2024届贵州省六盘水市盘县第二中学高二上数学期末监测试题含解析

2024届贵州省六盘水市盘县第二中学高二上数学期末监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是（）A. B.C. D.2．直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（）A.平行 B.重合C.相交但不垂直 D.垂直3．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（）”的几何解释A.如果，，那么B.如果，那么C.对任意实数和，有，当且仅当时等号成立D.如果，那么4．在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（）A. B.2C.1 D.45．已知直线与直线垂直，则实数（）A.10 B.C.5 D.6．已知离散型随机变量X的分布列如下：X123P则数学期望（）A. B.C.1 D.27．在正方体中中，，若点P在侧面（不含边界）内运动，，且点P到底面的距离为3，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.8．已知，若，则的取值范围为（）A. B.C. D.9．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（）A. B.C. D.10．南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第31项为（）A.336 B.467C.483 D.60111．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.12．在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，则实数的值是__________.14．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行从左向右的第2个数为____________.15．命题为假命题，则实数的取值范围为_____________.16．已知函数则的值为.____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，设，，（1）用，，表示，并求；（2）求18．（12分）如图，在正四棱柱中，是上的点，满足为等边三角形.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.19．（12分）已知椭圆的离心率为，长轴长为，F为椭圆的右焦点（1）求椭圆C的方程；（2）经过点的直线与椭圆C交于两点，，且以为直径的圆经过原点，求直线的斜率；（3）点是以长轴为直径的圆上一点，圆在点处的切线交直线于点，求证：过点且垂直于的直线过定点20．（12分）如图，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC．E为AB中点（1）求证：平面；（2）求平面与平面CEB夹角的余弦值21．（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接（1）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值；（3）若面与面所成二面角的大小为，求的值22．（10分）若等比数列的各项为正，前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由条件可得，即可得到答案.【详解】方程表示焦点在y轴上的双曲线所以，即故选：B2、C【解析】由韦达定理可得方程的两根之积为，从而可知直线、的斜率之积为，进而可判断两直线的位置关系【详解】设方程的两根为、，则直线、的斜率，故与相交但不垂直故选：C3、C【解析】设图中直角三角形边长分别为a，b，则斜边为，则可表示出阴影面积和正方形面积，根据图象关系，可得即可得答案.【详解】设图中全等的直角三角形的边长分别为a，b，则斜边为，如图所示：则四个直角三角形的面积为，正方形的面积为，由图象可得，四个直角三角形面积之和小于等于正方形的面积，所以，当且仅当时等号成立，所以对任意实数和，有，当且仅当时等号成立.故选：C4、B【解析】由方程可得抛物线的焦点和准线，进而由抛物线的定义可得，解之可得值【详解】解：由题意可得抛物线开口向右，焦点坐标，，准线方程，由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，即，解之可得.故选：B.5、B【解析】根据两直线垂直，列出方程，即可求解.【详解】由题意，直线与直线垂直，可得，解得.故选：B.6、D【解析】利用已知条件，结合期望公式求解即可【详解】解：由题意可知：故选：D7、A【解析】如图建立空间直角坐标系，先由，且点P到底面的距离为3，确定点P的位置，然后利用空间向量求解即可【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以，因为,所以平面，因为平面平面，点P在侧面（不含边界）内运动，，所以，因为点P到底面的距离为3，所以，所以，因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：A8、C【解析】根据题意，由为原点到直线上点的距离的平方，再根据点到直线垂线段最短，即可求得范围.【详解】由，，视为原点到直线上点的距离的平方，根据点到直线垂线段最短，可得，所有的取值范围为，故选：C.9、D【解析】设，，根据和求出a的值，由，两点之间直线最短，可得的最小值为，根据坐标求出即可.【详解】设，，所以，由，所以，因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，所以，解得，所以，又，所以，因为，所以的最小值，当M在位置或时等号成立.故选：D10、B【解析】先由递推关系利用累加法求出通项公式，直接带入即可求得.【详解】根据题意，数列2，3，5，8，12，17，23……满足，，所以该数列的第31项为.故选：B11、D【解析】计算，然后等价于在（0，+∞）由2个不同的实数根，然后计算即可.【详解】的定义域是（0，+∞），，若函数有两个不同的极值点，则在（0，+∞）由2个不同的实数根，故，解得：，故选：D.【点睛】本题考查根据函数极值点个数求参，考查计算能力以及思维转变能力，属基础题.12、A【解析】根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得【详解】解：如图设与圆切点分别为、、，则有，，，所以根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即、，又，所以，所以方程为故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据圆锥曲线焦点在轴上且离心率小于1，确定a,b求解即可.【详解】因为圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，所以曲线为椭圆，且，所以，解得，故答案为：14、【解析】通过观察、分析、归纳，找出规律运算求解即可【详解】前行共有正整数个，即个，因此第行第个数是全体正整数中第个，即为故答案为：15、【解析】依据题意列出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围.【详解】命题为假命题，则为真命题则判别式，解之得故答案为：16、-1【解析】详解】试题分析：由题意，得，所以，解得，所以考点：导数的运算三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）0【解析】（1）把，，作为基底，利用空间向量基本定理表示，然后根据已知的数据求，（2）先把用基底表示，然后化简求解【小问1详解】因为，，，,所以，因为底面ABCD是边长为1的正方形，，，所以【小问2详解】因为，底面ABCD是边长为1的正方形，，，所以18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据题意证明，，然后根据线面垂直的判定定理证明问题；（2）结合（1），进而利用等体积法求得答案.【小问1详解】由题意，，为等边三角形，，∵平面ABCD，∴，则，即为中点.连接，∵平面，平面，∴，易得，则，又，于是，即，同理，即，又平面.【小问2详解】设M到平面的距离为d，，∴.易得，取BD的中点N，连接，则，所以，，所以，，.即M到平面的距离为1.19、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由题意中离心率和长轴长可求出，即可求出椭圆方程.（2）设出与的坐标即直线的方程，把直线与椭圆方程进行联立写出韦达定理，由题意以为直径圆经过原点可得，化简即可求出直线的斜率.（3）由题意可得圆的方程，设，由和直线的方程化简，即可得到答案.【小问1详解】，，椭圆C的方程为.【小问2详解】由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为.设.把直线的方程与椭圆的方程进行联立得：..由以为直径圆经过原点知，..经检验，满足，所以.【小问3详解】由题意可得圆的方程为，设，由得.①.当时，，直线的方程为.直线过椭圆的右焦点.当时，直线的斜率为且过，②把①代入②中得.故直线过椭圆的右焦点.综上所述，直线过椭圆的右焦点.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接与交于点O，连接OE，得到，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）根据，底面，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，再根据底面，得到平面一个法向量，然后由夹角公式求解.【小问1详解】如图所示：连接与交于点O，连接OE，如图，由分别为的中点所以，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】由，底面，故底面建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为：，则，即，令，则，则，因为底面，所以为平面一个法向量，所以所以平面与平面CEB夹角的余弦值为.21、（1）证明见解析，是鳖臑，四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB（2）4（3）【解析】（1）由直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角即可；（2）PD是阳马P−ABCD的高，DE是鳖臑D−BCE的高，BC⊥CE，，由此能求出的值（3）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线与平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可【小问1详解】因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC而PC∩CB＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE又PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB；【小问2详解】由已知，PD是阳马P−ABCD的高，∴，由（Ⅰ）知，，在Rt△PDC中，∵PD＝CD，点E是PC的中点，∴，∴【小问3详解】如图所示，在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线由（1）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，