机械振动(总复习资料)

,.机械振动基础目录第一章导论§1.1引言§1.2振动的分类§1.3离散系统各元件的特征§1.4简谐振动及其表示方法§1.5叠加原理§1.6振动的幅值度量第二章单自由度系统§2.1引言§2.2无阻尼自由振动§2.3阻尼自由振动§2.4单自由度系统的简谐强迫振动§2.5简谐强迫振动理论的应用§2.6周期强迫振动§2.7非周期强迫振动第三章 二自由度系统§3.1引言§3.2运动微分方程,.§3.3不同坐标系下的运动微分方程§3.4无阻尼自由振动第四章 多自由度系统§4.1运动微分方程§4.2固有频率与振型§4.3动力响应分析§4.4动力响应分析中的变换方法第五章 随机振动§5.1随机过程§5.2随机过程的数字特征§5.3平稳过程和各态历经过程§5.4正态随机过程§5.5相关函数§5.6功率谱密度函数§5.7线性振动系统在单——随机激励下的响应§5.8线性系统在两个随机激励下的响应,.第一章 导 论§1.1 引言振动：指一个物理量在它的平均值附近不停地经过极大值和精品文档放心下载极小值而往复变化。机械振动：机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运谢谢阅读动。机械振动研究对象：机械或结构，在理论分析中要将实际的感谢阅读机械或结构抽象为力学模型，即形成一个力学系统。激励或输入：外界对振动系统的激励或作用。响应或输出：系统对外界影响的反应，如振动系统某部位产精品文档放心下载生的位移、速度、加速度及应力等。机械振动研究内容：研究激励、响应和系统三者之间的关系。谢谢阅读激励 响应系统输入 输出激励、系统和响应三者知其二可求出第三者。,.常见的振动问题的三种基本课题：1．振动设计已知外界激励的条件下设计系统的振动特性，使其响应满足预期的要求。感谢阅读2．系统识别根据已知的激励与响应的特性分析系统的性质，得到振动系统的全部参数。感谢阅读3．环境预测已知系统振动性质和响应，研究激励的特性。谢谢阅读§1.2 振动的分类1.2.1 线性振动和非线性振动振动可分成线性振动和非线性振动两种。线性振动：系统在振动过程中，振动系统的惯性力、阻尼力、弹性力分别与绝对加速度、相对速度、相对位移成线谢谢阅读性关系。线性振动系统可以用线性微分方程描述。非线性振动：系统的惯性力、阻尼力、弹性力与绝对加速度、相对速度、相对位移不是线性关系。非线性振动系统精品文档放心下载只能用非线性微分方程描述。1.2.2 确定性振动和随机振动确定性振动：系统的振动对任意时刻t，都可以预测描感谢阅读述它的物理量的确定的值x。反之为随机振动。在确定性振动中，振动系统的物理量可以用随时间变化的函数描述。,.随机振动只能用概率统计方法描述。1.2.3 离散系统和连续系统系统的自由度数：描述系统运动所需要的独立坐标的数目。连续系统：振动系统的质量和刚度都是连续分布的，需要无限多个自由度才能描述它们的振动，它们的运动微分方谢谢阅读程是偏微分方程。离散系统：在结构的质量和刚度分布很不均匀时，或为了解决实际问题的需要，把连续结构简化为由若干个集中质谢谢阅读量、集中阻尼和集中刚度组成的系统。离散系统是指系统只谢谢阅读有有限个自由度。描述离散系统的振动可用常微分方程。1.2.4 其他的分类按外界激励情况和系统对激励的响应情况分类。按激励情况分类：自由振动：系统在初始激励下或原有的激励消失后的振动。强迫振动：系统在持续的外界激励作用下产生的振动。按响应情况分类：大致可分为确定性振动和随机振动。其中确定性振动又可分为：精品文档放心下载简谐振动：振动的物理量为时间的正弦或余弦函数。周期振动：振动的物理量为时间的周期函数，可用谐波感谢阅读,.分析的方法归结为一系列简谐振动的叠加。显然，简谐振动也是周期振动。