甘肃省平凉市第四中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题(含解析)

2023-2024学年甘肃省平凉四中八年级第一学期第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图，△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（）A．360° B．250° C．180° D．140°2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm3．等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（）A．65°，65° B．50°，80° C．65°，65°或50°，80° D．50°，50°4．装修工人在搬运中发现有一块三角形的陶瓷片不慎摔成了四块（如图），他要拿哪一块回公司才能更换到相匹配的陶瓷片（）A．① B．② C．③ D．④5．从一个多边形的顶点出发，可作9条对角线，则该多边形是（）A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形6．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（）A． B． C． D．7．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．98．下列叙述正确的是（）A．钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和 B．三角形两个内角的和一定大于第三个内角 C．三角形中至少有两个锐角 D．三角形中至少有一个钝角9．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以下结论：（1）△ABD≌△ACD；（2）AD⊥BC；（3）∠B＝∠C；（4）AD是△ABC的角平分线．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，D在同一条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．EF＝BC B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．∠B＝∠E二、填空题（每小题4分，共32分）11．如图，已知AD＝BC，要证明△ABC≌△BAD．根据“SAS”，还需要一个条件．12．如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是．13．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝．14．如图，∠1+∠2+∠3+∠4的值为．15．如图：将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2＝100°，则∠A＝度．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为．17．如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF＝1.5cm2，则S△ABC的值为．18．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第98个图形需要黑色棋子的个数是．三、解答题（本大题5道题，共38分）19．如图，已知∠AOB和线段MN，请用尺规作图法在线段MN上找一点P，使得点P到OA、OB的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）20．如图，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC＝95°，∠B＝55°，求∠A和∠C．21．已知：如图，AD、BC相交于点O，OA＝OD，AB∥CD．求证：AB＝CD．22．一个多边形的内角和与外角和的差为1260°，求它的边数．23．如图，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB．求证：∠F＝∠C．四、解答题（本大题5道题，共50分）24．如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝70°，求∠BOC的度数．25．一个三角形的两条边相等，周长为18cm，三角形一边长4cm，求其它两边长？26．如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN．（2）求∠APN的度数．27．如图所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BF＝CE．求证：（1）AD平分∠BAC；（2）AE＝AF．28．如图：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．（1）求证：MN＝AM+BN．（2）若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．

参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图，△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（）A．360° B．250° C．180° D．140°【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝70°+180°＝250°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．解：A、3+4＜8，不能组成三角形；B、8+7＝15，不能组成三角形；C、13+12＞20，能够组成三角形；D、5+5＜11，不能组成三角形．故选：C．【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．3．等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（）A．65°，65° B．50°，80° C．65°，65°或50°，80° D．50°，50°【分析】根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠C，分为两种情况：①当底角∠B＝50°时，②当顶角∠A＝50°时，根据∠B＝∠C和三角形的内角和定理求出即可．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，①当底角∠B＝50°时，则∠C＝50°，∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°；②当顶角∠A＝50°时，∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝×（180°﹣∠A）＝65°；即其余两角的度数是50°，80°或65°，65°，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，注意此题有两种情况：①当底角∠B＝50°时，②当顶角∠A＝50°时．4．装修工人在搬运中发现有一块三角形的陶瓷片不慎摔成了四块（如图），他要拿哪一块回公司才能更换到相匹配的陶瓷片（）A．① B．② C．③ D．④【分析】假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．解：②、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第①块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：A．【点评】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．5．从一个多边形的顶点出发，可作9条对角线，则该多边形是（）A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形【分析】设多边形边数为n，根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可得n﹣3＝9，计算出n的值，可得答案．