初中二次函数综合题经典习题

...wd......wd......wd...二次函数综合题训练题型集合1、如图1，二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.〔1〕求的值及这个二次函数的关系式；〔2〕P为线段AB上的一个动点〔点P与A、B不重合〕，过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；〔3〕D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形假设存在，请求出此时P点的坐标；假设不存在，请说明理由.EEBACP图1OxyD2、如图2，二次函数的图像经过点A和点B．〔1〕求该二次函数的表达式；〔2〕写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；xyO3

－9－1－1AB图2〔3〕xyO3

－9－1－1AB图23、如图3，抛物线经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)三点，连结AB，过点B作BC∥轴交该抛物线于点C.〔1〕求这条抛物线的函数关系式.〔2〕两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动.其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线A→B→C的路线向C点运动.设这两个动点运动的时间为〔秒)(0＜＜4)，△PQA的面积记为S.①求S与的函数关系式；②当为何值时，S有最大值，最大值是多少并指出此时△PQA的形状；③是否存在这样的值，使得△PQA是直角三角形?假设存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；假设不存在，请说明理由.PPBACOQ⌒图34、某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程.图4的二次函数图象〔局部〕反映了该公司年初以来累积利润S〔万元〕与时间〔月〕之间的关系〔即前个月的利润总和S与之间的关系〕.根据图象提供信息，解答以下问题：〔1〕公司从第几个月末开场扭亏为盈；〔2〕累积利润S与时间之间的函数关系式；〔3〕求截止到几月末公司累积利润可达30万元；-3-30-1-21234S(万元)图4123456t(月)〔4〕求第8个月公司所获利是多少元5、(07年海口模拟二)如图5，抛物线的顶点坐标为E〔1,0〕，与轴的交点坐标为〔0,1〕.〔1〕求该抛物线的函数关系式.〔2〕A、B是轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD⊥轴交抛物线于D，过B作BC⊥轴交抛物线于C.设A点的坐标为〔,0〕，四边形ABCD的面积为S.①求S与之间的函数关系式.②求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形③当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得△PAE的周长最小，假设存在，请求出点P的坐标及这时△PAE的周长；假设不存在，说明理由.EOEO1备用图D图5EBACO16、(07浙江中考)如图6，抛物线与x轴交A、B两点〔A点在B点左侧〕，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。〔1〕求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；〔2〕P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；图6备用图〔3〕点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。图6备用图7、〔07海南中考〕如图7，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过点、和点.〔1〕求该二次函数的关系式；〔2〕设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；〔3〕有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，当、两点相遇时，它们都停顿运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S.①请问、两点在运动过程中，是否存在∥，假设存在，请求出此时的值；假设不存在，请说明理由；②请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；备用备用图7③设是②中函数S的最大值，那么=.备用备用图7图88、〔05海南中考〕如图8，抛物线与轴交于图8A(-1,0),B(3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标；(3)设(1)中抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小假设存在，求出Q点的坐标；假设不存在，请说明理由.x经y经0经x经y经0经1经2经34经-1经-1经-2经-3经1经2经ABCD图9(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.10、〔07本校模拟一〕如图10，点A(0,8)，在ABCDABCDOyx图10且项点B，C，D在抛物线上，AD∥x轴，点D在第一象限.(1)求BC的长；(2)假设点P是线段CD上一动点，当点P运动到何位置时，△DAP的面积是7.(3)连结AC，E为AC上一动点，当点E运动到何位置时，直线OE将ABCD分成面积相等的两局部并求此时E点的坐标及直线OE的函数关系式.11、〔07本校模拟二〕MNMN10米20米6米5米图11-1图11-2DEOxABCy图11-1),拱高6米,跨度20米,相邻两支柱间的距离均为5米.〔1〕将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图11-2所示)，其表达式是的形式.请根据所给的数据求出的值.〔2〕求支柱MN的长度.〔3〕拱桥下地平面是双向行车道(正中间DE是一条宽2米的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)请说说你的理由.二次函数综合题训练题型集合1、(1)m=1.∴所求二次函数的关系式为y=(x-1)2.即y=x2-2x+1.设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE.∴PE=h=yP-yE=(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x.即h=-x2+3x(0＜x＜3).(3)存在.要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC.∵点D在直线y=x+1上,∴点D的坐标为(1,2),∴-x2+3x=2.即x2-3x+2=0.解之，得x1=2，x2=1(不合题意，舍去)∴当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.2、解：〔1〕二次函数的表达式为．〔2〕对称轴为；顶点坐标为〔2，-10〕． 〔3〕将〔m，m〕代入，得，解得．∵m＞0，∴不合题意，舍去．∴

