与三角形高上任一点相关相等问题

(上海市格致中学

λc

+a

-1+μb

+h

-1=1994年加拿大数学奥林匹克有一道几

取λ1,μ=-1DE 从△ABC的顶点A引BC的

xc

+ya

=1b1h,D,ADH,BH1b1h

DFACECH交ABFADEDDF所成的角1]

x1-

+y1-

=证明:如图1,先建立直角坐标系.设A0,a)、Bb,0)、C(c0)、H(0,h).则ACBH 图

kDE=-kDFADEDDF所成的角1及同一法易得 点EF分别在ACAB上,∠ADE=∠ADF.BECF的交点在高线AD上 当点H在AD上变化时,直x+y

=1,b

+h

=

EFBC上的一个定点,E

:设EFBCP.由梅涅劳斯定理(PEFABC收稿日期:2005-10-

EAFB

EAFB,再次同中求异只有一个端点是红色,所以,在上面统计一端为红色的线段的数目中,只被计入了一次第统计中,被计入了两次于是,可得出所有的红一次至此,问题里的关系已全部理清.:根据题意可计算得出点阵中相邻两480条.x条红线段.又已知黄线段196,根据上述分析有

2x+196=4+96+396=x,150条红线段480-196-150134条,134条蓝线段32个红点在方阵的边界上2个红点在方196条黄线段这些具体的数字和数字之间的各种巧合关系,而在于怎样分析性质这些内在规律,,上面列举的这些数字无论怎么变动,解题的钥匙始终握在我们的手中.

PF

BD-

PAB的高,P,EF恒过定点 若BC上存在点P满足BP

1EFCFD1例 如图3,在锐角△ABC中,AO平DCBDCP四点成调和点列)PEF,ADBECF,∠ADE=证明由梅涅劳斯定理直线PEF

∠BAC过点O分OPOQ其垂足分别为PQ线段CPBQ交于点W.延长AW交 图EAFB

F求证 ·CEAFBD= ·EAFBADBECF三线共点.1ADE=1l的一侧画一个半圆Γ,CD是Γ,ΓCD的切线lBA半圆的圆心在线段EACBD,Fl上的,EF⊥l.求证:EFCFD[2].:2ADBC交PPF′⊥F.DO、四点共 F.FBO 平分线及PC=PD PC

1例3 设BC是⊙O直径,在BC所在的直线上取两点D(在BC间)P,满足BDBP,POPEF求证∠BDF=∠CDE∠OFD=∠OED=∠FPO证明:1)4,BFCE交于A.由结论BECF知AD⊥BC, 图,∠ADF=∠BDF=(2BFHDCEHD分别四点∠FDH=∠FBH=∠ECH=∠EDH.EDF=2∠FBE=∠EOF.ODEF四点共圆BDF=∠OPF+=∠OPF+∠EODCDE=∠EOD+∠OED,∠OFD=∠OED=∠FPO 324IMO2题例 已知A为平面上两半径不等⊙O1O2的一个交点两外公切线P1P2Q1Q2分别切两圆于P1P2Q1Q2,M1M2分别是P1Q1P2Q2的中点.求证:∠O1AO2=∠M1AM25设P1P2Q1Q2交O1HO1O2DE111111

B1B2O1O2S4∠O1P1M1=∠O1SP11Q.SQA2=∠S1A1=∠SA1P1似),A1A2QP1四点共圆,P2Q重合O1P1M1=∠O1SP1=∠O2P2M2例 如图7,在四边形ABCD中,对ACF,DFBCG求证∠GAC=(1999全国高中数学联赛进一步可得DM1M1 3O1AM1=∠AHO1∠AHO2=∠O2AM2∠O1AO2=∠M1AM231990年中国国家集训队15题3]例5 已知⊙O1和⊙O2外离,两条公切线分别切⊙O1于A1B1,切⊙O2于A2、B2,弦A1B1A2B2分别交直线O1O2于M1M2⊙OA1A2O1O2P1P2求证:∠O1P1M1=∠O2P2M2:,命题显然成立6当两圆半径不等时设A1A2

:AB=AD,ABCD是筝,结论成立.AB≠ADAAC的垂线与2知,BAC=∠DACBNDMHAC上BNEDMG,BNDM的HBEDGFNEMG的交C,BD、MNEG三线共点.34知∠GAC=注BGNDEM因为BD、GENM三线共点由笛沙格定理知BNDMHBGDECGNEMAC.1得例 设H是锐角△ABC的高线CP图 的任一点,直线AHBH分别交BCAC于(1证明∠NPC=∠MPC(2设OMNCP,一条通过OCNHMD、E两点.证明:∠EPC=∠DPC.(2003保加利亚数学奥林匹克

OPABBFQT,OMQFS.求证:ETS三点共线.引理的证明:9FCB截△AED得(11即得

AFDC(2)8,延长PEACG联结PDAM交于K.在△

=1EOF 图与△KDMGE与KD的 图

FA=1

DP

P,ENBGNKMA,故由笛GKEDMN三线共点O.

PDOMPDOMGENDKMGEDK的交PENKMHGNDM

MSOQEF得

FOEC故由笛沙格定理的逆定理知GDEKMNMNQ,故由笛沙格定理知GK与DEOMKNEH,GMDN,即GMDNCP上.AGMBDNAGBD的交CAMBNH,GMDN的交点MNABQ.

FTSFTBETSFTB:10,OP交AEQ交BF于T,联结QFODS由引理知E、TS三点共线.在△QEF=34GPC=8ABCD的两组对边的为P,过PPO⊥EFO.求证:

∠BOP=∠COP