解：设多边形边数为n，由题意得：n﹣3＝9，n＝12，故选：C．【点评】此题主要考查了多边形的对角线，以及多边形内角和，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，多边形内角和公式180°（n﹣2）．6．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（）A． B． C． D．【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据概念判断．解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高AD，所以画法正确的是B选项．故选：B．【点评】本题考查了三角形的高的概念，解决问题的关键是能够正确作三角形一边上的高．7．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180•（n﹣2）＝3×360，解得n＝8．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．8．下列叙述正确的是（）A．钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和 B．三角形两个内角的和一定大于第三个内角 C．三角形中至少有两个锐角 D．三角形中至少有一个钝角【分析】通过三角形的内角和、直角三角形等特例，逐个判断得结论．解：因为三角形的内角和等于180°，所以钝角三角形、锐角三角形的内角和相等，故选项A叙述错误；直角三角形的直角等于另两个内角的和，故选项B叙述错误；三角形中至少有两个锐角，故选项C叙述正确；三角形的内角和等于180°，所以一个三角形不可能有两个钝角，故选项D叙述错误．故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理及推论是解决本题的关键．9．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以下结论：（1）△ABD≌△ACD；（2）AD⊥BC；（3）∠B＝∠C；（4）AD是△ABC的角平分线．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由“三线合一”可知（2）（4）正确，由等边对等角可知（3）正确，且容易证明△ABD≌△ACD，可得出答案．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴（3）正确，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴（2）（4）正确，在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS），∴（1）正确，∴正确的有4个，故选：D．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线相互重合是解题的关键．10．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，D在同一条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．EF＝BC B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．∠B＝∠E【分析】根据全等三角形的全等定理逐个判断即可．解：A、∵EF＝BC，∵∠A＝∠D，AB＝DE，∴不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；B、符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；C、∵∠ACD＝∠BFE，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠BFE＝∠E+∠D，∠A＝∠D，∴∠B＝∠E，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；D、符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了三角形的外角性质和全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．二、填空题（每小题4分，共32分）11．如图，已知AD＝BC，要证明△ABC≌△BAD．根据“SAS”，还需要一个条件∠DAB＝∠CBA．【分析】图形中隐含条件BC＝BC，找出第三边BD和AC即可，找出∠DAB和∠CBA即可．解：∠DAB＝∠CBA，理由是：在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SAS）．故答案为：∠DAB＝∠CBA．【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，关键是考查学生是否理解SAS的含义，题目比较典型，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．12．如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是4或6．【分析】根据三角形三边关系，可令第三边为X，则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，又因为第三边长为偶数，所以第三边长是4，6．问题可求．解：由题意，令第三边为X，则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，∵第三边长为偶数，∴第三边长是4或6．故答案为：4或6．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解决此类问题的关键．13．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝11．【分析】根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案．解：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y＝5∴x+y＝11．故答案为：11．【点评】本题考查了全等三角形的性质及对应边的找法；根据两个三角形中都有2找对对应边是解决本题的关键．14．如图，∠1+∠2+∠3+∠4的值为360°．【分析】根据四边形的内角和解答即可．解：∵四边形的内角和是360°，∴∠4+∠1+∠2+∠3＝360°．故答案为：360°．【点评】此题考查四边形的内角和问题，关键是根据四边形的内角和是360°解答．15．如图：将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2＝100°，则∠A＝50度．【分析】根据折叠的性质可知∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，利用平角是180°，求出∠ADE与∠AED的和，然后利用三角形内角和定理求出∠A的度数．解：∵将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，∴∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED＝180°+180°，∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）＝360°，又∵∠1+∠2＝100°，∴∠ADE+∠AED＝130°，∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝50°．故答案为：50【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解题时注意挖掘出隐含于题中的已知条件：三角形内角和是180°、平角的度数也是180°．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为4cm．【分析】先由BC＝10cm，BD：DC＝3：2计算出DC＝4cm，由于∠ACB＝90°，则点D到AC的距离为4cm，然后根据角平分线的性质即可得到点D到AB的距离等于4cm．