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文档简介
24.1.3弧、弦、圆心角
R·九年级上册
新课导入问题1:圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?问题2:把圆绕着圆心旋转一个任意角度,旋转之后的图形还能与原图形重合吗?这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理.
(1)知道圆是中心对称图形,并且具有任意旋转不变性.(2)知道什么样的角是圆心角,探究并得出弧、弦、圆心角的关系定理.(3)初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一些简单的问题.
推进新课圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?·圆是中心对称图形它的对称中心是圆心思考知识点1圆的旋转不变性及圆心角
圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角BA∠AOB为圆心角O·圆心角∠AOB所对的弦为AB,所对的弧为AB.⌒
判断下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由.【对应练习】
任意给圆心角,对应出现三个量:圆心角弦弧这三个量之间会有什么关系呢?BAO·探究知识点2弧、弦、圆心角之间的关系
如图,在⊙O中将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置,你能发现哪些等量关系?为什么?显然∠AOB=∠A'OB'
AB=A'B'AB=
A'B'⌒⌒BAA'B'●O探究
AB=A'B'AB=
A'B'⌒⌒如图,在等圆中,如果∠AOB=∠AO'B',你发现的等量关系是否依然成立?为什么?由∠AOB=∠AO'B'得到BA●OA'B'●O'探究
圆心角定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.AB=
A'B'⌒⌒∵∠AOB=∠AO'B'∴AB=A'B'ABO·A'B'
定理“在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.”中,可否把条件“在同圆或等圆中”去掉?为什么?··A'B'AB思考
同样,还可以得到:
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角_____,所对的弦________;在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角______,所对的弧_______.同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等.
①
圆心角弧③弦知一得二理解
如图,AB、CD是⊙O的两条弦.(1)如果AB=CD,那么
,
.(2)如果
,那么
,
.(3)如果∠AOB=∠COD,那么
,
.(4)如果AB=CD,OE⊥AB,OF⊥CD,OE与OF相等吗?为什么?OCDFABE【对应练习】∠AOB=∠CODAB=CD∠AOB=∠CODAB=CD相等.
如图,在⊙O中,AB=AC,∠ACB=60°,求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.证明:∴AB=AC.又∠ACB=60°,∴AB=BC=CA.∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.∵AB=AC,⌒⌒⌒⌒·ABCO例3
在同圆或等圆中,相等的圆心角,所对的弦的弦心距相等吗?①
圆心角②弧③弦④弦心距知一得三思考A'B'ABO·C'C
随堂演练基础巩固1.如图,AB是⊙O的直径,BC=CD=DE,∠AOE=72°,则∠COD的度数是()A.36°B.72°C.108°D.48°2.如图,已知AB是⊙O的直径,C、D是半圆上两个三等分点,则∠COD=
.A60°⌒⌒⌒
3.如图,在⊙O中,点C是AB的中点,∠A=50°,则∠BOC=
.40°⌒
4.如图,在⊙O中,AB=AC,∠C=75°,求∠A的度数.解:∵AB=AC,∴AB=AC.∴∠B=∠C=75°,∴∠A=180°-∠B-∠C=30°.⌒⌒⌒⌒
5.如图,在⊙O中,AD=BC,求证:AB=CD.证明:∵AD=BC.∴AD=BC.∴AD+AC=BC+AC,即CD=AB.∴AB=CD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒
6.如图,A,B是⊙O上的两点,∠AOB=120°,C是AB的中点,求证:四边形OACB是菱形.综合应用⌒
证明:∵C是AB的中点,∴AC=BC,∴AC=BC,∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°.又∵OA=OC=OB,∴△AOC与△BOC是等边三角形.∴∠A=60°.又∠AOB=120°,∴AC∥OB.∵AC=OC=OB,∴四边形OACB是平行四边形.又OA=AC,∴四边形OACB是菱形.⌒⌒⌒
7.如图,在⊙O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD.(1)求证:△AEC≌△DEB;(2)点B与点C关于直线OE对称吗?试说明理由.拓展延伸
(1)证明:连接AD.∵AB=CD,∴AB=CD.
∴AB-AD=CD-AD.即BD=AC.∴BD=AC.在△ADB和△DAC中,∴△ADB≌△DAC(SSS).∴∠ABD=∠DCA.在△AEC和△DEB中,∠DCA=∠ABD,∠AEC=∠DEB,AC=BD,∴△AEC≌△DEB(AAS).⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒
(2)解:对称.理由:连接OB、OC.则OB=OC.由(1)知BE=CE,连接BC,则OE
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