精品文档放心下载瞬态振动：振动的物理量为时间的非周期函数，在实际的振动中通常只在一段时间内存在。谢谢阅读§1.3 离散系统各元件的特征离散振动系统三个最基本的元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。弹性元件：忽略其质量和阻尼，在振动过程中储存和释放势能。弹性力与其两端的相对位移成比例，方向相反。k(xx)s2 2 1线性扭转弹簧：k()s2 t 2 1阻尼元件：在振动过程中消耗振动能量。在线性振动系统中，阻尼力的大小与阻尼元件两端的相对速度成比例，方精品文档放心下载向相反，这种阻尼又称为粘性阻尼。忽略粘性阻尼元件的质感谢阅读量和弹性。c(xx)d2 2 1惯性元件：完全刚性且无阻尼，在振动过程中储存和释放动能。集中质量的惯性力与惯性坐标系下的加速度(绝对加感谢阅读速度)成正比，方向相反。,.mxm扭转振动系统：Im若干个元件串联或并联的情况，等效刚度、等效阻尼和等效质量。精品文档放心下载§1.4 简谐振动及其表示方法1.4.1 简谐振动周期运动满足x(tT)x(t)简谐运动满足：x(t)Asin(t)或)x(t)Bcos(t2TT121.4.2 两种常用的简谐振动表示方法1.向量表示法2.复数表示法§1.5 叠加原理叠加原理：一个线性振动系统，激励F1(t)、F2(t)、……感谢阅读,.Fn(t)，分别对应于响应 x1(t)、x2(t)、……xn(t)，若激励为谢谢阅读F(t)=cF(t)+cF(t)+......+cF(t)，xt11122nn则有对应的响应()=c1x1(t)+c2x2(t)+......+cnxn(t)成立。§1.6振动的幅值度量1．峰值Xx(t)max2．平均值lim1T03．均方值2lim1T2xTT0x(t)dt4．均方根值(rms)是x2的平方根。xx2rms第二章单自由度系统基本内容：无阻尼自由振动阻尼自由振动单自由度系统的简谐强迫振动简谐强迫振动理论的应用周期强迫振动,.非周期强迫振动§2.1 引言单自由度系统：只有一个自由度的振动系统。可用一个常系数的二阶线性常微分方程描述其振动规律。§2.2 无阻尼自由振动自由振动：系统在初始激励下或外加激励消失后的一种振动形态。2.2.1 运动微分方程列出系统的运动微分方程步骤：取一个坐标系，原点为静平衡时质量所在位置。设质量沿坐标正向有一移动，考察质量的受力情况，画出隔离体图。精品文档放心下载按牛顿第二定律写出运动微分方程。确定系统初始的运动状态。mxkx0x(0)x,x(0)x0 0或x2x0nx,x(0)x00,.系统的固有频： k/mn方程的通解为：xAcostAsintAcos(t)1n2nnAx,Ax/1020nAx2(x/)2arctgx000nx0n单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动。周期：T22mkn频率：fn11kn系统的动能、势能：E121kx2mx,U2t2d(EU)0t即UE常数t无阻尼自由振动时，振动系统为一保守系统，总机械能在运动中保持不变。谢谢阅读EU1kA2Etmaxmax2定义动能系数：T'1mA21mx222max2k/mU/T'nmax对于单自由度系统无阻尼自由振动系统，有以下结论：1.单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动。运动的中点为感谢阅读,.系统的静平衡位置。2.振动频率只与系统的刚度、质量有关。3.、f与k成正比而与m成反比。nn4.振动得以维持的原因是系统有储存动能的惯性元件和储感谢阅读存势能的弹性元件。振动时动能、势能不断相互转换。上面的结论与坐标系的选择无关，但选择合适的坐标系有助于简化问题的求解。