半群的极大逆子半群

半群的极大逆子半群

在半组研究中，对半组大子半组的结构和分类一直是一个非常活跃的主题之一。自20世纪70年代以来，许多科学家研究了具有特定性质的半组的大子半组[1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11]。在文献中，我们得到了有限组变换组和部分组变换组的所有理想的最大组转换组。在文献中，伟大的逆子半群的特征是有限保护序列的严格部分。在这项工作中，我们进一步研究了oin的理想逆子半群结构。最近，文献中得到了由各种保护序列（反保护序列）变换半组的结构和一般正子半组的结构。设Xn={1,2,…,n}并赋予自然序,Pn是Xn上的部分变换半群.对α∈Pn,若对任意x,y∈dom(α),x≤y可推出xα≤yα(xα≥yα),则称α是保序的(反保序的).设POn和PODn分别为Pn中的所有保序变换之集和所有保序(反保序)变换之集,则POn和PODn是Pn的子半群,称POn和PODn分别为部分保序变换半群和部分保序(反保序)变换半群.在半群PODn中的Green关系刻画为:对任意α,β∈PODn,αLβ当且仅当im(α)=im(β),αRβ当且仅当ker(α)=ker(β),αDβ当且仅当|im(α)|=|im(β)|,D=J.设J0为空变换所构成的集合.对1≤r≤n,记Jr={α∈PODn:|im(α)|=r},则PODn有n+1个J-类:J0,J1,…,Jn.令Ir={α∈PODn:|im(α)|≤r},则Ιr=r∪i=0JiIr=∪i=0rJi,且I0⊂I1⊂…⊂In-1⊂In=PODn为理想链.PODn的每一个主因子是一个Rees商半群Ir/Ir-1,记为Qr.为方便起见,可把Qr看成Jr∪{0},即Qr=Jr∪{0},其乘法定义为:如果αβ∈Jr,α·β=αβ;否则,α·β=0.Qr对乘法作成一个完全0-单半群.关于完全0-单半群,有下述两个熟知的事实:引理1设x,y是完全0-单半群中两个非零元,则xy≠0当且仅当Lx∩Ry中含有幂等元.此时,xy∈Ly∩Rx.引理2设S是一个完全0-单半群,x,y是完全0-单半群中的两个非零元,则当Lx∩Ry中含有幂等元时,xRy=Rx,Lxy=Ly,LxRy=S;否则,xRy=Lxy=LxRy={0}.定义1对2≤r≤n-1,设S是半群Ir的子半群,若S满足:1)S是Ir的正则子半群;2)若T是Ir的正则子半群,且S⊂T,则T=Ir.则称S是Ir的极大正则子半群.引理3设1≤r≤n-1,Ir是PODn的理想,则Ir是正则的.证据文献知,PODn是正则半群.下证Ir也是正则的,设x∈Ir,则由PODn的正则性可得,存在y∈PODn,使得x=xyx且y=yxy,于是由x∈Ir及Ir是理想可得,y=yxy∈Ir,从而y是x在Ir中的逆元.因此Ir是正则的.引理4设2≤r≤n-1,α∈Jr,则|E(Lα)|≥2且|E(Rα)|≥1.证设α=(A1A2⋯Ara1a2⋯ar)α=(A1a1A2a2⋯⋯Arar)其中a1<a2<…<ar.令B1={1,…,a1},Bi={ai-1+1,…,ai}(i=2,…,r-1),Br={ar,…,n},xi=maxAi(i∈{1,2,…,r}).设e=(B1⋯Bra1⋯ar)‚f=(aiai)‚g=(Aixi)(i=1‚2‚⋯‚r).则e,f,g∈E(Jr).由im(e)=im(f)=im(α),ker(g)=ker(α)可得:eLfLαRg.因此,|E(Lα)|≥2且|E(Rα)|≥1.引理5设2≤r≤n-1,α∈Jr,则存在α的逆元α1,α2,使得(α1,α2)∉R且α1,α2∈Jr.