中考数学专题复习之一次函数1

中考数学专题复习之一次函数1一、函数（function）定义：设在一个变化过程中,有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应就确定了一个y的值，就说y是x的函数．x是自变量，y是因变量.要理解函数的概念需要注意两点：第一，自变量x必须要在“特定意义范围内取值”,如表达式是：1.整式，x取一切实数；2.分式，x取分母不为零的数；3.二次根式，x取使被开方数为非负数的数，三次根式，则x取一切实数；4.实际问题则根据实际需要来确定.第二.函数关系是变量x与y的一种特殊对应关系（呈现方式可以是表达式、图象或表格），而且对自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应．所谓“唯一”就是有一个且只有一个．二、函数的性质（一）、正比例函数y＝kx的性质(1)正比例函数y＝kx的图象都经过原点(0,0),(1，k)两点的一条直线(2)当k＞0时，图象都经过一、三象限；当k＜0时，图象都经过二、四象限(3)当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。（二）、一次函数y＝kx＋b的性质(1)一次函数y＝kx＋b的图像都经过过(0,b),(1，k+b)两点的一条直线(2)当K〈0，b〈O，则经二、三、四象限；当K〈0，b〉0时，则经一、二、四象限；(3)当K〉0，b〈0时，则经一、三、四象限；当K〉0，b〉0时，则经一、二、三象限。(4)当K〉0时，Y的值随X值的增大而增大，当X〈0时，Y的值随X值的增大而减少。增减性与无关.这里的值可以决定直线倾斜的方向，的值可以决定直线与轴相交的交点的位置.三、五种类型一次函数解析式的确定确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。下面就确定一次函数的解析式的题型作如下的归纳，供同学们学习时参考。（一）、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式例1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。分析：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，点的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把x=2，y=-6代入解析式中，就可以求出b的值。函数的解析式就确定出来了。解：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，把x=2，y=-6代入解析式中，得：-6=3×2+b，解得：b=-12，所以，函数的解析式是：y=3x-12.（二）、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式例2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），求函数的表达式。分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含k的代数式分别表示b，因为b是同一个，这样建立起一个关于k的一元一次方程，这样就可以把k的值求出来，然后，就转化成例1的问题了。解：因为，直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），所以，4=3k+b，7=2k+b，所以，b=4-3k，b=7-2k，所以，4-3k=7-2k，解得：k=-3，所以，函数变为：y=-3x+b，把x=3，y=4代入上式中，得：4=-3×3+b，解得：b=13，所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。（三）、根据函数的图像，确定函数的解析式例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系．求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。分析：根据图形是线段，是直线上的一部分，所以，我们可以确定油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，明白这些后，就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。解：因为，函数的图像是直线，所以，油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，设：一次函数的表达式为：y=kx+b，因为，图像经过点A（0，40），B（8，0），所以，把x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入y=kx+b中，得：40=k×0+b，0=8k+b解得：k=-5，b=40，所以，一次函数的表达式为：y=-5x+40。