2.2.2 求固有频率的方法方法1：列出系统运动微分方程，求出系统的固有频率，精品文档放心下载k/m。需已知系统的刚度和质量。n方法2：静态位移法。根据虎克定律，弹簧质量系统静止时精品文档放心下载在重力的作用下弹簧被压缩，有：kmg故： 2k/mg/n方法3：能量法。用能量法求固有频率有两种方法：①一种方法是求出系统的动能和势能，再根据d(EU)0求出系统的运动微分方程，从而得到固有频率。感谢阅读t②另一种方程是求出系统的最大势能和动能系数T'1mA21mx2，然后根据2k/mU/T'求出固22maxnmax有频率。2.2.3 有效质量离散系统模型约定，系统的质量集中在惯性元件上，弹,.性元件无质量。当弹性元件的质量占系统质量的相当部分时，略去它会使计算得到的固有频率住偏高。感谢阅读可以采用能量等效的方法，加大惯性元件的数值，使惯性元件的动能等于系统的总动能，再把弹性元件的质量略去。精品文档放心下载对于质量均布弹簧，在考虑弹簧质量的条件下，系统的固有频率：精品文档放心下载nk系统在动能意义下的质量为系统的等效质量。它并不一定等于系统惯性元件的质量加上其他元件的质量。感谢阅读等效刚度的定义同理。§2.3 阻尼自由振动阻尼：度量系统自身消耗振动能量的能力的物理量。最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼粘性阻尼力的大小与相对速度成正比，方向与速度方向相反。阻尼自由振动系统运动微分方程为：mxx(0)

cxkx0,x(0)x0 0定义系统的临界阻尼：c2mk2men,.定义为系统的阻尼比（相对阻尼系数）：ccc2m2mkc感谢阅读n 0利用，可把阻尼自由振动系统运动微分方程为变换为：谢谢阅读x2x2x0n n根据的大小，可得到三种不同形式的解：>1：强阻尼(过阻尼)。系统运动微分方程的通解为：xent(Ae21ntAe21nt)12A1(xxx0n0)1,22021n强阻尼情况下系统的运动不是振动。2.＝1：临界阻尼。系统运动微分方程的通解为：xAentAtent12xAx,Ax1020n0临界阻尼情况下系统的运动也不是振动。3. <1：弱阻尼。系统运动微分方程的通解为：xent(ccostcsint)Xentcos(t)1d2ddcx,c(xx)/精品文档放心下载1 0 2 0 n 0 d,.定义阻尼固有频率： 12d n只有当弱阻尼时，系统的运动才是振动（衰减振动）。随着精品文档放心下载时间增长，即t趋于无穷时，振动逐渐衰减为零，系统趋于谢谢阅读静止。由于有衰减项ent，振动既不是简谐振动，也不是周谢谢阅读期振动。在阻尼自由振动时，振动的振幅随时间增长按指数谢谢阅读规律衰减。阻尼对自由振动的频率，周期都有影响。12d2TnTd12d由于存在阻尼，振动频率降低，振动周期增大。阻尼对阻尼自由振动的振幅影响很大。由于阻尼的存在，可精品文档放心下载有效地抑制振幅。定义对数衰减率：x2ln1x122有：(2)22可以测出系统阻尼自由振动时的响应，求出对数衰减率，进而得到系统的阻尼比。感谢阅读§2.4 单自由度系统的简谐强迫振动简谐强迫振动：激励是时间简谐函数。,.2.4.1 系统在简谐激励下的响应单自由度简谐强迫振动系统运动微分方程：mxcxkxf(t)简谐激励：f(t)FcostkAcost定义为：AF0A/k0简谐强迫振动系统运动微分方程：x2x2x2Acost精品文档放心下载n n n单自由度简谐强迫振动系统运动微分方程是 二阶常系数非齐次线性常微分方程。它的解由两部分组成：通解+特解一部分是方程x2x2x0对应的齐次方程的通精品文档放心下载n n解，由于系统存在阻尼，这部分解只在振动开始后的一段时感谢阅读间内有意义，超过这段时间后，由于阻尼的影响，最终被衰精品文档放心下载减到零（瞬态响应）。