证由引理4可知,|E(Rα)|≥1且|E(Lα)|≥2.设e1,e2∈E(Lα),e1≠e2,f∈E(Rα),则(e1,e2)∉R(否则,e1,e2∈Hα,与每个H-类至多包含一个幂等元矛盾(见文献的推论2.2.6)).注意到eiLαRf(i=1,2),由文献的定理2.18可得,Re1∩Lf和Re2∩Lf都包含α的逆元.不妨分别设为α1,α2,则eiRαi(i=1,2),从而(α1,α2)∉R.由αiReiLα可知,αiJα,从而|im(αi)|=|im(α)|=r.因此αi∈Jr.引理6设2≤r≤n-1,α∈Jr,则Aα=Ir-1∪(Jr\Rα)是Ir的极大正则子半群.证首先,证明Aα是Ir的子半群.由引理1知,对任意β,γ∈Jr\Rα,有βγRβ或βγ∈Ir-1.因此,Aα是Ir的子半群.其次,证明Aα是Ir的正则子半群.任意取β∈Aα.(i)β∈Ir-1,由引理3知,Ir-1是正则的,于是Ir-1中存在β的逆元,从而β在Aα中存在逆元;(ii)β∈Jr\Rα,则由引理5知,存在β的逆元β1,β2,使得(β1,β2)∉R且β1,β2∈Jr,从而β1,β2中至少有一个属于Aα.因此β是正则的.Aα是Ir的正则子半群得证.最后,证明Aα是极大正则子半群.设T是Ir的正则子半群且Aα⊂T,任意取β∈T\Aα,则β∈Rα.由引理4知,|E(Lβ)|≥2,于是存在e∈E(Jr)∩Lβ,使得e∉Rα,从而Re⊆Aα⊂T.由引理2可得,Rα=Rβ=βRe⊂T.因此,T=Ir.至此引理6得证.设PDn为Pn中的所有反保序变换之集.显然PODn=POn∪PDn.对0≤r≤n,设ΙΡΟnr=Ιr∩ΡΟnJΡΟnr=Jr∩ΡΟnΙΡDnr=Ιr∩ΡDnJΡDnr=Jr∩ΡDn则Ir=IΡΟnr∪IΡDnr且Jr=JΡΟnr∪JΡDnr.注1据文献知,关于半群PODn有如下事实:1)J0=JΡΟn0,J1=JΡΟn1;2)对任意α∈PODn有|Hα|=2,此时,|POn∩Hα|=|PDn∩Hα|=1;3)对任意α,β∈PODn,如果α∈POn,β∈PDn,则αβ∈PDn;4)E(POn)=E(PODn).由4)易得,E(IΡΟnr)=E(Ir)且E(JΡΟnr)=E(Jr).引理7设2≤r≤n-1,对任意γ∈JΡDnr,有Jr⊆〈E(Jr)∪{γ}〉.证由引理4知,|E(Lγ)|≥2且|E(Rγ)|≥1.由E(JΡΟnr)=E(Jr)知γ∉E(Jr),取e∈E(Jr)∩Lγ,f∈E(Jr)∩Rγ,则e≠f.设β∈Re∩Lf∩POn,则由引理1可得,βγ∈Rβ∩Lγ且γβ∈Lγ∩Rβ(因为f∈Rγ∩Lβ且e∈Lγ∩Rβ).由注1及β∈POn,γ∈PDn可得,βγ,γβ∈JΡDnr.因为e∈E(Jr)∩Lγ∩Rβ,f∈E(Jr)∩Rγ∩Lβ且Rβ∩POn⊆JΡΟnr,Lβ∩POn⊆JΡΟnr,由引理2可得Rγ=γRβLγ=LβγLβ=Lγβ从而由注1及文献的定理3.2可得,Rγ∩ΡDn=γ(Rβ∩ΡΟn)⊆γΙΡΟnr⊆γ〈E(JΡΟnr)〉⊆〈E(Jr)∪{γ}〉(1)Lγ∩ΡDn=(Lβ∩ΡΟn)γ⊆ΙΡΟnrγ⊆〈E(JΡΟnr)〉γ⊆〈E(Jr)∪{γ}〉Lβ∩ΡDn=(Lγ∩ΡDn)β⊆〈E(Jr)∪{γ}〉〈E(Jr)〉⊆〈E(Jr)∪{γ}〉(2)再由注1及文献的定理3.2有Rγ∩ΡΟn⊆ΙΡΟnr⊆〈E(Jr)〉⊆〈E(Jr)∪{γ}〉Lβ∩ΡΟn⊆ΙΡΟnr⊆〈E(Jr)〉⊆〈E(Jr)∪{γ}〉(3)注意到Rγ=(Rγ∩PDn)∪(Rγ∩POn),Lβ=(Lβ∩PDn)∪(Lβ∩POn).由(1),(2),(3)式可得,RγLβ⊆〈E(Jr)∪{γ}〉.