m=6．∵点P与点Q关于对称轴对称，∴点Q到x轴的距离为6．3、〔1〕∴所求抛物线的函数关系式为.〔2〕①过点B作BE⊥轴于E，则BE=，AE=1，AB=2.由tan∠BAE=，得∠BAE=60°.EFPBACOQ⌒EFPBACOQ⌒图13过点Q作QF⊥轴于F，则QF=，∴S=PA·QF.〔ⅱ〕当点Q在线段BC上运动，即2≤＜4时，Q点的纵坐标为，PA=4-.这S=②〔ⅰ〕当0＜≤2时，.∵，∴当=2时，S有最大值，最大值S=.〔ⅱ〕当2≤＜4时，∵，∴S随着的增大而减小.∴当=2时，S有最大值，最大值.综合〔ⅰ〕〔ⅱ〕，当=2时，S有最大值，最大值为.△PQA是等边三角形.③存在.当点Q在线段AB上运动时，要使得△PQA是直角三角形，必须使得∠PQA=90°，这时PA=2QA，即4-=2，∴.∴P、Q两点的坐标分别为P1(,0)，Q1(,).当点Q在线段BC上运动时，Q、P两点的横坐标分别为5-和，要使得△PQA是直角三角形，则必须5-=，∴∴P、Q两点的坐标分别为P2(,0)，Q2(,)4、〔1〕由图象可知公司从第4个月末以后开场扭亏为盈〔2〕由图象可知其顶点坐标为(2,-2)，故可设其函数关系式为：y=a(t-2)2-2.∵所求函数关系式的图象过(0,0)，于是得a(t-2)2-2=0，解得a=.∴所求函数关系式为：S=t-2)2-2或S=t2-2t.〔3〕把S=30代入S=t-2)2-2，得t-2)2-2=30解得t1=10，t2=-6〔舍去〕.EO1DBACP答：截止到10月末公司累积利润可达30万元.〔4〕把t=7代入关系式，得S=×72-2×7=10.5把t=8代入关系式，得S=×EO1DBACP16-10.5=5.5答：第8个月公司所获利是5.5万元.5、〔1〕∵抛物线顶点为F〔1,0〕∴∵该抛线经过点E〔0,1〕∴∴∴，即函数关系式为.〔2〕①∵A点的坐标为〔,0〕,AB=4，且点C、D在抛物线上，∴B、C、D点的坐标分别为(+4,0)，(+4,(+3)2)，(,(-1)2).∴.②∴当=-1时，四边形ABCD的最小面积为16此时AD=BC=AB=DC=4，四边形ABCD是正方形③当四边形ABCD的面积最小时，四边形ABCD是正方形，其对角线BD上存在点P,使得ΔPAE的周长最小.∵AE=4〔定值〕，∴要使ΔPAE的周长最小，只需PA+PE最小.∵此时四边形ABCD是正方形，点A与点C关于BD所在直线对称,∴由几何知识可知，P是直线CE与正方形ABCD对角线BD的交点.∵点E、B、C、D的坐标分别为〔1,0〕〔3,0〕〔3,4〕〔-1,4〕∴直线BD，EC的函数关系式分别为：y=-x+3,y=2x-2.∴P(,)在Rt△CEB中，CE=,∴△PAE的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+.6、解：〔1〕C〔2，－3〕∴直线AC的函数解析式是y=－x－1〔2〕设P点的横坐标为x〔－1≤x≤2〕则P、E的坐标分别为：P〔x，－x－1〕，〔1分〕E〔∵P点在E点的上方，PE=∴当时，PE的最大值=〔3〕存在4个这样的点F，分别是7、解：〔1〕∴〔2〕顶点M的坐标为过点M作MF轴于F∴=∴四边形AOCM的面积为10〔3〕①不存在DE∥OC∵假设DE∥OC，则点D、E应分别在线段OA、CA上，此时1<t<2,在Rt△AOC中，AC=5.设点E的坐标为∴，∴∵DE∥OC，∴∴∵>2，不满足1<t<2.∴不存在DE∥OC.②根据题意得D、E两点相遇的时间为〔秒〕现分情况讨论如下：ⅰ当0<≤1时，；ⅱ当1<≤2时，设点E的坐标为∴，∴∴ⅲ当2<<时，设点E的坐标为，类似ⅱ可得设点D的坐标为∴，∴=③10、〔1〕∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC.∵A(0,8),∴设D点坐标为(x1,8),代入中，得x1=±4.又∵D点在第一象限，ABCDOyxABCDOyxE〔2〕∵C(2,2)，D(4,8)，∴直线CD的函数关系式为y=3x-4.设点P在线段CD上，P(x2,y2)，∴y2=3x2-4.∵AD=BC=4,∴×4(8-y2)=7，∴y2=.∴3x2-4=，∴x2=.∴P(,),即当点P在(,)的位置时，△DAP的面积是7.〔3〕连接AC，当点E运动到AC的中点〔或AC与BD的交点〕时，即E点为ABCD的中心，其坐标为E〔1,5〕,直线OE将ABCD分成面积相等的两局部.设直线OE的函数关系式为y=kx,∴k=5，∴直线OE的函数关系式为y=5x.11、(1)根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).GH图12-2DEGH图12-2DEOxABCy解得.