另一部分是22Acost的一个特解，它x2xxnnn表示系统在简谐激励下的强迫振动，为稳态解，其响应称为谢谢阅读稳态响应。特解可表示为：xXcos(t)XA[1(/)2]2(2/)2nnarctg2/1n(/)2n,.稳态解（特解）为Acos[tarctg2/]1(/n)2x(t)n[1(/)2]2(2/)2nn单自由度系统受简谐激励的微分方程的解为：xxXcos(t)1从稳态解（特解）可以得出：激励幅值的大小只影响稳态响应的幅值，二者之间成正比，并不影响稳态响应的相角。精品文档放心下载而激励频率既影响稳态响应的幅值，也影响稳态响应的相角。2.4.2复频率响应幅频特性与相频特性定义复频率响应H()：H()1)2i2(/)1(/nn()的模为系统的放大因子：H()1[1(/)2]2(2/)2nnAAH()或H()X/AX[1(/)2]2(2/)2nn()为复频率响应H()的幅角：()arctg2/n1(/)2n系统在简谐激励下的稳态响应（稳态解）可表示为：Re[z]Re[AH()ei(t)]精品文档放心下载AH()cos(t)引入复频率响应的意义：复频率响应H()可以用来描述精品文档放心下载激励频率对系统稳态响应的影响。它的模H()体现了激励频精品文档放心下载,.率对响应幅值的影响，它的幅角()体现了激励频率对响应精品文档放心下载相位的影响，静位移A体现了激励幅值对响应幅值的影响。感谢阅读系统的复频率响应只取决于两个参数：激励频率和系统固有频率的比值(频率比)/和系统的阻尼比即精品文档放心下载nH()H(/,)n幅频特性图和相频特性图：横坐标---频率比/，系谢谢阅读n统的阻尼比为参数，纵坐标---放大因子H()或相角。精品文档放心下载图 幅频特性图和相频特性图从幅频特性图和相频特性图可以看出：1/2时（﹥0.707），放大因子没有峰值。这时谢谢阅读在整个频率范围内，H()≤l。通常把1/2称为小阻尼情况。只有在小阻尼情况下，放大因子H()才在>0时有峰谢谢阅读值，而且峰值H()max>1。关注0、 、这三个特殊点，H()和()分别为谢谢阅读nH(0)1,H()0,H()1n2(0)0,(),()/2谢谢阅读n,.根据频率比/的大小，可以把系统响应分成三个不感谢阅读n同的范围，由向量图可清楚看出这三个范围的特点。①当/<<1时：激励主要是与弹性力平衡。因为激谢谢阅读n励的频率很低，系统的速度、加速度都很小，相应地阻尼力、惯性力也很小，响应的振幅接近于静位移。感谢阅读②当/>>1：激励主要是与惯性力平衡。因为激励感谢阅读n频率很高，使激励力方向变化过快，系统由于惯性来不及跟随。感谢阅读③当即共振时：响应的振幅比静位移大，激励力精品文档放心下载n与阻尼力平衡，弹性力与惯性力平衡。称/＝1附近为系感谢阅读n统的共振区。峰值点并不在频率比/=l的位置，而在n/122处，即激励频率小于固有频率的地方。谢谢阅读n2.4.3 能量关系与等效阻尼1.能量关系对于无阻尼系统，由于无阻尼，振动时无能量消耗。当激励频率时，无能量输入，外力对系统不做功。当感谢阅读n n时，外力对系统做功，使系统能量越来越大，以致振动的振感谢阅读幅越来越大。无阻尼系统受简谐激励时，如果激励频率等于系统固有频率，由于系统无阻尼，因此外力对系统做的功全部转成系精品文档放心下载统的机械能即振动的能量。外力持续给系统输入能量，使系谢谢阅读,.统的振动能量直线上升，振幅逐渐增大。由此可知，即使是谢谢阅读无阻尼系统共振时，也需要一定的时间来积累振动能量。在感谢阅读实际中有些机械结构在起动或停机时无法避免通过共振区，谢谢阅读为避免在共振区给结构造成损坏，可以采用迅速通过共振区精品文档放心下载的办法来解决。等效阻尼假定系统做简谐振动，令原系统耗散的能量与粘性阻尼耗散的能量相同，从而求出等效阻尼系数。