当汽车没有行驶时，油箱里的油是40升，此时，行驶的时间是0小时；当汽车油箱里的油是0升，此时，行驶的时间是8小时，所以，自变量x的范围是：0≤x≤8.（四）、根据平移规律，确定函数的解析式例4、如图2，将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是．（08年上海市）分析：仔细观察图像，直线OA经过坐标原点，所以，直线OA表示的一个正比例函数的图像，并且当x=2时y=4，这样，我们就可以求出，平移的起始函数的解析式，根据函数平移的规律，就可以确定一次函数的解析式。把正比例函数y=kx（k≠0）的图像向上或者向下平移|b|个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k≠0，b≠0）的图像。具体平移要领：当b＞0时，把正比例函数y=kx（k≠0）的图像向上平移b个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k≠0）的图像。当b＜0时，把正比例函数y=kx（k≠0）的图像向下平移|b|个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k≠0）的图像。解：因为，直线OA经过坐标原点，所以，直线OA表示的一个正比例函数的图像，设y=kx，把x=2，y=4代入上式，得：4=2k，解得：k=2，所以，正比例函数的解析式为：y=2x，所以，直线向上平移1个单位，所得解析式为：y=2x+1，所以，这个一次函数的解析式是y=2x+1。（五）、根据直线的对称性，确定函数的解析式例5、已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于y轴对称，求k、b的值。分析：直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于y轴对称，所以，对称点的横坐标互为相反数，纵坐标保持不变，这可以是解题的理论依据，当然，也可以从已知直线解析式的图像上，确定出两个点的坐标，分别求出它们关于y轴的对称点的坐标，然后利用待定系数法，计算出k、b的值。解法1：设A（x，y）是直线y=-3x+7上一个点，其关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），则有：y=-3x+7，y=-kx+b整理，得：-3x+7=-kx+b，比较对应项，得：k=3，b=7。解法2：设A（m，n）是直线y=-3x+7上一个点，其关于y轴对称的点的坐标为（a，b），则有：b=n，m=-a，因为，A（m，n）是直线y=-3x+7上一个点，所以，点的坐标满足函数的表达式，即n=-3×m+7，把n=b，m=-a，代入上式，得：b=-3×（-a）+7，整理，得：b=3a+7，即y=3x+7，它实际上与直线y=kx+b是同一条直线，比较对应项，得：k=3，b=7。解法3：因为，y=kx+b，所以，x=，因为，y=-3x+7，所以，x=，因为，直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于y轴对称，所以，两直线上点的坐标，都满足纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数，所以，=-=，比较对应项，得：y-b=y-7，k=3，所以，k=3，b=7。解法4、因为，直线y=-3x+7，所以，当x=1时，y=-3×1+7=4，即点的坐标（1，4）；当x=2时，y=-3×2+7=1，即点的坐标（2，1）；因此，（1，4）、（2，1）关于y轴对称的坐标分别为（-1，4）、（-2，1），所以，点（-1，4）、（-2，1）都在直线y=kx+b，所以，，留一个练习：已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于x轴对称，求k、b的值。已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于原点对称，求k、b的值。参考答案：1、k=3，b=-7.2、k=-3，b=-7.三、函数例题讲解一次函数图象的应用：为了更好地生存，我们必须在理财、购物、贸易、车房、抗害、战争等领域进行风险分析和预测，我们通常利用物量的线性关系（即一次函数关系）进行理性地决策，通过对一次函数知识研究，能够提升分析问题和解决问题的能力.[重难点突破]一次函数的重点是概念、图象和性质．一次函数是最基本函数．学习一次函数后，对研究函数的基本方法有了初步的认识．可以推动反比例函数和二次函数甚至高中各类函数的学习．难点是学习一次函数时，要注意与一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程组的联系，在学习图象时，要与几何知识相联系．1.如何掌握一次函数的概念、图象和性质．[例题1]已知：是一次函数，求的值.解：由题意得：0，且，或（舍去）因此，.