2023-2024学年河南省濮阳市高二（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省濮阳市高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知空间向量a=(4,−1,1)A.6 B.10 C.8 D.42.如图，设OA=a,OB=bA.12a+14b−343.若直线l的方向向量为e=(2,3,−1)，平面α的法向量为A.l⊥α B.l/​/α C.4.已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1A.3

B.2+2

C.5.已知经过点A(1,2,3)的平面α的法向量为n=A.3 B.2 C.226.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCA.147 B.7014 C.7.已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BNA.16 B.23 C.218.正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为2，E是棱AB的中点，F是四边形AA1DA.23 B.53 C.2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知a=(1,0,1)A.a⊥b B.b//c

C.<a,c10.已知a，b，c是空间的三个单位向量，下列说法正确的是(

)A.若a//b，b/​/c，则a/​/c

B.若a，b，c两两共面，则a，b，c共面

C.若{a,b,11.在正方体ABCD−A1B1C1D1A.DB1⊥平面ACD1

B.直线AE与平面BB1D1D所成角的正弦值为定值1312.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点A.满足MP/​/平面BDA1的点P的轨迹长度为2

B.满足MP⊥AM的点P的轨迹长度为2

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.试写出一个点C的坐标：______，使之与点A(−1,114.已知a、b是空间相互垂直的单位向量，且|c|=5,15.已知梯形ABCD和矩形CDEF.在平面图形中，AB=AD=DE=12CD=1，CD⊥AE.16.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，M是A1C1的中点，AB=7，N，G分别在棱BB1四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

如图所示，在三棱锥O−ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA=1，OB=2，OC=3，E，F，P分别为18.(本小题12.0分)

已知P是四边形ABCD所在平面外一点，若点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，19.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E、F分别是P20.(本小题12.0分)

如图所示，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，点P在底面的投影O点恰好是菱形ABCD对角线交点，点E为侧棱PC中点，若∠BAD=60°，AB=2，P21.(本小题12.0分)

如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，ABC是边长为2的正三角形，O为AB的中点．

(1)证明：CO⊥平面A22.(本小题12.0分)

长方形ABCD中，AB=2AD，M是DC中点(图1).将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM(图2).在图2中：

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：因为a//b，所以x4=y−1=21，解得x=8，y2.【答案】A

【解析】解：由题意可知，AN=NB,BM=3MC，

由图可知，MN=MB+B3.【答案】A

【解析】解：∵直线l的方向向量为e=(2,3,−1)，平面α的法向量为n=(−1,−32,12)，

∴|4.【答案】D

【解析】解：由已知，可得AB⋅AA1=AD⋅AA1=1×1×cos45°=225.【答案】D

【解析】解：依题意，AP=(−3,1,−2)，所以点P到平面α的距离为d6.【答案】C

【解析】解：如图，连接AB1，B1C，则AB1/​/DC1，

∴异面直线AC与DC1直线所成角为∠B1AC(或其补角)，

在△AA1B1中，AA1=4，A1B1=2，∠AA1B1=120°，由余弦定理得：AB12=AA12+A1B7.【答案】B

【解析】解：设该正四面体的棱长为1，∵M为BC中点，N为AD中点，

∴|BN|=|DM|=12−(12×1)2=32，

∵M是BC中点，N为AD中点，

∴BN=BA+AN=8.【答案】A

【解析】解：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，E(1,0,0)，D(0,2,0)，

设F(0,m,n)，m∈[0,2]，n∈[0,2]，

∴FE⋅FD=m2−2m+n2=−34，

∴S△ADE为定值，要想三棱锥F−9.【答案】BD【解析】【分析】

本题考查空间向量垂直、平行、夹角和投影向量，属基础题．

利用向量的数量积的计算公式计算可判断AC;

利用共线向量的关系可判断B;

利用投影向量的计算公式求得c在a方向上的投影向量，可判断D．【解答】

解：对于A：a=(1,0,1)，b=(−1,2,−3)，a·b=−1+0−3=−410.【答案】AC【解析】解：对于选项A，由题意可知a，b，c都是非零向量，当a//b且b//c时，则一定有a//c，故A正确；

对于选项B，若a，b，c两两共面，可能为空间向量的一组基底，则a，b，c不一定共面，故B错误；

对于选项C，若a，b，c是空间的一组基底，则a+b，b+c，c+a不共面，也可以是空间的一组基底，故C正确；

对于选项D，对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z11.【答案】AC【解析】解：设正方体的棱长为1，

