2023-2024学年广东省东莞重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省东莞重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数z满足(1+i)z=3A.10 B.10 C.5 D.2.已知直线l1：y−3=2(x−A.(0,1) B.(0,3.已知向量a=(0,1,1)，bA.(0,−1,−1) 4.设点M为不在坐标平面上的点.若点M关于坐标平面Oxz的对称点记为M1，M1关于坐标原点的对称点为M2，则MA.x轴 B.y轴 C.z轴 D.以上都不对5.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点MA.12a−23b+126.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体.若AA1⊥面ABCD，AA1=3，AB=4，CD=A.39921 B.27321 C.7.如图，已知二面角α−l−β的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直与棱l.若AB=

A.π6 B.π4 C.π38.设x>0，y>0，则A.2 B.3 C.6二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知平面α过点A(1,−1,2)A.(2,3,3) B.(10.已知单位向量e1，e2，e3两两垂直，且e1，e2，e3不共面.设a=2A.a⊥b B.b/​/c

C.b，c所成角为钝角 D.11.如图，四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=AB，

A.OM⊥AP

B.存在点M，使OM/​/平面SBC

C.存在点M，使直线OM与AB

12.已知长方体ABCD−A1B1C1D1的底面为正方形，AA.当m=12时，三棱锥P−ACD1的体积为定值

B.当n=12时，三棱锥P−ACD1的体积为定值

C.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l的方向向量n=(2,−214.已知单位向量e1，e2，e3两两夹角为60°，且e1，e2，e3不共面.若a=e15.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，16.如图，点M，N分别为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AA1，BB1的中点，以正方体的六个面的中心为顶点构成一个八面体，若平面四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知直线l1经过点(1,1)，斜率为2．

(1)求直线l1的截距式方程．

(2)若直线l2与l18.(本小题12.0分)

如图，已知一个组合体由一个圆锥PAB与一个圆柱OO1构成(圆锥底面与圆柱上底面重合.平面ABCD为圆柱的轴截面)，已知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为8．

(1)求这个组合体的体积；

(2)19.(本小题12.0分)

为了调查某学校高二年级学生的数学学习情况.采用分层抽样的方式从高二年级抽取n人参加数学知识竞赛.已知该校高二年级男女生的人数比为1：2(男生：女生).分层抽样中共抽取了20名男生参加数学知识竞赛，他们的分数记为xi(i=1,2,3…20)，数据xi分别为：2，3，4，4，5，5，5，5，6，6，6，6，7，7，8，8，8，8，8，9(参考数据：i=120xi=120，20.(本小题12.0分)

如图，已知正方形ABCD所在平面与等腰直角三角形EAB所在平面相互垂直.以AE为直径，在平面EAB内作半圆(半圆位于EA的左侧).点F为弧AE上的一点．

(1)证明：EF21.(本小题12.0分)

如图，已知四棱锥P−ABCD的底面为边长为2的菱形，且PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°．

(1)设E为CD中点，证明：平面PCD⊥平面P22.(本小题12.0分)

在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若AB⋅AC+2BA⋅BC=答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

【解答】

解：(1+i)z=3+i，

∴(1−i)2.【答案】D

【解析】解：直线l1：y−3=2(x−2)可化为y=2x−1，

3.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．

根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．【解答】

解：a=(0,1,1)，b=(1,1,0)，

则4.【答案】D

【解析】解：设M(x,y,z)，

点M关于坐标平面Oxz的对称点记为M1，

故M1(x,−y,z)，

M1关于坐标原点的对称点为M2，5.【答案】B

【解析】【分析】本题考点是空间向量基本定理，考查了向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，属于基础题．

由题意，把OA，OB，OC三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将【解答】

解：由题意

MN=MA+AB+BN

=13OA+OB6.【答案】D

【解析】解：因为AA1⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，则AA1⊥AB，

由题意可以点A为原点，AB所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，平面ABCD内垂直于AB的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(0,3,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,3)，

B1(0,4,3)，C1(0,3,3)，D17.【答案】C

【解析】解：过A在面β内作AE⊥l，过D作DE/​/l，AE，DE交于E，

由BD⊥l且BD⊂β，故AE//BD且AE=BD，又AC⊥l，AC⊂α，α∩β=l，

所以平面α与平面β的夹角为∠CAE，且ABDE为矩形，即DE⊥AE，

由DE/​/l，则DE⊥AC，又AC∩AE=A，AC，AE⊂面CAE，则DE⊥8.【答案】C

【解析】解：当x>0，y>0时，

令u=x2−3x+3+y2−3y+3+x2−3xy+y2，

则u=x2+(3)2−2×3xcos30°+y2+(3)2−2×3ycos30°+x2+y29.【答案】BC【解析】【分析】本题考查点是否在平面内的判断，考查平面的法向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

利用空间向量垂直的坐标表示即可得解．【解答】

解：由平面α过点A(1,−1,2)，其法向量n=(2,−1,2)，

对于A，(2,3,3)−(1,−1,2)=(1,4,1)，

(2,−1,2)⋅(1,4,1)=2−4+2=0，

∴点(10.【答案】AC【解析】解：∵单位向量e1，e2，e3两两垂直，

∴e1⋅e2=e1⋅e3=e2⋅e3=0，

∴a⋅b=(2e1+e2+3e3)⋅(e1+e2−e3)=2e12+e22−3e32=2+1−3=0，

∴a⊥b，故A正确；

设b=λc，11.【答案】AB【解析】【分析】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法判断A、C、D【解答】