解后反思：eq\o\ac(○,1)一次函数中：≠0，自变量的最高次项的次数为1.eq\o\ac(○,2)易错点：忽视0这一限制条件而出错.变式：一次函数中，如何确定函数值的增减性？如果把本题改为是一次函数，且随着的增大而减小，请你求的值。[例题2]已知，直线与平行，且过点（1，-2），请问直线不经过哪个象限？解：由题意得：，；又：-2=3×1＋，；即直线不经过第一象限.解后反思：eq\o\ac(○,1)直线y=+与直线y=平行，即，反之亦然；eq\o\ac(○,2)直线经过点（），或点（）在直线上，则满足关系式，就是.eq\o\ac(○,3)题中直线中，.eq\o\ac(○,4)易错点：本题提到的直线有三条，要搞清是对哪条直线提出问题；另外，有的同学审题粗心易回答成经过的象限.[例题3]如图所示，已知直线交轴于点B，交轴于点A，求：（1）与的函数关系式；（2）AOB的周长和面积；解：（1）直线中，设：，点A（0，2）在直线上，；又B（3，0）在直线上，；因此，.（2）从图象观察得，OA=2，OB=3，由勾股定理得，， AOB的周长为：OA+OB+AB=5+（单位长度）；AOB的面积为：S（单位平方）解后反思：eq\o\ac(○,1)确定一次函数的表达式，就是求待定系数，．一般已知直线上两双不同对应值，可以得到两个方程，求出，.eq\o\ac(○,2)第二小题，是涉及函数与几何的综合题，根据勾股定理、三角形有关性质等知识，运用数形结合的思想求得.eq\o\ac(○,3)易错点：用坐标表达线段长度时，要注意加绝对值符号，如P（0，-7），则OP=|-7|=7变式：如果本题改为直线交轴于点A，交轴于点B，且AOB的面积为3，求的值.错解：直线在轴上的点A（，0），轴上的点B（0，2），S==，因此，正解：OA=，OB=|2|=2，=，.[例题4]衣的问题：妈妈在用洗衣机洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如折线图所示：根据图象解答下列问题：1.洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？2.已知洗衣机的排水速度为每分钟19升；eq\o\ac(○,1)求排水时与之间的关系式。②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量。解：观察图象得：洗衣机的进水时间是4分钟，清洗时洗衣机中的水量是40升；2.eq\o\ac(○,1)排水时与之间的关系式为：=；（15≤≤）eq\o\ac(○,2)，×17＋325=2（升），即洗衣机中剩下2升水.解后反思：eq\o\ac(○,1)其实进水过程，即0≤≤4，；清洗时过程，即10≤≤15时，；eq\o\ac(○,2)易错点：本题容易对的含义产生误解，错把当排水时间，从而写成：.[例题5]住的问题：朝阳居民小区按照分期付款的福利售房方式购房，政府给予一定的贴息.王林家购得一套现款价值120000元的房子，购房时首期（第一年）付款30000元，从第二年起，以后每年应付房款为5000元与上一年剩余欠款利息的和.（剩余欠款年利率为0.4%）(1)若第()年小明家交付房款元,求与的函数关系式;(2)求第三、第十年的应付房款值.解：(1)第一年付房款：30000元，第二年付房款：5000+（120000-30000）×0.4%元，第三年付房款：5000+（120000-30000-1×5000）×0.4%元，第四年付房款：5000+（120000-30000-2×5000）×0.4%元，……第年付房款：5000+[120000-30000-（-2）×5000]]×0.4%元，即=5000+[120000-30000-（-2）×5000]]×0.4%=-20+5400；(2)=3时，==-20×3+5400=5340元，第三应付房款值5340元；=10时，==-20×10+5400=5200元，第十应付房款值5200元.解后反思：eq\o\ac(○,1)住房问题是居民生活的热门话题，也是需要用数学知识解决的实际问题；eq\o\ac(○,2)通过枚举法，探索、归纳，最后总结规律，前、后年差别在5000前面的因数，通过对比发现，第年5000前面的因数是（-2）.eq\o\ac(○,3)易错点：第年剩余欠款的规律不易找到.[例题6]行的问题：缑城TAXI收费标准如下：5千米以内（包括5千米）收费5元，超出5千米时每千米收费1.4元，求：TAXI应收车费（元）与行驶路程（千米）之间的函数关系。王巧从缑城出发去10千米处的竹林村需要多少钱？去20千米的前童古镇带20元够了吗？解：我们应该对这个问题进行两个阶段的分析：0≤≤5，=5；>5，=5+（-5）·1.4=1.4-2；=10，=1.4×10-2=12元；=20，=1.4×20-2=26元.所以去前童古镇还欠6元.四、专项练习1、2、如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？3、周日上午，小俊从外地乘车回嘉兴．一路上，小俊记下了如下数据：