§2.5 简谐强迫振动理论的应用2.5.1 旋转失衡引起的强迫振动,.图 失衡激励下的幅频特性图、相频特性图特点：①当/ 0，即转速远低于系统的固有频率时，谢谢阅读nMm•Xe0，也就是说失衡激励引起的振动很小。谢谢阅读②当/，即转速远高于系统的固有频率时，感谢阅读nMm•Xe1，即响应的振幅XmeM，为一个确定的值。感谢阅读/1，即转速接近但略高于系统的固有频率时，感谢阅读n响应的振幅最大（共振），2.5.2 支承运动引起的强迫振动,.图支承激励下系统的幅频特性图、相频特性图特点：①当

/

2时，无论阻尼比

为何值，响应幅值总n是与激励幅值相等，即X/A＝l。②当/ 2时，阻尼抑制了响应的幅值，阻尼比越谢谢阅读n大，响应的幅值越小。但无论阻尼为何值，响应的幅值总大于支承运动的幅值，即X>A。感谢阅读③当/ 2时，响应的幅值总小于支承运动的幅值，感谢阅读nX<A。但越大，响应的幅值反而增大。2.5.3隔振原理振动隔离指将机器或结构与周围环境用减振装置隔离，它是消除振动危害的重要手段。积极隔振：自身是振源，为减少其对周围环境的影响，将其与支承它的基础隔离开。消极隔振：对允许振动很小的精密仪器和设备，为减少周围环境振动对其影响，需要把它与支承它的基础隔离。两种隔振的原理相似，基本作法都是把需要隔离的机器设备安装在合适的具有弹性和阻尼的减振装置或隔振装置上，使大部分振动被减振装置或隔振装置吸收，以阻断振动精品文档放心下载的传递。,.隔振与频率比和阻尼比的关系图（振源作简谐振动时）隔振要求：①无论阻尼大小，仅当频率比/ 2才有隔振效果。精品文档放心下载n即在隔振设计中，系统的固有频率要小于振源振动频率。随精品文档放心下载/增大，隔振效果提高，在实际应用中取/2.5~5已足nn够。②在/ 2时，阻尼增大使隔振系数增大，降低了隔精品文档放心下载n振效果。但阻尼比不是越小越好，实际问题中激励频率是由谢谢阅读零逐步增加到某一定值，此过程中不可避免要与系统的固有精品文档放心下载频率重合，产生共振。阻尼过小将使系统过共振时振幅过大，精品文档放心下载造成破坏，因而要兼顾。一般希望有点阻尼以限制过共振时谢谢阅读的振幅，但又不要太大以免降低隔振效果。常用的隔振材料谢谢阅读阻尼并不大，因此在/ 2.5以后计算隔振系数时可不考虑感谢阅读n阻尼的影响。,.2.5.4 惯性式测振仪原理图惯性式测振仪系统的幅频特性图、相频特性图①当/1，即激励频率远小于系统固有频率时，感谢阅读nH()1，ZA(/)2n测振仪壳体（被测结构）的加速度幅值：yA2，即Z与测振仪壳体的加速度幅值成比例（加速度计）。精品文档放心下载加速度计是高固有频率仪器。②当/1，即激励频率很高时，ZA(/2H()Ann即激励频率很高时，测振仪的质量块在惯性空间中几乎保持不动，与结构相接的仪器壳体相对质量块运动。仪器的谢谢阅读相对振幅Z与激励幅值A相等，此时仪器用于测量振动位移谢谢阅读（位移计）。,.位移计是低固有频率仪器。2.5.5 转轴的横向振动特点：①如果转轴的转速远小于 时，圆盘的挠度精品文档放心下载n很小。②当即共振时，圆盘的挠度为e，如果阻尼很n2小，圆盘的挠度将很大。③当时，圆盘的挠度约等于感谢阅读ne。§2.6 周期强迫振动周期强迫振动的求解方法：①如果周期激励中的某一谐波的幅值比其他谐波的幅值大的多，可视为简谐激励。②反精品文档放心下载之，则应按周期激励求解。求解周期激励下系统的响应问题感谢阅读需要将激励展为傅里叶级数，然后分别求出各个谐波所引起感谢阅读响应，再利用叠加原理得到系统的响应。在周期激励时，只要系统固有频率与激励中某一谐波频率接近就会发生共振。,.§2.7 非周期强迫振动采用卷积积分处理：在系统受任意持续的激励时，按照高等数学中积分时对被积函数的处理，可把激励看为一系列谢谢阅读脉冲力的叠加。