武汉宏图艺考 函数的单调性、最值、函数的奇偶、周期性(三)

武汉宏图艺考武昌徐东大街岳家嘴东湖春树里小区4栋1单元2004室函数的单调性、最值、函数的奇偶、周期性（三）●知识梳理1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基1.下面四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）A.1 B.2 C.3 D.4解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.答案：A2.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是A.奇函数 B.偶函数C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3＋cx（a≠0）为奇函数.答案：A3.若偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是A.f（cosα）＞f（cosβ） B.f（sinα）＞f（cosβ）C.f（sinα）＞f（sinβ） D.f（cosα）＞f（sinβ）解析：∵偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，∴f（x）在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sinα＞cosβ＞0.∴f（sinα）＞f（cosβ）.答案：B4.已知f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a＝___________，b解析：定义域应关于原点对称，故有a－1＝－2a，得a＝.又对于所给解析式，要使f（－x）＝f（x）恒成立，应b＝0.答案：05.给定函数:①y=（x≠0）；②y=x2+1；③y=2x；④y=log2x；⑤y=log2（x+）.在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.答案：①⑤②③④●典例剖析【例1】已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则A.f（0）＜f（－1）＜f（2） B.f（－1）＜f（0）＜f（2）C.f（－1）＜f（2）＜f（0） D.f（2）＜f（－1）＜f（0）剖析：由f（x－2）在［0，2］上单调递减，∴f（x）在［－2，0］上单调递减.∵y=f（x）是偶函数，∴f（x）在［0，2］上单调递增.又f（－1）=f（1），故应选A.答案：A【例2】判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；（3）f（x）=；（4）f（x）=剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由得=，这时有f（－x）==－=－f（x），故f（x）为奇函数.（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函数f（x）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】（2005年北京东城区模拟题）函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x－6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围.（1）解：令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0.（2）证明：令x1=x2=－1，有f［（－1）×（－1）］=f（－1）+f（－1）.解得f（－1）=0.令x1=－1，x2=x，有f（－x）=f（－1）+f（x），∴f（－x）=f（x）.∴f（x）为偶函数.（3）解：f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（16×4）=f（16）+f（4）=3.∴f（3x+1）+f（2x－6）≤3即f［（3x+1）（2x－6）］≤f（64）.（*）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴（*）等价于不等式组或或或∴3＜x≤5或－≤x＜－或－＜x＜3.∴x的取值范围为{x|－≤x＜－或－＜x＜3或3＜x≤5}.评述：解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.深化拓展已知f（x）、g（x）都是奇函数，f（x）＞0的解集是（a2，b），g（x）＞0的解集是（，），＞a2，那么f（x）·g（x）＞0的解集是A.（，） B.（－b，－a2）C.（a2，）∪（－，－a2） D.（，b）∪（－b2，－a2）提示：f（x）·g（x）＞0或∴x∈（a2，）∪（－，－a2）.答案：C【例4】已知函数f（x）=x++m（p≠0）是奇函数.（1）求m的值.（2）（理）当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值.（文）若p＞1，当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值.解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（－x）=－f（x）.∴－x－+m=－x－－m.∴2m=0.∴m（2）（理）（ⅰ）当p＜0时，据定义可证明f（x）在［1，2］上为增函数.∴f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.（ⅱ）当p＞0时，据定义可证明f（x）在（0，］上是减函数，在［，+∞）上是增函数.①当＜1，即0＜p＜1时，f（x）在［1，2］上为增函数，∴f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.②当∈［1，2］时，f（x）在［1，p］上是减函数.在［p，2］上是增函数.