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

由题意知：A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，

A1(0,0,1)B1(1,0,1)，(1,1,1)，D(0,1,1)．

设E(x,y,1)，B1E=λB1D1，即(x−1,y,0)=(−λ,λ,0)，∴E(1−λ,λ,1)．

设F(1,y′,z′)，BF=μBC1，即(0,y′,z′)=(0,μ,μ)，∴F(1,μ,μ)12.【答案】AC【解析】解：对于A，取B1C1的中点Q，D1C1的中点N，又点M为CC1的中点，

由正方体的性质知MQ//A1D，NQ//BD，MQ∩NQ=Q，A1D∩BD=D，

所以平面MQN//平面BDA1，又MP⊂平面MQN，∴MP//平面BDA1，

故点P的轨迹为线段MQ=1+1=2，故A正确；

以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，M(0,2,1)，设P(x,y,2)，且0≤x≤2，0≤y≤2，

AP=(x−2,y,2)，M13.【答案】(−【解析】解：设点C(a,b,c)，由于点C与点A(−1,1,0)，B(−1,0,1)三点共线，

故有AB//AC，即AB=λAC．

∵AC=(a14.【答案】3

【解析】解：∵a、b是空间相互垂直的单位向量，

∴设a=(1,0,0)，b=(0,1,0)，设c=(x,y,z)，

又c⋅a=c⋅b=22，∴x15.【答案】3

【解析】解：由题意易得CD⊥DE，CD⊥DA，

又面ABCD⊥面CDEF，面ABCD∩面CDEF=EF，

又AD⊂面ABCD，

则AD⊥面CDEF，

又DE⊂面CDEF，

则AD⊥DE，

以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，A(1,0,016.【答案】6

−42【解析】解：延长MG与A1A延长线交于点K，连接KN，如图所示：

则KN⊂平面MNG，KN⊂平面ABB1A1，∴平面MNG与AB的交点H即为KN与AB的交点，

在堑堵ABC−A1B1C1中，AG//A1M，则KAKA1=AGA1M=131217.【答案】解：令OA，OB，OC方向上的单位向量分别为m，j，k，则{i,j,k}是空间向量的一组单位正交基底，

因为OP=OE+EP=12(O【解析】根据空间向量基本定理，用基底表示出OP，计算向量OP的模，即可求得答案．18.【答案】证明：如图，连接PH，PG，PF，PE，

并延长分别交AD，DC，BC，AB于H1，G1，F1，E1，连接AC，

∵点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，

∴H1，G1，F1，E1分别为AD，DC，B【解析】利用三角形重心的性质得到HG/​19.【答案】解：(1)因为PD⊥平面ABCD， DC,DA⊂平面ABCD，

所以PD⊥DC，PD⊥DA，

又底面ABCD为正方形，所以DA⊥DC，

则PD、DA、DC两两互相垂直，

如图，以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系D−xyz，

PD=AB=2，E、F分别是PC、AD中点，

则D(0,0,0)，E(0,1,1)【解析】本题考查向量法求解异面直线所成角的余弦值，向量法求解点到平面的距离，属于中档题．

(1)根据给定条件，以点D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答；

(2)由(1)求出平面20.【答案】(1)证明：在Rt△POB中，PO=3,OB=1，∴PB=2，

因此PB=BC=2，E是中点，可得：PC⊥BE，

同理：PC⊥DE，∵BE∩DE=E，∴PC⊥面BED

又因为PC⊂面PCB，所以面PCB⊥面BED．

(2)解：因为△PBC≅△PDC，又E是中点，所以△EBC≅△E【解析】(1)由题意利用线面关系首先证得线面垂直，然后利用线面垂直证明面面垂直即可；

(2)首先找到二面角的平面角，然后利用余弦定理求得二面角的余弦值，最后利用同角三角函数基本关系可得

二面角21.【答案】证明：(1)∵ABC是正三角形，O为AB的中点，∴CO⊥AB．

又∵ABC−A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥CO．

又AB∩AA1=A，∴CO⊥平面ABB1A1．

解：(2)连接OB1，由(1)知CO⊥平面ABB1A1，

∴直线B1C与平面ABB1A1所成的角为∠CB1O，∴tan∠CB1O=155．

∵△AB【解析】(1)利用线面垂直的判定定理证明即可；

(2)连接OB1，由(1)知CO⊥平面ABB122.【答案】解：(1)证明：在长方形ABCD中，连结BM，

因为AB=2AD，M是DC中点，所以AM=BM=2A