2024届上海市浦东新区普通高中数学高二上期末学业质量监测试题含解析

2024届上海市浦东新区普通高中数学高二上期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子的高（）A.9cm B.6cmC.3cm D.4.5cm2．现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，分别带着A、B、C、D、E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A. B.C. D.3．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则此抛物线的方程为（）A. B.C. D.4．函数的最小值是（）A.2 B.4C.5 D.65．一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A.圆 B.椭圆C.双曲线的一支 D.抛物线6．某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（）A.72元 B.300元C.512元 D.816元7．过抛物线（）的焦点作斜率大于的直线交抛物线于，两点（在的上方），且与准线交于点，若，则A. B.C. D.8．函数的导数为（）A.B.CD.9．已知双曲线方程为，过点的直线与双曲线只有一个公共点，则符合题意的直线的条数共有（）A.4条 B.3条C.2条 D.1条10．如图，在平行六面体中，设，，，用基底表示向量，则（）A. B.C. D.11．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.12．已知数列的通项公式为．若数列的前n项和为，则取得最大值时n的值为（）A.2 B.3C.4 D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______.14．已知圆：，：.则这两圆的连心线方程为_________（答案写成一般式方程）15．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x=_____________，y=_____________16．已知，，且，则的最小值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面四边形为角梯形，，，，O为的中点，，.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值.18．（12分）已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围19．（12分）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，若，求直线的方程20．（12分）已知圆与直线（1）若，直线与圆相交与，求弦长（2）若直线与圆无公共点求的取值范围21．（12分）在空间直角坐标系Oxyz中，O为原点，已知点，，，设向量，.（1）求与夹角的余弦值；（2）若与互相垂直，求实数k的值.22．（10分）已知椭圆：（）的焦点坐标为，长轴长是短轴长的2倍（1）求椭圆的方程；（2）已知直线不过点且与椭圆交于两点，从下面①②中选取一个作为条件，证明另一个成立.①直线的斜率分别为，则；②直线过定点.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据圆锥和球的体积公式以及半球的体积等于圆锥的体积，即可列式解出【详解】由题意可得，，解得．故选：A2、D【解析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己礼物，有种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由种情况，综上：共有种情况，而五人抽五个礼物总数为种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为.故选：D3、B【解析】根据抛物线定义，结合三角形相似以及已知条件，求得，则问题得解.【详解】根据题意，过作垂直于准线，垂足为，过作垂直于准线，垂足为，如下所示：因为，又//，，则，故可得，又△△，则，即，解得，故抛物线方程为：.故选：.4、C【解析】结合基本不等式求得所求的最小值.【详解】，，当且仅当时等号成立.故选：C5、C【解析】设动圆圆心，与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，列出几何关系式，化简，再根据圆锥曲线的定义，可得到动圆圆心轨迹.【详解】设动圆圆心，半径为，圆x2+y2＝1的圆心为，半径为，圆x2+y2﹣8x+12＝0，得，则圆心，半径为，根据圆与圆相切，则，，两式相减得，根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支.故选：C【点睛】本题考查了两圆的位置关系，圆锥曲线的定义，属于基础题.6、D【解析】设这个箱子的箱底的长为xm，则宽为m，设箱子总造价为f（x）元，则f(x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低总造价【详解】设这个箱子的箱底的长为xm，则宽为m，设箱子总造价为f(x)元，∴f(x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，当且仅当x，即x＝4时，f（x）取最小值816元故选：D7、A【解析】分别过作准线的垂线，垂足分别为，设，则，，故选A.8、B【解析】由导数运算法则可求出.【详解】，.故选：B.9、A【解析】利用双曲线渐近线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.【详解】解：双曲线的渐近线方程为，右顶点为.①直线与双曲线只有一个公共点；②过点平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点；③设过的切线方程为与双曲线联立，可得，由，即，解得，直线的条数为1.综上可得，直线的条数为4.故选：A,.10、B【解析】直接利用空间向量基本定理求解即可【详解】因为在平行六面体中，，，，所以，故选：B11、B【解析】求出的值，可得出双曲线的渐近线方程.【详解】由已知可得，因此，该双曲线的渐近线方程为.故选：B.12、C【解析】根据单调性分析出数列的正数项有哪些即可求解.【详解】由条件有，当时，，即；当时，，即.即，所以取得最大值时n的值为.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先求函数的导数，再利用导数的几何意义求函数在处的切线方程.【详解】，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，重点考查计算能力，属于基础题型.14、【解析】求出两圆的圆心坐标，再利用两点式求出直线方程，再化成一般式即可【详解】解：圆，即，两圆的圆心为：和，这两圆的连心线方程为：，即故答案为：15、①.3②.5【解析】根据茎叶图进行数据分析，列方程求出x、y.【详解】由题意，甲组数据为56，62，65，70+x，74；乙组数据为59，61，67，60+y，78.要使两组数据中位数相等，有65=60+y，所以y=5.又平均数相同，则，解得x=3.故答案为：3；5.16、4【解析】利用“1”的妙用，运用基本不等式即可求解.【详解】∵，即，∴又∵，，∴，当且仅当且，即，时，等号成立，则的最小值为4.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接，可通过证明，得平面；（2）以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，通过向量的夹角公式可得答案.【小问1详解】如图，连接，在中，由可得.因为，，所以，，因为，，，所以，所以.又因为，平面，，所以平面.【小问2详解】由（1）可知，，，两两垂直，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.由，有，则，设平面的法向量为，由，，有，取，则，，可得平面的一个法向量为.设平面的法向量为，由，，有，取，则，，可得平面的一个法向量为.由，，，可得平面与平面所成夹角的余弦值为.18、【解析】由题设A是的真子集，结合已知集合的描述列不等式求a的范围.【详解】由“”是“”的充分不必要条件，即A是的真子集，又，，所以，可得，则实数a的取值范围为19、（1）（2）【解析】（1）由离心率公式以及椭圆的性质列出方程组得出椭圆的方程；（2）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得出点坐标，最后由距离公式得出直线的方程【小问1详解】由题意可得，得，，椭圆；【小问2详解】设，，直线为由，得显然，由韦达定理有：，则；所以，且，若，解得，所以20、（1）；（2）或.【解析】（1）求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长；（2）由圆心到直线的距离大于半径列式求解的范围【详解】解：（1）圆，圆心为，半径，圆心到直线的距离为，弦长（2）若直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径解得或21、（1）（2）【解析】（1）由向量的坐标先求出，，，由向量的夹角公式可得答案.（2）由题意可得，从而求出参数的值【小问1详解】由题，，，故，，，所以故与夹角余弦值为.【小问2详解】由与的互相垂直知，，，即22、（1）（2）证明见解析【解析】（1）由条件可得，解出即可；（2）选①证②，当直线的斜率存在时，设：，，然后联立直线与椭圆