2.7.2 傅里叶变换方法傅里叶变换：在频率域内分析激励频谱，响应频谱以及系统精品文档放心下载特性的频域描述之间的关系。2.7.3 拉普拉斯变换方法第三章二自由度系统§3.1引 言多自由度系统：指需要用两个或两个以上的独立坐标才能描述其运动的振动系统。精品文档放心下载§3.2 运动微分方程[M]{x}[C]{x}[K]{x}{F(t)}精品文档放心下载求系统的运动微分方程的一种比较简单的方法：先求出系统的动能、势能和能量耗散函数，然后利用：mij2ET,kij2U,cij2D求出系统的质量矩阵、阻xxxxxxijijij尼矩阵和刚度矩阵，最终求出系统的运动微分方程。,.§3.3 不同坐标系下的运动微分方程系统的质量矩阵和刚度矩阵(包括阻尼矩阵)的具体形式与所选取的描述系统振动的广义坐标有关，合适的广义坐标能够解除方程的耦合。由于不同广义坐标之间存在着线性变换关系，所以，方程解耦的问题就归结为寻找一个合适的线性变换矩阵[u]，使变换后系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵成为对角矩阵。谢谢阅读§3.4 无阻尼自由振动1、基本概念固有频率固有振型（振型）振型图：用图形直观显示固有振动时各个坐标之间的相互位置关系（横坐标表示系统各点的静平衡位置，纵坐标表感谢阅读示各点的振幅比）2、二自由度无阻尼系统的固有频率、振型和自由振动响应感谢阅读的求解方法（1）利用特殊初始条件（对称或反对称条件）（2）任意的二自由度无阻尼系统的固有频率、振型和自由精品文档放心下载振动响应的求解方法步骤：①求系统的质量矩阵和刚度矩阵；②列出系统的特征方程或频率方程 (2)[K]2[M]k2m0求出精品文档放心下载ij ij,.2 个固有频率；③将 2 个固有频率依次代入感谢阅读([K]2[M]){u}0求出各自对应的振型；④求系统的响应。感谢阅读第四章 多自由度系统多自由度振动系统：指需要用两个或两个以上的独立坐标才能描述其运动的振动系统。描述其振动的运动微分方程为常微分方程组。本章主要内容：①多自由度系统振动的基本理论；②多自由度系统的固有频率和振型；③多自由度系统动力响应分析--振型迭加方法；④多自由度系统动力响应分析--变换法（傅里叶变换和拉普拉斯变换）。§4.1 运动微分方程个自由度的振动系统的运动微分方程可以写为[M]{x}[C]{x}[K]{x}{f}谢谢阅读{x(0)}{x},{x(0)}{x}00刚度矩阵[K]各元素kij的意义（定义法求刚度矩阵）：如感谢阅读果系统的第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其精品文档放心下载余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需精品文档放心下载要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施加的外感谢阅读,.力就是kij。系统的质量矩阵、阻尼矩阵定义类似。能量法求解系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵。m2E2EmTTijjiijjic2D2Dcijjiijjik2U2Ukijxxxxjiijji质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均为对称矩阵。[M]{x}[C]{x}[K]{x}{f}方程{x(0)}{x},的求解方法：{x(0)}{x}00寻找一个新的描述系统运动的广义坐标系，在这个新的坐标系下，系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵为对角矩感谢阅读阵。