一线三等角问题探究

一线三等角问题探究动点——动中取静板演：四边形ABCD是矩形，三角板的直角顶点M在BC边上运动，直角边分别与射线BA、射线CD交于E、F，在运动过程中，哪些关系保持不变？证明：∵矩形ABCD∴∠B=∠C=90°∴∠2+∠3=90°∵∠EMF=90°∴∠2+∠1=90°∴∠1=∠3∴△EBM∽△MCF类比上述做法，用60°角和45°角分别在等边三角形和等腰直角三角三角形的BC边上运动，得到哪些结论？并证明练习1（2010沈阳）在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（）A9B12C15D182如图所示，四边形OABC是一张在直角坐标系中的矩形纸片，点A在X轴上，点C在Y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处，已知折痕CE=，且tan∠ADE=(1)判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由（2）求直线CE与X轴交点P的坐标3（2010南通）如图，在矩形ABCD中，AB=m(m是大于0的常数)，BC=8,E为线段BC上的动点（不与BC重合）.连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x,BF=y,(1)求y关于x的函数关系式（2）若m=8，求x为何值时，y有最大值，最大值是多少？（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？答案：（1）如图正方形ABCD的边长为4，点p是BC边上一动点（点p不与点B、C重合），连接AP,过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为x，CQ的长为y,求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（2011南充）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上求证：△ABF∽△DFE若sin∠DFE=，求tan∠EBC的值（东城一模）24.等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.图1图2图324.（本小题满分7分）（1）△EPF为等边三角形.--------------1分（2）设BP=x，则CP＝6－x.由题意可△BEP的面积为.△CFP的面积为.△ABC的面积为.设四边形AEPF的面积为y.∴=.自变量x的取值范围为3＜x＜6.--------------4分（3）可证△EBP∽△PCF.∴.设BP=x，则.解得.∴PE的长为4或.--------------7分（延庆一模ABDCE第25题图1）25.在中，，点在所在的直线上运动，作（按逆时针方向）．ABDCE第25题图1（1）如图1，若点在线段上运动，交于．①求证：；②当是等腰三角形时，求的长．（2）①如图2，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由；CDBAECABDE第25题图2第25题图3②如图3CDBAECABDE第25题图2第25题图325.①证明：在中，∵∴∠B=∠C=45°又∠ADE=45°………………1分∴∠ADB+∠EBC=∠EBC+∠………………1分………………2分∴∠ADB=∠………………2分∴②当是等腰三角形时,分以下三种情况讨论第一种情况：DE=AE∵DE=AE∴∠ADE=∠DAE=45°………………3分∴∠AED=90………………3分∴AE=AC=1.第二种情况：AD=AE（D与B重合）AE=2第三种情况：AD=AE如果AD=DE，由于，∴△ABD≌△DCE,∴BD=CE,AB=DC,设BD=CE=在中，∵，∴BC=,DC=－∴－=2,解得，=－2，∴AE=4－2………………4分综上所述：AE的值是1，2，………………4分(2)①存在。………………5分当D在BC的延长线上，且CD=CA时，………………5分证明：∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE′,∴∠ADC+∠EDC=∠EDC+∠DEC=135°,∴∠ADC=∠DEC,又CD=CA，∴∠CAD=∠CDA,∴∠CAD=∠CED,∴DA=DE′,………………6分∴………………6分②不存在.因为∠ACD=45°＞∠E,∠ADE=45°………………7分∴∠ADE………………7分∴不可能是等腰三角形。（朝阳一模）23．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，，CA=CD，E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E与点A、D不重合），且∠FEC=∠ACB，设DE=x，CF=y.（1）求AC和AD的长；（2）求y与x的函数关系式；（3）当△EFC为等腰三角形时，求x的值.23.解：（1）∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠ACB=∠CAD.∴tan∠ACB=tan∠CAD=.∴.∵AB=8，∴BC=6.则AC=10.……………………1分过点C作CH⊥AD于点H，∴CH=AB=8,则AH=6.∵CA=CD,∴AD=2AH=12..………………………2分（2）∵CA=CD,∴∠CAD=∠D.∵∠FEC=∠ACB，∠ACB=∠CAD，∴∠FEC=∠D.∵∠AEC=∠1+∠FEC=∠2+∠D，∴∠1=∠2.∴△AEF∽△DCE.……………………3分∴，即.∴..……………4分（3）若△EFC为等腰三角形.①当EC=EF时，此时△AEF≌△DCE，∴AE=CD.由12-x=10，得x=2..…………………5分②当FC=FE时，有∠FCE=∠FEC=∠CAE，∴CE=AE=12-x.在Rt△CHE中，由，解得.……6分③当CE=CF时，有∠CFE=∠CEF=∠CAE，此时点F与点A重合，故点E与点D也重合，不合题意，舍去.…7分综上，当△EFC为等腰三角形时，x=2或.已知：如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°.观察图形：（1）△ABE与△ECF是否相似？并证明你的结论。（2）若E为BC的中点，连结AF,图中有哪些相似三角形？ABABCEDFBCEFDA（图1）练习：CBCBPQAD求PQ的长。ＡＥＤＦＣＢ例2．如图,在梯形中，，，，点分别在线段上（点与点不重合），且，设，．ＡＥＤＦＣＢ⑴求与的函数表达式；⑵当为何值时，有最大值，最大值是多少？作业：1．已知如图，B是AC上一点，AD⊥AB,EC⊥BC,∠DBE=90°.求证：△ABD∽△CEB.2.已知：等边△ABC中，D为BC上一点，∠B=∠C=∠EDF=60°,BE=6,CD=3,CF=4,EBEBCDADFF3．如图，梯形中，∥，，，点分别在线段上，且，若，求长．4.已知在等腰三角形中，，是的中点，是上的动点（不与、重合），连结，过点作射线，使，射线交射线于点，交射线于点.（1）求证：∽；（2）设.①