解：四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，

SA=AB，O，P分别是AC，SC的中点，M是棱SD上的动点，

以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

设SA=AB=2，则A(0,0,0)，C(2,2,0)，B(2,0,0)，P(1,1,1)，

D(0,2,0)，S(0,0,2)，O(1,1,0)，

由M是棱SD上的动点，设M(0,λ,2−λ)，(0≤λ≤2)，

∵AP=(1,112.【答案】AC【解析】解：对于A，设QQ，RR分别为ABAB，C1D1的中点，连结QR，则QR//AD1，

又QR⊄面ACD1，AD1⊂面ACD1，∴QR//平面ACD1．

∵AP=mAB+nAD1，其中m∈[0,1]，n∈[0,1]，当m=12时，点P在线段QR上运动，

而QR/​/平面ACD1，则点PP到面ACD1的距离为定值，而△ACD1的面积为定值，

因此三棱锥P−ACD1的体积为定值，故A正确；

对于B，连结BC1，设M，N分别为AD1，BC1的中点，连结MN，则MN//AB．

∵AP=mAB+nAD1，其中m∈[0,1]，n∈[0,1]，当n=12时，

点P在线段MN上运动，△ACD1的面积为定值，P到平面ACD1的距离不定，

则三棱锥P−ACD1的体积不定，故B错误；

对于C，连结BD1，则由m+n=1，可知B，P，D1三点共线，故点P在线段BD1上运动．

连结CD1，将△BCD1翻折到平面ABD1内，得到四边形ABC′D1，

其中AB=BC′=1，AD1=C′D1=2，AB⊥C′D1，BC′⊥C′D1，连接AC′，如图1，∴AC′⊥BD1，AC′=4513.【答案】2π【解析】解：由于直线l的方向向量n=(2,−23)，则直线l的斜率为−232=−3，

14.【答案】0

【解析】解：由题意，|e1|=|e2|=|e3|=1，

<e115.【答案】30【解析】解：连接B1D1，C1E，AF，EF，在平面AEF中，作FH⊥AE，H为垂足，

∵E，F分别为DD1，BB1的中点，

∴D1E=BF，D1C1=AB，∴Rt△ D1EC1≌Rt△FBA，

∴EC1=AF，同理，FC1=AE，∴四边形AFC1E是平行四边形，

∴FC1/​/AE，∴FH即为直线16.【答案】111【解析】解：如图，

连结PR，QT，交于点O，连结OK，

设OR=1，以O为原点，OR为x轴，OT为y轴，OK为z轴，建立空间直角坐标系，

则G为PK的三等分点，P(−1,0,0)，R(1,0,0)，Q(0,−1,0)，

T(0,1,0)，K(0,0,1)，H(0,−12,12)，I(0,12,12)，G(−13,0,23)，

HI=(0,1,0)17.【答案】解：(1)直线l1经过点(1,1)，斜率为2，

则y−1=2(x−1)，即y=2x−1，

则截距式为x12+y−1=1；

(2【解析】(1)由已知结合点斜式方程即可求解；

(2)结合直线垂直的斜率关系可求18.【答案】解：(1)依题意，圆锥的底面圆半径为4，而其高为3，

则圆锥的体积V1=13π×42×3=16π，

圆柱的底面圆半径为4，高为5，

则圆柱的体积V2=π×42×5=80π，

所以这个组合体的体积为V1+V2=16π+80π=96π；

(2)连接FC，FD，FO′，由F为半圆弧CD的中点，

得FC=FD，FO⊥DC，而AD⊥平面FDC，FO⊂平面FDC，

则【解析】(1)利用圆锥、圆柱体积公式计算即可．

(2)先根据线面垂直的判定与性质可得F−PA19.【答案】解：(1)依题意，男生数学知识竞赛成绩的平均数x−=120i=120xi=120=6，

所以男生数学知识竞赛成绩的方差s2=120i=120xi2−x−2=120×788−62=3.4，

由男生与女生的人数比为1：2，而男生人数为20，则女生人数为40，总人数为60，

显然女生的总分为60×4−120=120，

所以女生数学知识竞赛的成绩的平均分为120÷40=3，

样本中，数学知识竞赛优秀的男生有6人，其中分数为8分的有5人，记这5人为a，b，c，d，e，记分数为9分的1人为F，

从6人中任意抽取2人的结果有：ab，a【解析】(1)利用给定数据，结合方差的定义计算即得；(2)利用平均数的定义直接列式计算得解；20.【答案】解：(1)证明：∵平面ABCD⊥平面EAB，且两平面的交线为AB，

AD⊂平面ABCD，AD⊥AB，

∴AD⊥平面EAB，又EF⊂平面EAB，∴EF⊥AD，

又F在以AE为直径的半圆上，∴EF⊥AF，

∵AD∩AF=A，EF⊥平面ADF．

(2)过F在平面ABEF内作FH⊥AB，交BA的延长线于点H，

则FH⊥平面ABCD，

过H作GH⊥BD交BD于点G，连接FG，

∵FH【解析】(1)根据面面垂直，可得线面垂直，进而利用线线垂直，能证明线面垂直；

(2)根据二面的几何法求出其平面角，进而由三角形边角关系能求出二面角21.【答案】解：(1)证明：连接AC，则△ABC，△ACD均为等边三角形，则由CD⊥AE，

因为PA⊥面ABCD，CD⊂面ABCD，

所以PA⊥CD，

又因为PA∩AE=A，

所以CD⊥面PAE，

又因为CD⊂面PCD，

所以平面PCD⊥面PAE．

(2)因为△ABC，△ACD均为等边三角形，

所以∠BAC=60°，∠CAE=30°，

所以∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，

所以BA⊥AE，

由PA⊥面ABCD，得BA，AE，PA两两垂直，

以A为原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则P(0,0,2