交换代数s中的方程1,1,2

交换代数s中的方程1,1,2

1/不同时,交换代数s中的元素1.1在交换代数s中，定义了s，os是交换代数s的单位元和零元。当s有s，a.2，b.0s（a，b，c，a.0）时，它被称为s中的第一个二乘方程ax、bx和cis=0s（1）的根。记Δ=b2-4ac,则有①当Δ>0时,记χ=√b2-4ac2aγ-b2aΙsχ=b2−4ac√2aγ−b2aIs,方程(1)转化为γ2=Is;(2)②当Δ<0时,记χ=√4ac-b22aγ-b2aΙsχ=4ac−b2√2aγ−b2aIs,方程(1)转化为γ2=-Is;(3)③当Δ=0时,记χ=γ-b2aΙsχ=γ−b2aIs,方程(1)转化为γ2=Os。(4)于是,考察方程(1)在S中的根,可转化为考察方程(2)或(3)或(4)中的根。定义1.2在交换代数S中,满足方程(2)、(3)、(4)的元素,依次称为S中的自逆元、反自逆元、自共轭零因子。记S中的自逆元集、反自逆元集、自共轭零因子集依次为U、V、W于是,方程(1)在S中的根,可转化为求S中的自逆元集U,或反自逆元集V,或自共轭零因子集W。2为0时,s评分的bb,有非零莎2avb,v2avb,v2avb,v2avb及vb.v2avb的2a+2avb的2a+3av2a及ba2av2a的2av2a及ba2av2a及ba2av2a及ba2av2a及ba2av2a2av2a及ba2av2a及ba2av2a的2av2a及v2av2a及v2av2a定理2.1在交换代数S中,若υ∈U,v∈V,ω∈W;则-υ∈U,-v∈V,-ω∈W。定理2.2交换代数S中一元二次方程aχ2+bχ+cIs=0s的根为:①当Δ>0时,χ=-bΙs+√b2-4ac⋅υ2a(υ∈U)χ=−bIs+b2−4ac√⋅υ2a(υ∈U);②当Δ<0时,χ=-bΙs+√4ac-b2⋅υ2a(v∈V)χ=−bIs+4ac−b2√⋅υ2a(v∈V);③当Δ=0时,χ=-bΙs2a+ω(ω∈W).χ=−bIs2a+ω(ω∈W).定理2.3若S中有非零幂零元,则当Δ=0时,方程(1)在S中有无穷多根.定理2.4若α1∈S是(1)在S中的根,则存在α2∈S,使得α1+α2=-baΙs‚α1⋅α2=caΙs.α1+α2=−baIs‚α1⋅α2=caIs.定理2.5若方程(1)在S中的解集J={χ1,χ2,……χn}为有限集,则有①J中元素个数n为偶数(重根按重数计);②n∑i=1χi=n2(-ba)Ιs②∑i=1nχi=n2(−ba)Is;③n∏i=1χi=(ca)n2Ιs.③∏i=1nχi=(ca)n2Is.3为2a+2a2a定理2.1证明从略.定理2.2之证明①当Δ=b2-4ac>0时候,若χ=-bΙs+√b2-4ac⋅υ2a(υ∈U)χ=−bIs+b2−4ac√⋅υ2a(υ∈U),则有υ=2a√b2-4ac(χ+b2aΙs)因υ2∈U,所以υ2=[2a√b2-4ac(χ+b2aΙs)]2=Ιs得aχ2+bχ+cIs=0s,即χ是方程(1)的一根;反之,设χ∈S是方程(1)的一个根,则γ=2a√b2-4ac(χ+b2aΙs)是方程(2)的一个根,即γ2=4a2b2-4ac(χ+b2aΙs)2=Ιs于是γ=2a√b2-4ac(χ+b2aΙs)=υ(υ∈U)即χ=-bΙs+√b2-4ac⋅υ2a(υ∈U)仿此可证明定理2.2之②、③成立。定理2.3之证明设α≠0s是S中的幂零元,幂零指数为T(T≥2),即αT=0s。令β=α[Τ+12]([Τ+12]为Τ+12整数部分),则二阶幂零元β∈W,显然β≠0s。从而,无穷集合χ={-b2aΙs+λβ|λ∈C}中的每一元素均为方程(1)在S中的根。定理2.4之证明当Δ>0时,由定理2.2,不妨设α1=-b2aΙs+√b2-4ac2a⋅v‚(v∈V),由定理2.1知,v∈V,则-v∈V.令α2=-b2aΙs+√b2-4ac2a(-v)。于是有α1+α2=-baΙs‚α1⋅α2=caΙs。仿此可证明Δ<0及Δ=0时结论成立。定理2.5之证明①由定理2.4之证明不难知结论成立;②令n=2k(k∈Z+),由定理2.4不失一般性,将J中元素次序重排为J={χ′1,χ′2,……,χ′k,χ′k+1,……,χ′2k}。使得χ′i+χ′k+i=-baΙs‚χ′i⋅χ′k+i=caΙs(i=1‚2‚⋯⋯‚k),于是有n∑i=1χi=2k∑i=1χ′i=k∑i=1(χ′i+χ′k+i)=k(-ba)Ιs=n2(-ba)Ιs且n∏i=1χi=2k∏i=1χ′i=k∏i=1(χ′i‚χ′k+i)=(ca)kΙs=(ca)n2Ιs.于是③成立。特别地,J中只有两个元素时,定理2.5即为通常的韦达定理。4反自逆元集和二阶复方向设为二阶复方阵代数的子代数,求二次方程aχ2+bχ+cIs=0s(a,b,c∈R,且a≠0)在S中的根。U={(1001)‚(-100-1)‚(100-1)‚(-1001)}反自逆元集V={(i00i)‚(-i00i)‚(i00-i)‚(-i00-i)}自共轭零因子集,于是①当Δ>0时,二次方程(1)在S中有4个根:②当Δ<0时,二次方程(1)在S中有4个根:χ1‚2=-b2a(