广东省湛江市2024届高三上学期10月调研数学试题

2024届湛江市普通高中毕业班调研测试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题1-1.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选作题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A.B.C.2D.1

2.已知集合，则的真子集的个数为（）A.1B.2C.3D.4

3.已知向量，若，则（）A.-1B.-2C.1D.2

4.已知函数的最小值为0，则（）A.1B.2C.3D.5.已知双曲线的一条渐近线方程是分别为双曲线的左､右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，则（）A.B.C.D.6.某企业面试环节准备编号为的四道试题，编号为的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有（）A.9种B.10种C.11种D.12种7.已知函数的定义域为，且，则（）A.B.C.是偶函数D.没有极值点8.已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点是上的动点，则的取值范围为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某商店的某款商品近5个月的月销售量（单位：千瓶）如下表：第个月12345月销售量2.53.244.85.5若变量和之间具有线性相关关系，用最小二乘法建立的经验回归方程为，则下列说法正确的是（）A.点一定在经验回归直线上B.C.相关系数D.预计该款商品第6个月的销售量为7800瓶10.已知大气压强随高度的变化满足关系式是海平面大气压强，.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：平均海拔第一级阶梯第二级阶梯第三级阶梯若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一､二､三级阶梯某处的压强分别为，则（）A.B.C.D.11.已知函数，下列结论正确的是（）A.有且只有一个零点B.C.，直线与的图象相切D.12.如图，有一个正四面体形状的木块，其棱长为.现准备将该木块锯开，则下列关于截面的说法中正确的是（）A.过棱的截面中，截面面积的最小值为B.若过棱的截面与棱（不含端点）交于点，则C.若该木块的截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为D.与该木块各个顶点的距离都相等的截面有7个三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若是增函数，则的取值范围为__________.14.如图，一个圆柱内接于圆锥.且圆柱的底面圆半径是圆锥底面圆半径的一半，则该圆柱与圆锥的体积的比值为__________.15.已知直线关于的对称直线与圆存在公共点.则的取值范围为__________.16.已知正项数列满足，则__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）如图，在中，点在边上，且.已知.（1）求；（2）若的面积为，求.18.（12分）函数在上的零点从小到大排列后构成数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19.（12分）如图，在直三棱柱中，，点在棱上，点在棱上，.（1）若，求；（2）若，求二面角的余弦值.20.（12分）甲､乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球.（1）求前4个回合甲发球两次的概率；（2）求第4个回合甲发球的概率；（3）设前4个回合中，甲发球的次数为，求的分布列及期望.21.（12分）已知点和直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交于两点，若点的坐标为，直线与轴的交点分别是，证明：线段的中点为定点.22.（12分）（1）证明：函数在上单调递减.（2）已知函数，若是的极小值点，求实数的取值范围.2024届湛江市普通高中毕业班调研测试数学参考答案1.A.2.C因为，所以，共有4个子集，3个真子集.3.B，因为，所以，解得.4.D（其中），，且，解得.5.D因为该双曲线的一条渐近线方程是，则，结合，可得.又，所以.6.A每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有9种.7.D令函数，则，所以为常函数.令，则没有极值点，D正确.8.C作准线（图略），则.当取最大值时，取得最小值，当且仅当与抛物线相切于点时，等号成立.当与抛物线相切时，设直线的方程为，代入，可得.由，解得.不妨设点在第一象限，则，所以的最大值为.故的取值范围为.9.AB，样本点中心一定在经验回归直线上，即，则正确.变量与成正相关，相关系数，C错误.当时，，预计该款商品第6个月的销售量为6280瓶，错误.10.ACD设在第一级阶梯某处的海拔为，则，即.因为，所以，解得正确.由，得.当时，，即，所以，B错误.设在第二级阶梯某处的海拔为，在第三级阶梯某处的海拔为，则两式相减可得.因为，所以，则，即，故均正确.11.AD因为，所以在上单调递减，正确.当时，，当时，，B错误.不可能存在斜率为-1的切线，错误.因为，所以，D正确.12.ACD设截面与棱的交点为，如图1，过棱的截面为，当为棱的中点时，的面积取得最小值，最小值为，正确.设.在中，，所以，B错误.如图2，当截面为平行四边形时，.由，知，从而平行四边形为长方形.设，则，所以长方形的面积，当且仅当时，等号成立，正确.与该木块各个顶点的距离都相等的截面分为两类.第一类：平行于正四面体的一个面，且到顶点和到底面距离相等，这样的截面有4个.第二类：平行于正四面体的两条对棱，且到两条棱距离相等，这样的截面有3个.故与该木块各个顶点的距离都相等的截面共有7个，D正确.13.函数是增函数，若要是增函数，则函数是增函数，.14.设该圆柱的底面圆半径为，高为，则该圆柱的体积为.圆锥的底面圆半径为，高为，则该圆锥的体积为.故该圆柱与圆锥的体积的比值为.15.直线关于的对称直线为，所以，解得.16.因为，所以，即，故，当且仅当时，等号成立.设，可得，解得，故是常数列，每一项都是.17.解：（1），所以.因为，所以.（2）作，垂足为.在中，，所以为等腰直角三角形.因为，所以.由的面积为，解得.故.18.解：（1）函数的最小正周期为.函数在上的零点分别为.数列是以为首项，为公差的等差数列，即当为奇数时，.数列是以为首项，为公差的等差数列，即当为偶数时，.综上，（2）..19.解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设，则.因为，所以，则，解得.故.（2）由，得.设平面的法向量是，则即取，得.设平面的法向量是，则即取，得.因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20.解：（1）前4个回合甲发球两次的情况分以下三种：第一种情况，甲第1，2回合发球，乙第3，4回合发球，其概率为.第二种情况，甲第1，3回合发球，乙第2，4回合发球，其概率为.第三种情况，甲第1，4回合发球，乙第2，3回合发球，其概率为.故前4个回合甲发球两次的概率为.（2）第2回合甲发球的概率为，乙发球的概率为.第3回合甲发球的概率为，乙发球的概率为.第4个回合甲发球的概率为.（3）可以取.当时，；当时，；由（1）得，当时，；当时，.的分布列为1234.21.（1）解：设，由题意得，整理得，即，故动点的轨迹的方程为.（2）证明：设直线的方程为.联立得.由，得，整理得.设，则.直线的方程为，令，得.同理.，所以，所以线段的中点坐标为，故线段的中点为定点.22.（1）证明：.令函数.当时，，所以在上单调递增.因为，所以当时，恒成立，故在上单调递减.（2）解：.令函数.当，即或时，存在，使得当时，，