观察时间9∶00（t＝0）9∶06（t＝6）9∶18（t＝18）路牌内容嘉兴90km嘉兴80km嘉兴60km

（注：“嘉兴90km”表示离嘉兴的距离为90千米）假设汽车离嘉兴的距离s（千米）是行驶时间t（分钟）的一次函数，求s关于t的函数关系式．4、为调动销售人员的积极性，A、B两公司采取如下工资支付方式：A公司每月2000元基本工资，另加销售额的2%作为奖金；B公司每月1600元基本工资，另加销售额的4%作为奖金。已知A、B公司两位销售员小李、小张1～6月份的销售额如下表：

月份销售额销售额（单位：元）1月2月3月4月5月6月小李（A公司）116001280014000152001640017600小张（B公司740092001100128001460016400

(1)请问小李与小张3月份的工资各是多少？(2)小李1～6月份的销售额与月份的函数关系式是小张1～6月份的销售额也是月份的一次函数，请求出与的函数关系式；(3)如果7～12月份两人的销售额也分别满足（2）中两个一次函数的关系，问几月份起小张的工资高于小李的工资。5、某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话。小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克。小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元。小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系。（1）求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；（2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【利润＝销售量×（销售单价－进价）】6、东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地而行，如图所示，图中的线段、分别表示小东、小明离B地的距离（千米）与所用时间（小时）的关系。用文字说明：交点P所表示的实际意义。⑵试求出A、B两地之间的距离。7、某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20时，按2元／计费；月用水量超过20时，其中的20仍按2元／收费，超过部分按元／计费．设每户家庭用用水量为时，应交水费元．（1）分别求出和时与的函数表达式；（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份四月份五月份六月份交费金额30元34元42.6元小明家这个季度共用水多少立方米？8、通过市场调查，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量（千克）与市场价格（元/千克）（）存在下列关系：（元/千克）5101520（千克）4500400035003000又假设该地区这种农副产品在这段时间内的生产数量（千克）与市场价格（元/千克）成正比例关系：（）．现不计其它因素影响，如果需求数量等于生产数量，那么此时市场处于平衡状态．（1）请通过描点画图探究与之间的函数关系，并求出函数关系式；

（2）根据以上市场调查，请你分析：当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？（3）如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量与市场价格的函数关系发生改变，而需求数量与市场价格的函数关系未发生变化，那么当市场处于平衡状态时，该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600元．请问这时该农副产品的市场价格为多少元？9、2007年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕．20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港．（1）哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？（2）在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？10、平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P在直线y＝－x＋m上，且AP＝OP＝4．求m的值．11、某县在实施“村村通”工程中，决定在A、B两村之间修筑一条公路，甲乙两个工程队分别从A，B两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务四甲队单独完成，直到道路修通，下图是甲乙两个工程队修道路的长度Y（米）与修筑时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，求该的公路的总长度。答案1、解：．2、解：（1）设．

由图可知：当时，；当时，．

把它们分别代入上式，得

，解得，．∴一次函数的解析式是．

(2)当时，．

即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是21cm．3、解：设s＝kt＋b，则，解得：，所以s＝－＋904、解：（1）小李3月份工资＝2000＋2%×14000＝2280（元）小张3月份工资＝1600＋4%×11000＝2040（元）（2）设，取表中的两对数（1，7400），（2，9200）代入解析式，得（3）小李的工资小李的工资当小李的工资解得，x>8答：从9月份起，小张的工资高于小李的工资。5、6、解：⑴交点P所表示的实际意义是：经过2.5小时后，小东与小明在距离B地7.5千米处相遇。⑵设，又经过点P（2.5，7.5），（4，0）∴，解得∴

当时，故AB两地之间的距离为20千米。7、解：（1）当时，与的函数表达式是；当时，与的函数表达式是