解：∵BC＝10cm，BD：DC＝3：2，∴DC＝4cm，∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．故答案为4cm．【点评】本题考查了角平分线的判定与性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上．17．如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF＝1.5cm2，则S△ABC的值为6．【分析】由点F是CE的中点，则有S△BCF＝S△BEF＝1.5cm2，则有S△BCE＝3，再由点E是AD的中点，则有S△BDE＝S△ABE，S△CDE＝S△ACE，从而得S△BDE+S△CDE＝S△ABE+S△ACE，从而可求S△ABC的面积．解：∵点F是CE边上的中点，S△BEF＝3cm2，∴S△BCF＝S△BEF＝1.5cm2，∴S△BCE＝3cm2，∵点E是AD的中点，∴S△BDE＝S△ABE，S△CDE＝S△ACE，∴S△BDE+S△CDE＝S△ABE+S△ACE，即S△BCE＝S△ABE+S△ACE，S△ABE+S△ACE＝3cm2，∴S△ABC＝6cm2．故答案为：6．【点评】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是明确三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．18．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第98个图形需要黑色棋子的个数是9800．【分析】结合图形，发现：第1个图形中黑色棋子的个数是2×3﹣3；第2个图形中黑色棋子的个数是3×4﹣4；依此类推即可求解．解：第1个图形是2×3﹣3，第2个图形是3×4﹣4，第3个图形是4×5﹣5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）＝n2+2n，当n＝98时，92+2×9＝99，故第98个图形需要黑色棋子的个数是＝982+2×98＝9800（个）．故答案为：9800．【点评】考查了图形的变化类问题，首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去．三、解答题（本大题5道题，共38分）19．如图，已知∠AOB和线段MN，请用尺规作图法在线段MN上找一点P，使得点P到OA、OB的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】作出∠AOB的平分线，与线段MN的交点就是所求．解：作出∠AOB的平分线，与线段MN的交点就是所求．【点评】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键．20．如图，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC＝95°，∠B＝55°，求∠A和∠C．【分析】首先根据三角形的外角定理得∠AOC＝∠A+∠B，由此可求出∠A的度数；再由平行线的性质即可求出∠C的度数．解：∵∠AOC是△AOB的外角，∴∠AOC＝∠A+∠B，∠A＝∠AOC﹣∠B，∵∠AOC＝95°，∠B＝55°，∴∠A＝∠AOC﹣∠B＝95°﹣55°＝40°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠B＝55°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握两直线平行内错角相等，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和是解答此题的关键．21．已知：如图，AD、BC相交于点O，OA＝OD，AB∥CD．求证：AB＝CD．【分析】只要证明△AOB≌△DOC（ASA），即可解决问题．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（ASA）．∴AB＝CD．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．22．一个多边形的内角和与外角和的差为1260°，求它的边数．【分析】设多边形的边数是n，根据题意得出（n﹣2）•180°﹣360°＝1260°，解之可得．解：设多边形的边数是n，则：（n﹣2）•180°﹣360°＝1260°，解得：n＝11，答：这个多边形的边数是11．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记内角和公式，外角和与多边形的边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．23．如图，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB．求证：∠F＝∠C．【分析】欲证明∠F＝∠C，只要证明△ABC≌△DEF（SSS）即可；【解答】证明：∵DA＝BE，∴DE＝AB，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠C＝∠F．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考基础题目．四、解答题（本大题5道题，共50分）24．如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，若∠A＝70°，求∠BOC的度数．【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义，可得出∠OBC+∠OCB的度数，再在△BOC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠BOC的度数．解：在△ABC中，∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°，∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×110°＝55°．在△BOC中，∠OBC+∠OCB＝55°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．25．一个三角形的两条边相等，周长为18cm，三角形一边长4cm，求其它两边长？【分析】分两种情形讨论求解即可：①若4cm为底边．②若4cm为腰长；解：①若4cm为底边，则另外两边均为（18﹣4）＝7厘米；②若4cm为腰长，则另一腰为4厘米，底边为18﹣4×2＝10厘米∵4+4＜10，∴此时不能构成三角形，舍去．因此其他两边的长分别为7cm、7cm．【点评】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．26．如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN．（2）求∠APN的度数．【分析】（1）利用正五边形的性质得出AB＝BC，∠ABM＝∠C，再利用全等三角形的判定得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出∠BAM+∠ABP＝∠APN，进而得出∠CBN+∠ABP＝∠APN＝∠ABC即可得出答案．【解答】证明：（1）∵正五边形ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，∴在△ABM和△BCN中，∴△ABM≌△BCN（SAS）；（2）∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN，∵∠BAM+∠ABP＝∠APN，∴∠CBN+∠ABP＝∠APN＝∠ABC＝＝108°．即∠APN的度数为108°【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正五边形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．27．如图所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BF＝CE．求证：（1）AD平分∠BAC；（2）AE＝AF．【分析】（1）根据垂直的定义可得∠BFD＝∠CED＝90°