§4.2 固有频率与振型在无阻尼自由振动时，系统的运动微分方程为：[M]{x}[K]{x}0求固有频率：,.①由频率方程k2m0求得n个固有频率2，2，…，ijij122。n依次代入方程([M][K]){u}0可②将固有频率22r以求出与2相对应的非零的振型{ur}。r由于([K]2[M]){u}0只给出了振型的方向，而振型r r的大小需要人为指定（振型的正规化）。振型的正规化：指定振型的大小。常用的两种振型正规化方案：(1)令{ur}满足{u}T[M]{u}1r r此时有：{u}T[K]{u}2{u}T[M]{u}2精品文档放心下载r r r r r r(2)令{ur}的某一分量为1。比如在振动模态实验中常常取{ur}的分量中绝对值最大的分量为1，这样便于对振型和实际结构进行分析。再令谢谢阅读{u}T[M]{u}Mr r r此时有：K{u}T[K]{u}2{u}[M]{u}2M感谢阅读r r r r r r r r振型的一个重要性质：属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量矩阵和刚度矩阵为权正交（振型的正交性）。谢谢阅读即：如果当rs时，，则必然有rs{u}T[M]{u}0sr{u}T[K]{u}0sr,.振型正交性的物理意义：系统的动能和势能均分别为各阶动能和势能之和；各个振型之间的动能、势能不交换，各振型在振动时相互独立、互不影响。精品文档放心下载振型的正交性和正规化可用统一的公式表达（振型的正规正交化条件）。精品文档放心下载1rsrsrs0如果取振型正规化为{u}T[M]{u}1，则振型的正规正交化精品文档放心下载r r条件可以写为{u}T[M]{u}s r rs{u}T[K]{u}2 1r,sn感谢阅读s r r rs如果取振型正规化为{u}T[M]{u}M，则振型的正规正交谢谢阅读r r r化条件可以写为{u}T[M]{u}Ms r r rs{u}T[K]{u}K 2M 1r,sn精品文档放心下载s r r rs r r rs振型矩阵[u]：列向量为相应的振型，即[u][{u},{u},{u}]1 2 n由全体振型构成的向量组线性无关。振型矩阵[u]就是线感谢阅读性变换的矩阵。在振型坐标下n自由度系统无阻尼自由振动的运动微分精品文档放心下载方程：{x}=[u]{y}[M][u]{y}[K][u]{y}0谢谢阅读,.{y(0)}[M]1[u]T[M]{x(0)}感谢阅读1{y(0)}[M]1[u]T[M]{x(0)}谢谢阅读1[M][u]T[M][u]1[K][u]T[K][u]1①如果振型取{u}T[M]{u}1、{u}T[K]{u}2正规rrrrr化：2]{y}0{y}[r{y(0)}[u]T[M]{x(0)}T②如果振型取{u}T[M]{u}M、K{u}T[K]{u}2Mrrrrrrrr正规化：[M{y(0)}{y(0)}

]{y}[K]{y}0r r[M]1[u]T[M]{x(0)}r[M]1[u]T[M]{x(0)}r§4.3 动力响应分析动力响应分析：系统在外部激励作用下的响应分析。常用的动力响应分析方法：振型叠加法（本书讨论的内容）和逐步积分法，后者是数值积分方法。这两种方法的特谢谢阅读点是适于已知系统的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激励，感谢阅读求系统响应的情况，且便于用计算机编程求解。振型叠加法步骤：,.振型叠加方法求解式骤如下：

[M]{x}[C]{x}[K]{x}{f}精品文档放心下载{x(0)}{x},的步{x(0)}{x}00①首先由(2[M]