如何上好《近现代代数》这门课

如何上好《近现代代数》这门课

现代史是一门相对抽象的学科。如果学生没有具备抽象思维能力，那么学习现代史是困难的。在以往的教学过程中有很多不良现象,例如:上课互相说话、看手机、精神不集中、不认真听讲等现象。这都是因为近世代数太抽象不容易理解,上课听不进去,也学不会。作为任课教师有义务探索更有效的教学方式帮助同学们学习和掌握相关知识。下面谈一下我们在《近世代数》课程教学中所采用的举例法、比较法及图像法等启发式教学方法。1从零到零的关系到培养学生的能力近世代数研究的对象是集合,如果我们对集合赋予某种代数运算就像赋予了生命一样,元素和元素之间建立了某种关系。这好比小学生学习自然数,给自然数集定义加减法运算,自然数和自然数之间就建立了关系。群里面经常讨论单位元,逆元的问题,而单位元和逆元具有自然数1和倒数的性质。单位元乘任何元都等于元本身,一个元与它逆元的乘积是单位元,这样看来单位元和自然数1很相似,而逆元和倒数很相似。通过引入这种简单的例子,同学们对于代数运算,单位元、逆元等概念就会有更深的认识。环里面经常讨论零元的问题,零元又和我们熟知的数0很相似,任何元乘零元还等于零元,任何元加零元还等于元本身。讲集合的分类时可以先对班级的同学们进行分类,那么同学们很自然想到按性别分类或者按身高分类,按性别分类可以分成男同学一类女同学一类,分到同一类的同学元之间都有性别相同的关系。按身高分类可以分四类,160cm以下、160~170cm、170~180cm、180cm以上等。然而分到同一类的同学身高都在同一个范围之内了。同学们会从这些简单的例子得到启发很容易理解集合的分类与等价关系之间的联系。有了集合的某种关系就会有元素和元素之间的等价关系。有了某种等价关系就会决定集合的某种分类。零因子的概念对于初学者也是一个难点,两个非零矩阵的乘积有可能等于零矩阵,但两个非零数的乘积就永远不会等于零了,零因子的性质犹如矩阵的性质,两个非零元的乘积等于零元,那么一个是左零因子,一个是右零因子。整数环是一个最简单的整环,整数集对于乘法运算来讲可以交换的,有单位元没有零因子,从而整环的定义就会又好记又好掌握了。讲单射、满射、双射时同学们往往举一些有限集合上的映射,可以举一些简单的无限集上的映射,使同学们从有限集过渡到无限集,思维慢慢变得越来越开阔,理解并解决问题的能力会越来越强。从以上多个问题的分析可知,同学们会从简单的例子得到启发,能够更好地掌握相关的知识。2变换群、置换群的概念“同构”和“同态”两个概念同学们就很容易混淆。“同构”和“同态”的不同点是“同构”的映射是双射,但“同态”的映射可以不是单射也可以不是满射,所以“同构”的条件比“同态”要强很多。两个代数体系如果是同构的,则这两个代数体系所含有的代数性质是完全一样的。两个代数体系如果是同态的,则这两个代数体系的代数性质很相似但不会完全一样。“变换群”和“置换群”的概念也是近世代数教学中的一个难点。在某种意义上来说置换群就是变换群,只是置换群的集合是有限集,置换群的元素可以一一列出来,变换群的集合没有限制,可以是无限集也可以是有限集,所有变换群中的相关的结论都可以平移到置换群中去。整环和除环也是近世代数中重点掌握的内容,它们既有相同的性质也有不同的性质,根据定义我们可以进行分析,其实整环和除环都是无零因子环,具有单位元的环。但整环是可以交换的环,除环不一定交换的,除环的每个非零元均是可逆元,但整环中的元不一定有逆元。我们通过比较整环和除环的性质同学们很容易得到启发,就不再混淆这两个重要的概念了。下面我们讨论群和环的两个概念,群是含有一种运算的代数体系,有单位元又有逆元。环是含有两种不同的代数运算的代数体系,对于加法运算作成群,对于乘法运算只是半群,所以环的定义是在群的定义的基础之上的,为了区别于加法和乘法的两种运算的单位元和逆元,对于加法运算的单位元叫作零元,逆元叫作负元。通过比较我们知道了群与环的区别与联系,抽象的概念变得很容易理解。3注意不同解决条件的结果4掌握集群和链的内容定义和研究方法“即使是s，也需要扩展其他s6关于群论的内容从多年的实践教学经验来看,如何用简单易懂的方法讲解《近世代数》是我们面临的一个难题。对于定义以及定理尽可能举一些简单的例子进行说明;通过比较概念之间的区别与联系使抽象的概念变得清晰不易混淆;认真观察定理条件的增减化而得到的不同的结论;通过讨论群的内容设置和研究方法掌握环的内容设置和研究方法;最后通过简单的图形直观地挖掘定理的内在结构和含义。讲授《近世代数》课程。我们采用启发式教学方法,取得了比较好的教学效果。除了以上谈到的启发式教学方法以外,一定还有很多更好的教学方法,等待我们在实践教学中不断探索研究。群论的第一节内容就是群的定义,环的第一节也是环的定义。群里面有特殊元素的介绍,比如单位元、逆元等。而环中也介绍了单位元、零元、逆元等概念。群论中讲了一些特殊类型的群。比如说变换群、置换群、循环群。同样环中也介绍了整环、无零因子环、除环、多项式环、域等特殊类型的环。群论中有子群、子群的判定方法,不变子群以及不变子群的判定方法。环中有子环,子环的判定方法,理想以及理想的判定方法。群中因为有了子群的陪集从而引入了商群。环中因为有了理想而引入了剩余类环。群论中有很多关于同态的结论,比如,一个群同它的每一个商群同态,假定G和G是两个群,并且G和G同态,那么,这个同态满射的核N是G的一个不变子群,G的单位元e在同态满射φ之下的所有逆象作成的集合叫做同态满射的核。不难发现,环中有很多类似的结论。若R同R是两个环,并且R与R同态,那么,这个同态满射的核N是R的一个理想。R的零元ue0c9在同态满射φ之下的所有逆象作成的集合叫做同态满射的核。5结合图形直观地挖掘定理的内在结构和含义任取出G的一个非空子集S,它未必能构成子群仔细分析,不能构成群的本质原因是不够元素,但应添加什么元素呢?———添加那些S应具备,但没具备的元素。将那些应添加的元素做成的集合我们用图1来表示,则很容易理解生成子群的内