2024届浙江省诸暨市暨阳初中数学高二上期末考试试题含解析

2024届浙江省诸暨市暨阳初中数学高二上期末考试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的定义域为，其导函数为，若，则下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.2．曲线与曲线的（）A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等3．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数在上单调递增B.函数的递减区间为C.函数在处取得极大值D.函数在处取得极小值4．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记，则下列说法正确的是（）A.事件“”的概率为 B.事件“t是奇数”与“”互为对立事件C.事件“”与“”互为互斥事件 D.事件“且”的概率为5．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（）A. B.C. D.6．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A. B.C. D.7．点M在圆上，点N在直线上，则|MN|的最小值是（）A. B.C. D.18．已知是定义在上的函数，其导函数为，且，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.9．设，，则与的等比中项为（）A. B.C. D.10．已知函数对于任意的满足，其中是函数的导函数，则下列各式正确的是（）A. B.C. D.11．如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为（）A.2 B.C. D.812．等差数列中，已知，则（）A.36 B.27C.18 D.9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知正三棱台上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的长为5，若，那么△的周长是______.15．在空间直角坐标系中，已知，，，，则___________.16．在中，，，，则此三角形的最大边长为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知过抛物线的焦点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，且（1）求抛物线C的方程；（2）求以C的准线与x轴的交点D为圆心且与直线l相切的圆的方程18．（12分）已知函数.(I)若曲线在点处的切线方程为,求的值；(II)若,求的单调区间.19．（12分）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱中点（1）求证：；（2）求直线AB与平面所成角的正弦值20．（12分）双曲线的离心率为2，经过C的焦点垂直于x轴的直线被C所截得的弦长为12.（1）求C的方程；（2）设A，B是C上两点，线段AB的中点为，求直线AB的方程.21．（12分）已知.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求在上的最小值.22．（10分）如图，四边形为矩形，，且平面平面.（1）若，分别是，的中点，求证：平面；（2）若是等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】令，求出函数的导数，得到函数的单调性，即可得到，从而求出答案【详解】解：令，则，又不等式恒成立，所以，即，所以在单调递增，故，即，所以，故选：B2、D【解析】分别求出两曲线表示的椭圆的位置，长轴长、短轴长、离心率和焦距，比较可得答案.【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆，长轴长为10，短轴长为6，离心率为,焦距为8,曲线焦点在x轴上的椭圆，长轴长为，短轴长为，离心率为,焦距为,故选：D3、C【解析】根据函数单调性与导数之间的关系及极值的定义结合图像即可得出答案.【详解】解：根据函数的导函数的图象可得，当时，，故函数在和上递减，当时，，故函数在和上递增，所以函数在和处取得极小值，在处取得极大值，故ABD错误，C正确.故选：C.4、D【解析】计算出事件“t＝12”的概率可判断A；根据对立事件的概念，可判断B；根据互斥事件的概念，可判断C；计算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判断D；【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，则共有个基本事件，记t＝m＋n，则事件“t＝12”必须两次都掷出6点，则事件“t＝12”的概率为，故A错误；事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件,如事件m=3,n=5，故B错误；事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；事件“t＞8且mn＜32”有共9个基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率为，故D正确；故选：D5、B【解析】根据空间向量运算求得正确答案.【详解】.故选：B6、C【解析】根据题先求出阅读过西游记人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题7、C【解析】根据题意可知圆心，又由于线外一点到已知直线的垂线段最短，结合点到直线的距离公式，即可求出结果.【详解】由题意可知，圆心，半径为，所以圆心到的距离为，所以的最小值为.故选：C.8、B【解析】令，再结合，和已知条件将问题转化为，最后结合单调性求解即可.【详解】解：令，则，因为，所以，即函数为上的增函数，因为，不等式可化为，所以，故不等式的解集为故选：B9、C【解析】利用等比中项的定义可求得结果.【详解】由题意可知，与的等比中项为.故选：C.10、C【解析】令，结合题意可得，利用导数讨论函数的单调性，进而得出，变形即可得出结果.【详解】令，则，又，所以，令，令，所以函数在上单调递减，在单调递增，所以，即，则.故选：C11、C【解析】由斜二测还原图形计算即可求得结果.【详解】在斜二测直观图中，由为等腰直角三角形，，可得，.还原原图形如图：则，则.故选：C12、B【解析】直接利用等差数列的求和公式及等差数列的性质求解.【详解】解：由题得.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可.【详解】上底面的面积为，下底面的面积为，则这个正三棱台的体积为.故答案为：14、16【解析】利用椭圆的定义可知，又△的周长，即可求焦点三角形的周长.【详解】由椭圆定义知：，所以△的周长为.故答案为：16.15、或##或【解析】根据向量平行时坐标的关系和向量的模公式即可求解.【详解】，且，设，，解得，或.故答案为：或.16、【解析】可知B对的边最大，再用正弦定理计算即可.【详解】利用正弦定理可知，B对的边最大，因为，，所以，.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）首先表示出直线l的方程，再联立直线与抛物线方程，消去，列出韦达定理，再根据焦点弦公式计算可得；（2）由（1）可得，再利用点到直线的距离求出半径，即可求出圆的方程；【详解】解析：（1）由已知得点，∴直线l的方程为，联立去，消去整理得设，，则，，∴抛物线C的方程为（2）由（1）可得，直线l的方程为，∴圆D的半径，∴圆D的方程为【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于中档题.18、（Ⅰ）（Ⅱ）在区间上单调递增,在区间上单调递减【解析】（Ⅰ）求出函数的导函数，根据题意可得得到关于的方程组，解得；（Ⅱ）求出函数的导函数，解得函数的单调递增区间，解得函数的单调递减区间.【详解】解：（Ⅰ）因为函数在点处的切线方程为解得（Ⅱ）令,得或.因为,所以时，；时，.故在区间上单调递增,在区间上单调递减【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题.19、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由线面垂直、等腰三角形的性质易得、，再根据线面垂直的判定及性质证明结论；（2）构建空间直角坐标系，确定相关点坐标，进而求的方向向量、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】在三棱柱中，平面，则平面，由平面，则，，则，又为的中点，则，又，则平面，由平面，因此，.【小问2详解】以为原点，以，，为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，可得：，，，，，，.∴，，，，设为面的法向量，则，令得，设与平面所成角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为.20、（1）（2）【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得的方程.（2）结合点差法求得直线的斜率，从而求得直线的方程.【小问1详解】因为C的离心率为2，所以，可得.将代入可得，由题设.解得，，，所以C的方程为.【小问2详解】设，，则，.因此，即.因为线段AB的中点为，所以，，从而，于是直线AB的方程是.21、（1）；（2）.【解析】(1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式方程即可求出切线方程；(2）根据极值点求出的值，根据导数值的正负判断函数的单调性，即可求出最小值.【小问1详解】∵，，∴∴∴在处的切线为，即；【小问2详解】∵，由题可知，∴，∴单调递增，单调递减，∵，，∴.22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）通过构造平行四边形，在平面中找到即可证明（2）建立直角坐标系，通过两个面的法向量夹角的余弦值求出面面夹角的余弦值【小问1详解】证明