注意到e∈E(Jr)∩Lγ∩Rβ,再由引理2可得Jr=RγLβ⊆〈E(Jr)∪{γ}〉.引理8设2≤r≤n-1,S是Ir的子半群且Jr⊆S,则S=Ir.证由Jr⊆S可知,E(Jr)⊆S,从而由注1及文献的定理3.2可得ΙΡΟnr=〈E(Jr)〉⊆S(4)进而,由注1可得E(Ji)=E(JΡΟni)⊆ΙΡΟnr⊆Si=1‚2‚⋯‚r(5)令α=(12⋯r-1rrr-1⋯21)βi=(12⋯i-1i12⋯i-1i)i=2‚3‚⋯‚r‚则α∈JΡDnr,βi∈E(Ji).由Jr⊆S及(5)式可得,α,βi∈S,从而γi=βiα∈S且γi=(12⋯i-1irr-1⋯r-i+2r-i+1)∈JΡDni进而,由(5)式及引理7可得Ji⊆〈E(Ji)∪{γi}〉⊆Si=2‚3‚⋯‚r(6)注意到Ir=J1∪J2∪…∪Jr及J0,J1=JΡΟn1⊆IΡΟnr(见注1).由S⊆Ir及(4),(6)式可得,S=Ir.注2由引理8易得结论:设2≤r≤n-1,对任意γ∈JΡDnr,有Jr=〈E(Jr)∪{γ}〉.引理9设2≤r≤n-1,则B=Ir-1∪JΡΟnr是Ir的极大正则子半群.证对任意β,γ∈JΡΟnr,由引理2知,βγ∈JΡΟnr⊆Jr或βγ∈Ir-1.因此,B是Ir的子半群.注意到B=Ir-1∪JΡΟnr=Ir-1∪IΡΟnr.由引理3知,Ir-1和IΡΟnr都是正则的,从而B是正则的.因此B是Ir的正则子半群.设T是Ir的正则子半群且B⊂T,则Ir-1⊆T.任意取γ∈T\B,则γ∈JΡDnr.注意到JΡΟnr⊆T(因为B⊆T且E(Jr)=E(JΡΟnr)(见注1)).由引理7及注1可得,Jr⊆〈E(Jr)∪{γ}〉=〈E(JΡΟnr)∪{γ}〉⊆〈JΡΟnr∪{γ}〉⊆T,从而T=Ir.因此B是Ir的极大正则子半群.本文的主要结果为:定理1设2≤r≤n-1,则Ir的极大正则子半群有且仅有如下两类:(A)Aα=Ir-1∪(Jr\Rα)(α∈Jr);(B)B=Ir-1∪JΡΟnr.证设A1,A2,…,Am是Xn的所有基数为r的子集,其中m=Cnr.记R(Ai)={α∈Jr∶dom(α)=Ai}其中i=1,2,…,m,则R(A1),R(A2),…,R(Am)是Jr的一些互不相同的R-类.对任意j∈{1,2,…,m},显然有|E(R(Aj))|=1.我们用ej表示R-类R(Aj)中唯一的幂等元(事实上,ej是Aj上的恒等变换).由引理6、引理9可知,Aα和B是Ir的正则子半群.我们将用反证法证明Ir的极大正则子半群仅有定理1中的形式.假设S是Ir的极大正则子半群且不是定理1中的形式,则S∩Rα≠∅α∈Jr(7)S∩JΡDnr≠∅(8)否则,存在α∈Jr,使得Rα⊆Jr\S或JΡDnr⊆Jr\S,于是Aα或B是Ir的包含S的正则子半群,由S的极大性可得,S=Aα或S=B,与S不是定理1中的形式矛盾.我们断言S∩Lα≠∅α∈Jr(9)事实上,如果存在α∈Jr,使得Lα⊆Jr\S.设im(α)=Ai,考察R-类R(Ai)中唯一的幂等元ei,则ei∈E(R(Ai))∩Lα,于是ei∉S,从而S∩Rei=∅(否则,由S的正则性及文献的命题2.3.1和2.3.2可推出:R(Ai)中唯一的幂等元ei属于S),与条件(7)矛盾.我们将证明E(Jr)⊆E(S).假设E(Jr)\E(S)≠∅.任意取e∈E(Jr)\E(S)⊆Jr.由条件(7)及(9)可知,S∩Le≠∅,S∩Re≠∅.任意取β∈S∩Le,γ∈S∩Re,由文献的命题2.3.1和2.3.2及S的正则性可得:Lβ∩E(S)≠∅,Rγ∩E(S)≠∅.进而存在f∈E(S)∩Lβ=E(S)∩Le,g∈E(S)∩Rγ=E(S)∩Re,使得f,g∉He