计数原理章末复习提升课件

第一章

计数原理章末复习提升栏目索引知识网络整体构建要点归纳主干梳理题型探究重点突破知识网络整体构建返

要点归纳主干梳理1.两个计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之分解，达到求解的目的.正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原理的关键.2.排列与组合排列数与组合数计算公式主要应用于求值和证明恒等式，其中求值问题应用连乘的形式，证明恒等式应用阶乘的形式，在证明恒等式时，要注意观察恒等式左右两边的形式，基本遵循由繁到简的原则，有时也会从两边向中间靠拢.对于应用题，则首先要分清是否有序，即是排列问题还是组合问题.3.二项式定理(1)与二项式定理有关：包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式；返

题型探究重点突破题型一排列与组合的应用在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题，而解决问题的第一步是审题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题、组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步.解决排列组合应用题的常用方法：(1)合理分类，准确分步；

(2)特殊优先，一般在后；

(3)先取后排，间接排除；

(4)相邻捆绑，间隔插空；

(5)抽象问题，构造模型；

(6)均分除序，定序除序.例1

6个女学生(其中有1个领唱)和2个男学生分成两排表演.(1)若每排4人，共有多少种不同的排法？解

要完成这件事分三步.解析答案(2)领唱站在前排，男学生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？解析答案跟踪训练

1

7

名师生站成一排照相留念，其中老师生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？(1)两个女生必须相邻而站；解

∵两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看做一个元素，则共有6个元素进行全排列，1

人，男生

4

人解析答案(2)4名男生互不相邻；解

∵4名男生互不相邻，∴应用插空法，解析答案(3)老师不站中间，女生甲不站左端.当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法，根据分类加法计数原理知共有720＋3000＝3720种站法.解析答案题型二二项式定理的应用对于二项式定理的考查常有两类问题：第一类，直接运用通项公式求特定项或解决与系数有关的问题；第二类，需运用转化思想化归为二项式定理来处理的问题.A.－1B.0C.1D.2两式相乘，得所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(－4＋3)4＝1.C解析答案(2)若(3x2－2x＋1)5＝a10x10＋a9x9＋a8x8＋…＋a1x＋a0(x∈C)，求①(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2；解

令x＝1，得a0＋a1＋…＋a10＝25；令x＝－1，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝65.两式相乘，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝25×65＝125.解析答案②－a2＋a4－a6＋a8－a10.解

令x＝i，得－a10＋a9·i＋a8－a7·i－a6＋a5·i＋a4－a3·i－a2＋a1·i＋a0＝(－2－2i)5＝－25(1＋i)5＝－25[(1＋i)2]2(1＋i)＝128＋128i.

整理得，(－a10＋a8－a6＋a4－a2＋a0)＋(a9－a7＋a5－a3＋a1)·i＝128＋128i，故－a10＋a8－a6＋a4－a2＋a0＝128.因为a0＝1，所以－a10＋a8－a6＋a4－a2＝127.解析答案(1)求含有x3的项；解

已知展开式中倒数第三项的系数为45，通项(0≤k≤10，k∈N)，解析答案(2)求系数最大的项.∴系数最大项是第六项，解析答案题型三分类讨论思想当计数问题过于复杂或限制条件较多时，一般采取分类讨论的方法解决，即对计数问题中的各种情况进行分类，然后针对每一类分别研究和求解.分类的原则是不重复、不遗漏.例

3

(1)

从编号为

1,2,3

，

…

，球的编号之和为奇数，其取法总数为(

A

)10,11

的

11

个球中，取出

5A.236

B.328

C.462 D.2

640解析

以取出的编号为奇数的球的个数进行分类.根据分类加法计数原理，共有30＋200＋6＝236(种)取法.解析答案(2)将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个球，若甲球必须放入第1个盒子中，则不同的方法种数是(

)A.120

B.72

C.60

D.36解析答案跟踪训练

3

某台小型晚会由

6

个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(

)A.36种

B.42种

C.48种

D.54种解析答案题型四正难则反思想正难则反即是一种手段，又是一种策略.有许多计数问题，应用正难则反思想求解，常能事半功倍.在解题时，当正向思维受阻时，不妨改变思维方向，从结论或条件的反面进行思考，从而使问题得到解决.例4现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，不同的取法种数为()A.484

B.472

C.252

D.232解析答案跟踪训练

4

若把英语单词“

good

”

的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有

11

种.解析

把g、o、o、d4个字母排一列，可分两步进行，解析答案题型五 化归与转化思想通过观察、类比、联想等过程，选择恰当的模型把未知问题、疑难问题转化为熟悉的、简单的问题来解决，这就是化归与转化思想.*例

5

已知

x

＋

y

＋

z

＋

m

＝

50(

x

，

y

，

z

，

m

∈

N

)

，.1

＋1

＋…＋1

，题中求方程的正整数解相当于把分配到4个位置上，x，y，z，m的值分别对应4个位置上“1”的个数.由于这些“1”完全相同，又因为x，y，z，m∈N*，相当于每一个位置上至少有一个“1”，因此可转化为计数问题来解决.即这个方程的正整数解的组数为18424.组数为

18

424解析

50

＝解析答案跟踪训练5

5封信投入5个信箱中.(1)只有一个信箱是空的，有多少种不同的投法？解析答案(2)有两个信箱里各投两封信，共有多少种不同的投法？解析答案题型六方程思想方程思想，即对于一个问题，用建立方程的方法去解决的一种思想.具体方法是通过分析问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、研究、解决问题.例

6

袋中装有带有编号的红球和白球共

16

个，现从中任取

2

球，若出的2球是同色的取法和取出的2球是异色的取法相等，则取出2球都是红球的取法有多少种？解析答案