三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式及诱导公式

第四章三角函数第1讲三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式及诱导公式考纲展示命题探究eq\a\vs4\al(考点三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式)1三角函数的有关概念(1)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．(2)角度与弧度的互化①360°＝2πrad；②180°＝πrad；③1°＝eq\f(π,180)rad；④1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°.(3)弧长及扇形面积公式①弧长公式：l＝|α|r；②扇形面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2.其中l为扇形弧长，α为圆心角，r为扇形半径．(4)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，α的终边上任意一点P(与原点不重合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离是r＝eq\r(x2＋y2).三角函数定义定义域sinαeq\f(y,r)Rcosαeq\f(x,r)Rtanαeq\f(y,x)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))(5)三角函数在各象限的符号记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(6)三角函数线角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形2同角三角函数基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).3诱导公式及记忆规律(1)诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα——(2)诱导公式的记忆规律①诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．②“奇”“偶”指的是诱导公式k·eq\f(π,2)＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k为奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．③“符号看象限”指的是在k·eq\f(π,2)＋α中，将α看成锐角时k·eq\f(π,2)＋α所在的象限．∴cosθ＝eq\f(－\r(3),\r(3＋m2))＝－eq\f(\r(6),4).(3)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.又S＝eq\f(1,2)θr2＝eq\f(1,2)r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.∴当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．(4)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝－eq\f(π,2)，∴α－eq\f(2π,3)＝－eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))，＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(2,3).[答案](1)B(2)－eq\f(\r(6),4)(3)102(4)－eq\f(2,3)【解题法】同角关系式的应用技巧和诱导公式使用原则步骤(1)同角关系式的应用技巧①弦切互化法：主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦函数．②和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．③巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tan2θ))).(2)使用诱导公式的原则和步骤①原则：负化正、大化小、化到锐角为终了．②步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0～eq\f(π,2)之间角的三角函数，然后求值．1.若tanα＝2taneq\f(π,5)，则eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10)＋\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,5))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sinαcos\f(π,5)＋cosαsin\f(π,5),sinαcos\f(π,5)－cosαsin\f(π,5))＝eq\f(\f(sinα,cosα)cos\f(π,5)＋sin\f(π,5),\f(sinα,cosα)cos\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq\f(2·\f(sin\f(π,5),cos\f(π,5))cos\f(π,5)＋sin\f(π,5),2·\f(sin\f(π,5),cos\f(π,5))cos\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq\f(3sin\f(π,5),sin\f(π,5))＝3，故选C.2．设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则()A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b答案C解析∵a＝sin33°，b＝cos55°＝sin35°，c＝tan35°＝eq\f(sin35°,cos35°)，∴eq\f(sin35°,cos35°)>sin35°>sin33°.∴c>b>a，选C.3．已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D．3答案A解析设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，面积S＝eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.从而α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,1)＝2.4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，则y＝________.答案－8解析若角α终边上任意一点P(x，y)，|OP|＝r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).P(4，y)是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sinθ＝eq\f(y,\r(16＋y2))，又sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，∴eq\f(y,\r(16＋y2))＝－eq\f(2\r(5),5)，且y<0，解得y＝－8.5.若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则eq\f(sin2α,sin2α＋4cos2α)的最大值为________．答案eq\f(1,2)解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴tanα>0，∴eq\f(sin2α,sin2α＋4cos2α)＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋4cos2α)＝eq\f(2tanα,4＋tan2α)＝eq\f(2,tanα＋\f(4,tanα))≤eq\f(1,2)，当且仅当tanα＝2时取等号．6．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为eq\f(π,3)，求x的值．解(1)∵m⊥n，∴m·n＝0.故eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝0，∴tanx＝1.(2)∵m与n的夹角为eq\f(π,3)，∴cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m|·|n|)＝eq\f(\f(\r(2),2)sinx－\f(\r(2),2)cosx,1×1)＝eq\f(1,2)，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2).又x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)，即x＝eq\f(5π,12)，故x的值为eq\f(5π,12).已知角α的终边在直线2x－y＝0上，求角α的正弦、余弦和正切值．[错解][错因分析]直接在直线上取特殊点的方法，导致漏解．[正解]在直线2x＋y＝0上取点(m,2m)(m≠0)则r＝eq\r(5)|m|，当m>0时，r＝eq\r(5)m，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2m,\r(5)m)＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(m,\r(5)m)＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(2m,m)＝2.当m<0时，r＝－eq\r(5)m，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2m,－\r(5)m)＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(m,－\r(5)m)＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(2m,m)＝2.