基本不等式求mn的最大值,注意等号成立条件.【详解】由题设及等差数列的性质知:,又m,,所以,即,当且仅当时等号成立.所以mn的最大值为.故选:C3、D【解析】以为圆心,为半径,为圆心,为半径分别画圆,将所求转化为求圆与圆的公切线条数,判断两圆的位置关系,从而得公切线条数.【详解】以为圆心,为半径,为圆心,为半径分别画圆,如图所示,由题意,满足点到直线的距离为,点到直线距离为的直线的条数即为圆与圆的公切线条数,因为,所以两圆外离,所以两圆的公切线有4条,即满足条件的直线有4条.故选:D【点睛】解答本题的关键是将满足点到直线的距离为,点到直线距离为的直线的条数转化为圆与圆的公切线条数,从而根据圆与圆的位置关系判断出公切线条数.4、D【解析】由题设易知四边形为矩形,可得,结合已知条件有即可求椭圆C的离心率的取值范围.【详解】由椭圆的对称性知:,而,又,即四边形为矩形,所以,则且M在第一象限,整理得,所以,又即,综上,,整理得,所以.故选:D.【点睛】关键点点睛:由椭圆的对称性及矩形性质可得,由已知条件得到,进而得到椭圆参数的齐次式求离心率范围.5、C【解析】根据题意、空间向量基底的概念和共线的运算即可判断命题①②③,根据空间向量的平行关系即可判断命题④.【详解】①:向量与空间任意向量都不能构成一个基底,则与共线或与其中有一个为零向量,所以,故①正确;②:由向量是空间一组基底,则空间中任意一个向量,存在唯一的实数组使得,所以也是空间一组基底,故②正确;③:由为空间一组基底,若,则,所以,故③正确;④:对于任意非零空间向量,,若,则存在一个实数使得,有,又中可以有为0的,分式没有意义,故④错误.故选:C6、A【解析】根据等差数列的性质,可得,结合等差数列的求和公式,即可求解.【详解】由题意,等差数列满足,根据等差数列的性质,可得,所以数列的前10项和为.故选:A.7、B【解析】画出可行域,找到最优解,得最值.【详解】画出不等式组对应的可行域如下:平行移动直线,当直线过点时,.故选:B.8、B【解析】根据四种命题的结构特征可判断(ⅰ)(ⅳ)的正误,根据全称命题的否定形式可判断(ⅱ)的正误,根据判别式的正误可判断(ⅲ)的正误.【详解】命题“若,则”的否命题”为“若,则”,故(ⅰ)错误.“,”的否定为“,使得”,故(ⅱ)正确,当时,,故有实根,故(ⅲ)正确,“若,则”的否命题为“若,则”,取,则,故命题若,则为假命题,故(ⅳ)错误.故选:B9、A【解析】由题意可知,十二个节气其日影长依次成等差数列,设冬至日的日影长为尺,公差为尺,利用等差数列的通项公式,求出,即可求出,从而得到答案【详解】设从冬至日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{},如冬至日的日影长为尺,设公差为尺.由题可知,所以,,,,故选:A10、A【解析】设,求得,得到,求得,结合,即可求解.【详解】由椭圆的方程,可得,设,则,由,因为四条直线的斜率之积大于,即,所以,则离心率,又因为椭圆离心率,所以椭圆的离心率的取值范围是.故选:A.11、C【解析】画出直观图,利用椎体体积公式进行求解.【详解】画出直观图,为四棱锥A-BCDE,其中BC=4,BE=2,AE=2,且BE,AE,DE两两垂直,故体积为.故选:C12、D【解析】由导数运算法则求出导函数,再计算导数值【详解】由题意,,所以故选:D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】建立如图直角坐标系,设点,根据题意和两点坐标求距离公式可得,结合圆的面积公式计算即可.【详解】以点A为坐标原点,射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系,如图,设点,则,由,化简并整理得:,于是得点M轨迹是以点为圆心,2为半径的圆,其面积为,所以M点的轨迹围成区域的面积为.故答案为:14、200【解析】先根据分层抽样的方法计算出该单位青年职工应抽取的人数,进而算出青年职工的总人数.【详解】由题意,从中抽取100名员工作为样本,需要从该单位青年职工中抽取(人).因为每人被抽中的概率是0.2,所以青年职工共有(人).故答案:200.15、25【解析】将原问题转化为三进制计算,即可求解【详解】解:由题意可得,从左到右的数字依次为221,即古人一年的收入的钱数为故答案为:16、①.②.2【解析】由题意可得,由此可解得m的范围,进一步将方程化为标准方程即可求得焦距【详解】由所表示的曲线是双曲线,可知,解得,当时,方程可变为:,此时双曲线焦距为,当时,m不存在,不合题意;故双曲线的焦距:故答案为:;三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),;(2).【解析】(1)利用等差数列求和公式可得,进而可得,再利用累加法可求,即得;(2)由题可得,然后利用分组求和法即得.【小问1详解】设公差为d,由题设可得,解得,所以;当时,,∴,当时,(满足上述的),所以【小问2详解】∵当时,当时,综上所述:18、答案不唯一,具体见解析【解析】选①:易得,法一:令求n,即可为何值时取最大值;法二:写出,利用等差数列前n项和的函数性质判断为何值时有最大值;选②:由数列前n项和及等差数列下标和的性质易得、即可确定有最大值时值;选③:由等差数列前n项和公式易得、即可确定有最大值时值;【详解】选①:设数列的公差为,,,解得,即,法一:当时,有,得,∴当时,;,;时,,∴或时,取最大值法二:,对称轴,∴或时,取最大值选②:由,得,由等差中项的性质有,即,由,得,∴,故,∴当时,,时,,故时,取最大值选③:由,得,可得,由,得,可得,∴,故,∴当时,,时,,故时,取最大值【点睛】关键点点睛:根据所选的条件,结合等差数列前n项和公式的性质、下标和相等的性质等确定数列中项的正负性,找到界点n值即可.19、【解析】(1)求a,b的值,根据曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,可知切点处的函数值相等,切点处的斜率相等,列方程组,即可求出的值;(2)求k的取值范围.,先求出的解析式,由已知时,设,求导函数,确定函数的极值点,进而可得时,函数在区间上的最大值为;时,函数在在区间上的最大值小于,由此可得结论试题解析:(1),因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,所以,所以;(2)当时,,,,令,则,令,得,所以在与上单调递增,在上单调递减,其中为极大值,所以如果在区间最大值为,即区间包含极大值点,所以考点:导数的几何意义,函数的单调性与最值20、(1).(2).【解析】分析:(1)先求出A,B集合的解集,A集合求定义,B集合解不等式即可,然后由交集定义即可得结论;(2)若“”是“”的必要不充分条件,说明且,然后根据集合关系求解.详解:(1),.则(2),因为“”是“”的必要不充分条件,所以且.由,得,解得.经检验,当时,成立,故实数的取值范围是.点睛:考查定义域,解不等式,交集的定义以及必要不充分条件,正确求解集合,缕清集合间的基本关系是解题关键,属于基础题.21、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)根据菱形的性质,结合面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可;(2)建立空间直角坐标系,根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】(1)证明:连接,交于点,∵四边形是菱形,∴,∵平面平面,平面平面,,∴平面,∵平面,∴,又,、平面,∴平面,∵平面,∴(2)解:取的中点,连接,∵是边长为4的菱形,,∴,,以为原点,,,所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,∴,,设平面的法向量为,则,即,令,则,,∴,同
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