一类具有群的代数运算非空集合

一类具有群的代数运算非空集合

1cg均有a/a的逆合关系,存在型法定义1和g是定义阶乘佛教代理算术的非空集合，其中定义了所谓的算法，（1）阶乘佛教的封闭。即坌a,b∈G都有ab∈G.(2)乘法满足结合律。即坌a,b,c∈G都有a(bc)=(ab)c.(3)坌a,b∈G方程:ax=b与ya=b在G中有解。则称G关于所给乘法构成一个群。定义2设G为一个定义了一种称为乘法的代数运算的非空集合,且满足:(1)乘法封闭。即坌a,b∈G都有ab∈G.(2)乘法满足结合律。即坌a,b,c∈G都有a(bc)=(ab)c(3)G中存在左单位元.即存在e∈G使得坌a∈G都有ea=a.(4)G中每一个元都存在左逆元。即坌a∈G都有a/∈G使得a/a=e.则称G关于所给乘法构成一个群.定义3设G为一个定义了一种称为乘法的代数运算的非空集合,且满足:(1)乘法封闭。即坌a,b∈G都有ab∈G.(2)乘法满足结合律。即坌a,b,c∈G都有a(bc)=(ab)c(3)G中存在右单位元。即存在e∈G使得坌a∈G都有ae=a.(4)G中每一个元都存在右逆元。即坌a∈G都有a/G使得aa/=e..则称G关于所给乘法构成一个群。定义4设G为一个定义了一种称为乘法的代数运算的非空集合,且满足:(1)乘法封闭。即坌a,b∈G都有ab∈G.(2)乘法满足结合律。即坌a,b,c∈G都有a(bc)=(ab)c(3)G中存在单位元。即存在e∈G使得坌a∈G都有ea=ae=a(4)G中每一个元都存在逆元。即坌a∈G都有a/∈G使得aa/=a/a=e.则称G关于所给乘法构成一个群。定义5设G为一个定义了一种称为乘法的代数运算的非空有限集合,且满足:(1)乘法封闭.即坌a,b∈G都有ab∈G.(2)乘法满足结合律。即坌a,b,c∈G都有a(bc)=(ab)c(3)乘法满足消去律。即若ax=ay就有x=y;若xa=ya就有x=y.则称G关于所给乘法构成一个群.2单位元证:由定义1圯定义4。由定义4知定义1中(1),(2)成立。下面来证定义1中(3)也成立。事定上,坌a,b,∈G由定义4中(4)知存在a/∈G使得aa/=a/a=e.取x=a/b由定义4中(1)x∈G且ax=a(a/b)=(aa/)b=eb=b.ax=b在G中有解x=a/b同理可证ya=b在G中有解y=ba/.故由定义推出定义1。下面再证定义1推出定义4.由定义1知定义4中(1),(2)成立.下面来证定义4中的(3),(4)两条成立.事实上,设b∈G由定义1中(3)知方程xb=b在G中有解,设其解为x=e,即eb=b.下证e为G的单位元,即证坌a∈G都有ea=ae=a.因由定义1中(3)方程bx=a在G中有解,设其解为c,即bc=a.所以ea=e(bc)=(eb)c=bc=a.又由定义1中(3)知方程yb=b在G中有解,设其解为e/,即be/=b.由前面同理可证得坌a∈G都有ae/=a,由a的任意性知ee/=e/且有ee/=e.故e=e/.即得坌a∈G都有ea=ae=a.故G中存在单位元。(易知G中单位元是唯一的)由定义1中(3)知方程ax=e与ya=e在G中有解,设其解为x=a/,y=a//即aa/=e,a//a=e,下证a/=a//事实上:a/=ea/=(a//a)a/=a//(aa/)=a//e=a//.所以aa/=a/a=e.即定义4中(4)也成立。(易知a在G中逆元是唯一的)所以由定义1推出定义4.总上所述得定义1与定义4等价。(b)证明定义2与定义1等价。证:由定义4显然推出定义2。由定义2显然推出定义1.即定义2圯定义1,又由定义1圯定义4,知定义4定义圯2定义1圯定义4故定义1与定义4等价。同理可证定义3与定义1等价。(c)最后来证有限群的定义5证:先证由定义4推出定义5。由定义4的(1),(2)知定义5中的(1),(2)成立。由定义4知坌a,b∈G都有a/,b/使得aa/=a/a=e,bb/=b/b=e由ax=ay,推出a/(ax)=a/(ay),推出(a/a)x=(a/a)y,得ex=ey,推出x=y.同理xa=ya推出x=y.即G中消去律成立。故由定义4推出定义5。再证由定义5推出定义1因G为有限集,设G={a1,a2…,an}下证坌a,b,∈G,ax=b在G中有解。事实上,由定义5中(1)知aa1,aa2,…aan∈G,又若aai=aja,由定义5中(3)知ai=aj,故aa1,aa2…aan互不相同。所以{aa1,aa2…aan}为G的子集且其有n个元素,而G也有n个元素,所以G={a