三角函数教案

1.1.1任意角教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：“转体，逆（顺）时针旋转”，角有大于角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点:理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点:终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想课前自主预习学法指导：认真阅读必修一课本2-5页，认真完成预习案，独立完成课内探究，牢记基础知识，掌握基本题型。如果有不会的问题再回去阅读课本。研究课本例题。【学习目标】1、理解任意角的概念，2、学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角.3、会表示象限角、坐标轴角及终边相同的角。一．任意角：任意角的概念：(1)、任意角的概念角可以看成平面内________绕着_____从一个位置_________到另一个位置所成的图形.(2)、正角、负角、和零角我们规定,按___________旋转形成的角叫做正角,按___________________旋转形成的角叫做负角如果一条射线____________________我们称它形成了一个零角.这样,零角的始边与终边________.如果α是零角,那么α=0°.问题探究1：当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？________________________________________________________(3)、象限角：为了讨论问题的方便,我们在直角坐标系内使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在_____________,我们就说这个角是第几象限角.如果角的终边在_____________就认为这个角不属于任何一个象限,称它为轴线角(或称为象限界角).问题探究2:若一个角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，当角的终边落在坐标轴上时，这种角是否是象限角？_____________________________________________________________________)终边相同的角：所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=________________},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与___________的和.注意:（1）；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.5、象限角的取值范：第一象限角:{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z};第二象限角:{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z};第三象限角:{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z};第四象限角:{α|k·360°+270°<α<k·360°+360°,k∈Z}6.轴线角的集合终边落在x轴的非负半轴上,角的集合为{x|x=k·360°,k∈Z};终边落在x轴的非正半轴上,角的集合为{x|x=k·360°+180°,k∈Z};终边落在x轴上,角的集合为{x|x=k·180°,k∈Z};终边落在y轴的非负半轴上,角的集合为{x|x=k·360°+90°,k∈Z};终边落在y轴的非正半轴上,角的集合为{x|x=k·360°+270°,k∈Z}或{x|x=k·360°-90°,k∈Z};终边落在y轴上,角的集合为{x|x=k·180°+90°,k∈Z}轴线角的表示形式并不唯一,也可以有其他的表示形式问题探究3:锐角，第一象限角，小于的角，的角有区别吗？__________________________________________________________________________________________________________________________________课堂互助探究探究一：终边相同的角及象限角【探究自测】将下列弧度与角度制进行互化：（1）=°；（2）－=°′；（3）=°；（4）36°=rad；（5）－105°=rad；（6）37°30′=rad；例2、若圆的半径是，则的圆心角所对的弧长是；所对扇形的面积是 .探究二：用弧度制表示角的集合例2、如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）．探究三：例3、（1）若圆的半径是，则的圆心角所对的弧长是；所对扇形的面积是 .1.2.1任意角三角函数（1）课前自主预习一、教学目标：1、知识与技能（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数（一）学法指导：认真阅读必修一课本11-15页，认真完成预习案，独立完成课内探究，牢记基础知识，掌握基本题型。如果有不会的问题再回去阅读课本。研究课本例题。【学习目标】掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义及在各象限的符号。1.任意角的三角函数的定义：（1）设是一个任意角，我们使角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，设它的终边上的任意一点（除原点外），它与原点的距离是在的终边上任取（异于原点的）一点（x,y）则P与原点的距离(2)比值叫做的正弦记作：比值叫做的余弦记作：比值叫做的正切记作：以上三种函数，统称为三角函数.注：突出探究的几个问题：①sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余几个符号也是这样.②比值只与角的大小有关，与点P在终边上的位置无关。③角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值④实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义适用=5\*GB3⑤三角函数是以“比值”为函数值的函数=6\*GB3⑥而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.3.终边相同的角的同名三角函数值间的关系（诱导公式一）Sin（2kπ+)=cos(2kπ+)=tan(2kπ+)=（k∈Z）问题探究：诱导公式一的作用是什么？课堂互动探究1.2.1任意角三角函数（2）课前自主预习学法指导：认真阅读必修一课本15-17页，认真完成预习案，独立完成课内探究，牢记基础知识，掌握基本题型。如果有不会的问题再回去阅读课本。研究课本例题。【学习目标】理解三角函数线的概念，会画正弦、余弦、正切线，并会运用它解决应用问题。三角函数线：我们已学过任意角的三角函数，给出了任意角的正弦，余弦，正切的定义。想一想能不能用几何元素表示三角函数值？（例如，能不能用线段表示三角函数值？）问题1：在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线段的比，那么，任意角的三角函数是否也可以看成是线段的比呢？问题2：在三角函数定义中，是否可以在角的终边上取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简单？问题3．有向线段，有向线段的数量，有向线段长度的概念如何。问题4．如何作正弦线、余弦线、正切线。当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。1．单位圆：的圆叫做单位圆。2．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向时为正，与坐标方向时为负。3．三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.（Ⅰ（Ⅰ）由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有，，．我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。说明：①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。课堂互助探究探究一：作三角函数线探究二：比较函数值的大小探究三：解不等式1.2.2同角三角函数的关系课前自主预习一、教学目标：1、知识与技能(1)使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式及的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.难点:根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义,推导同角三角函数的基本关系式:及,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想学法指导：认真阅读必修一课本18-20页，认真完成预习案，独立完成课内探究，牢记基础知识，掌握基本题型。如果有不会的问题再回去阅读课本。研究课本例题。【学习目标】运用同角三角函数的关系进行求值化简问题。同角三角函数基本关系（1）平方关系：（2）商数关系：（3）倒数关系：课堂互助探究探究一：已知角的一个三角函数值，求另外两个三角函数值探究二：三角齐次式求值自测：已知（1）求的值；（2）求的值自测：，求的值1.3三角函数诱导公式【学习目标】（1）学会三角函数的多组诱导公式，并能够熟练应用（2）体会诱导公式的推导过程，尤其是利用单位圆的对称性帮助推导的思想【课前导学】：(阅读书P23-P27并填空)一、终边相同的角：三角函数值相同公式一：_______________________二、利用原点，轴，轴的对称性1、回顾：在直角坐标系下，角的终边与圆心在原点的单位圆相交于，则，2、关于原点对称点特征：横坐标相反，纵坐标相反，对于角而言：角关于轴对称的角为_______公式二：____________________________3、关于轴的对称问题：横坐标相同，纵坐标相反，对于角而言：角关于轴对称的角为_______公式三：_______________