[心得体会]………………时间：45分钟基础组1．[2016·冀州中学期中]已知角α的终边过点P(－a，－3a)，a≠0，则sinα＝()A.eq\f(3\r(10),10)或eq\f(\r(10),10) B.eq\f(3\r(10),10)C.eq\f(\r(10),10)或－eq\f(\r(10),10) D.eq\f(3\r(10),10)或－eq\f(3\r(10),10)答案D解析当a>0时，角α的终边过点(－1，－3)，利用三角函数的定义可得sinα＝－eq\f(3\r(10),10)；当a<0时，角α的终边过点(1,3)，利用三角函数的定义可得sinα＝eq\f(3\r(10),10).故选D.2.[2016·衡水中学仿真]若sinα＋cosα＝eq\f(7,13)(0<α<π)，则tanα等于()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(12,5)C．－eq\f(12,5) D.eq\f(1,3)答案C解析由sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，两边平方得1＋2sinαcosα＝eq\f(49,169)，∴2sinαcosα＝－eq\f(120,169)，又2sinαcosα<0,0<α<π.∴eq\f(π,2)<α<π.∴sinα－cosα>0.∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝eq\f(289,169)，∴sinα－cosα＝eq\f(17,13).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(7,13)，,sinα－cosα＝\f(17,13)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(12,13)，,cosα＝－\f(5,13)，))∴tanα＝－eq\f(12,5).3．[2016·枣强中学预测]设集合M＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)))))·180°＋45°，k∈Zeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1())，N＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(,,))xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,))x＝eq\f(k,4)·180°＋45°，k∈Zeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,))，那么()A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅答案B解析M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x＝\f(2k,4)·))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(),\s\do5())180°＋45°，k∈Z))，故当集合N中的k为偶数时，M＝N，当k为奇数时，在集合M中不存在，故M⊆N.4．[2016·冀州中学一轮检测]已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))＋cosπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)＝()A．－2 B．2C．0 D.eq\f(2,3)答案B解析由角θ的终边在直线2x－y＝0上，可得tanθ＝2，原式＝eq\f(－cosθ－cosθ,cosθ－sinθ)＝eq\f(－2,1－tanθ)＝2.5．[2016·武邑中学一轮检测]已知sinα－cosα＝eq\r(2)，α∈(0，π)，则tanα＝()A．－1 B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2) D．1答案A解析解法一：由sinα－cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\r(2)，α∈(0，π)，解得α＝eq\f(3π,4)，∴tanα＝taneq\f(3π,4)＝－1.解法二：由sinα－cosα＝eq\r(2)及sin2α＋cos2α＝1，得(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝2，即2sinαcosα＝－1<0，故tanα<0，且2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)＝－1，解得tanα＝－1(正值舍)．6．[2016·武邑中学月考]已知角x的终边上一点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(5π,6)，cos\f(5π,6)))，则角x的最小正值为()A.eq\f(5π,6) B.eq\f(5π,3)C.eq\f(11π,6) D.eq\f(2π,3)答案B解析∵sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，coseq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),2)，∴角x的终边经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，tanx＝－eq\r(3)，∴x＝2kπ＋eq\f(5,3)π，k∈Z，∴角x的最小正值为eq\f(5π,3).7.[2016·衡水中学热身]已知函数f(x)＝sinx－cosx，且f′(x)＝2f(x)，则tan2x的值是()A．－eq\f(4,3) B.eq\f(4,3)C．－eq\f(3,4) D.eq\f(3,4)答案C解析因为f(x)＝sinx－cosx，所以f′(x)＝cosx＋sinx，于是有cosx＋sinx＝2(sinx－cosx)，整理得sinx＝3cosx，所以tanx＝3，因此tan2x＝eq\f(2tanx,1－tan2x)＝eq\f(2×3,1－32)＝－eq\f(3,4)，故选C.8．[2016·衡水二中期中]已知sin(π－α)＝log8eq\f(1,4)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则tan(2π－α)的值为()A．－eq\f(2\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C．±eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(\r(5),2)答案B解析sin(π－α)＝sinα＝log8eq\f(1,4)＝－eq\f(2,3)，又因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(5),3)，所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(2\r(5),5).9．[2016·武邑中学预测]在三角形ABC中，若sinA＋cosA＝eq\f(1,5)，则tanA＝()A.eq\f(3,4) B．－eq\f(4,3)C．－eq\f(3,4) D．±eq\f(4,3)答案B解析解法一：因为sinA＋cosA＝eq\f(1,5)，所以(sinA＋cosA)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2，所以1＋2sinAcosA＝eq\f(1,25)，所以sinAcosA＝－eq\f(12,25).又A∈(0，π)，所以sinA>0，cosA<0.因为sinA＋cosA＝eq\f(1,5)，sinAcosA＝－eq\f(12,25)，所以sinA，cosA是一元二次方程x2－eq\f(1,5)x－eq\f(12,25)＝0的两个根，解方程得sinA＝eq\f(4,5)，cosA＝－eq\f(3,5)，所以tanA＝－eq\f(4,3).故选B.解法二：由解法一，得sinA>0，cosA<0，又sinA＋cosA＝eq\f(1,5)>0，所以|sinA|>|cosA|，所以eq\f(π,2)<A<eq\f(3π,4)，所以tanA<－1，故选B.10．[2016·枣强中学模拟]已知α为第二象限角，则cosαeq\r(1＋tan2α)＋sinαeq\r(1＋\f(1,tan2α))＝________.答案0解析原式＝cosαeq\r(\f(sin2α＋cos2α,cos2α))＋sinαeq\r(\f(sin2α＋cos2α,sin2α))＝cosαeq\f(1,|cosα|)＋sinαeq\f(1,|sinα|)，因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以cosαeq\f(1,|cosα|)＋sinαeq\f(1,|sinα|)＝－1＋1＝0，即原式等于0.11.[2016·武邑中学猜题]设f(α)＝eq\f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα≠－\f(1,2)))，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝________.答案eq\r(3)解析∵f(α)＝eq\f(－2sinα－cosα＋cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)＝eq\f(cosα1＋2sinα,sinα1＋2sinα)＝eq\f(1,tanα)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq\f(1,tan\f(π,6))＝eq\r(3).能力组12.[2016·冀州中学仿真]已知扇形的面积为eq\f(3π,16)，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是()A.eq\f(3π,16) B.eq\f(3π