第12章20世纪数学的发展

第12章 20世纪数学概观学时：4学时教学目的：理解20世纪纯正数学（核心数学）、应用数学、数学与计算机等发展的重要特性及其重要成果。教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结主题：20世纪数学的发展概述：在16世纪之前形成了以代数和几何的初等数学体系，重要对象是现实世界的静态描述，体现为解释性和工具性功效。17世纪随着解析几何和微积分的创立和18世纪分析的开拓，数学的发展进入近代数学，其解决对象进入变量，形成了以函数概念为主体的分析领域，数学体现为科学的工具。19世纪，传统领域的崛起和开拓，极大突破了分析一统天下的局面，形成了当代数学典型三大学科：代数、几何和分析。这一世纪，人才辈出，通过众多数学家的努力极大拓展了数学的疆域和数学信念，数学本位特性加强。20世纪，数学急剧膨胀，纯正数学的扩张、应用数学的发展和计算机的应用为数学点缀了一种绚丽的天空，让人应接不暇。我们不仅惊异于数学的伟大成就，并且也受益于数学发明带来的力量。Ⅰ20世纪纯正数学的发展线索问题：120世纪纯正数学发展的重要特性或趋势是什么？2希尔伯特23个问题的重要意义是什么？3公理化办法和集合论在20世纪数学发展中的意义是什么？420世纪有哪些重要的学科的发展及其基本思想是什么？520世纪数学统一化的重要数学成果有哪些？6三大学派的代表人物及其重要思想有哪些？重要内容：19世纪数学的变革与积累使数学建立了分支众多、知识庞大的体系，已经初步体现出了参天大树的雏形，20世纪的数学在此基础上急剧扩展，并广泛应用，为数学的发展呈现了广阔的前景和提供了强大的动力。20世纪的数学发展体现出了以下重要特性和趋势：（1）更高的抽象性；（2）更强的统一性（同时，数学也体现出了更大的分化性，呈现多元化发展）；（3）更进一步的基础探讨。一、新世纪数学序幕198月，在巴黎举办的第二届国际数学家大会（1897年在瑞士举办第一次大会）上，德国数学家希尔伯特在大会上发表了题为《数学问题》的演说，高瞻远瞩地提出了出名的23个问题。这些问题涉及到当代数学的许多重要领域，这些问题成了新世纪科学迈进的杠杠，激发着数学家的激情。一种世纪以来，随着希尔伯特问题的解决与研究，大大推动了数理逻辑、几何基础、李群论、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、微分方程、黎曼曲面论、变分法等一系列学科的发展，有些问题的研究还增进了当代计算理论的成长。固然，20世纪的数学发展远远超出了希尔伯特问题的范畴。二、更高的抽象1抽象办法的建立高度抽象化是20世纪纯正数学的重要趋势与特性之一，这种趋势与特性重要在两大因素的推动下形成的，即集合论的观点和公理化的观点。集合论由康托尔创立，重要对象是超限数理论。这一理论发展成了20世纪数学的基础。集合概念本身被抽象化，建立了公理化集合论。同时，集合论作为一种普遍的语言进一步到数学的每一种角落，初等数学的某些基本概念也集合化了。公理化办法：当代公理化办法的奠基人是希尔伯特。他发展了欧氏几何的公理体系，形成了当代公理化办法。当代公理办法有两个本质的飞跃。当代公理化办法重在公理构造而不是对象概念。这样当代公理系统就体现了更大的普通性。当赋予公理关系中以具体对象时，那么公理系统就形成了多个多个特殊的理论。希尔伯特建立了当代公理办法的基本逻辑规定，即相容性；独立性和完备性。这样的体系就为公理系统构造建立严密的逻辑基础。因此，公理化办法成了当代科学组织理论知识的工具。集合论和公理化办法在20世纪组建成为数学抽象和科学抽象的范式，它们的互相结合把数学甚至科学引向了高度抽象的道路。数学高度抽象的发展，形成了20世纪上半叶实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数这四大标志性的学科的形成。这些学科所发明了抽象语言，构造和办法，又渗入到数论、微分方程论、微分几何、代数几何、复变函数及概率论等典型学科，推动它们在更抽象的基础上革新演化。2抽象学科的形成：（1）实变函数论积分学变革是从“病态函数”的积分问题研究开始，创立了勒贝格积分，在此基础上，推广了导数等微积分等基本概念，重建了微积分的基本定理等，逐步形成了实变函数论。实变函数论是普通微积分的推广，它使微积分使用的范畴大大扩展，引发数学分析的深刻变化。勒贝格积分当作是当代分析的开端，人们把柯西和黎曼积分称作是典型分析，而前者称为当代分析。（2）泛函分析在变分法求积分问题一解涉及到“泛函”，即有关函数的函数。泛函的抽象理论在19世纪末20世纪初首先由意大利数学家伏尔泰拉（称“线函数”）和法国数学家阿达马（“泛函”名称即由此得来）在变分法研究中开创。积分方程也是泛函的一种来源。19世纪末瑞典数学家弗雷德霍姆将积分方程当作是线性代数方程组的极限情形。其后，希尔伯特通过严密的极限过程将有限线性代数方程组的成果有效地类比推广到积分方程。这一过程，他创立了希尔伯特空间，是第一种具体的无穷维空间。其后，他的学生施密特和冯.诺伊曼等进一步研究无穷数组集合，并通过几何类比，由内积概念建立了高维空间。后来，匈牙利数学家里斯和德国数学家费舍尔建立了这些空间平方勒贝格可积函数与平方可积数组的等价关系，于是一种平方可积函数就能够当作无穷维空间[L2(a,b)]上的一种点。简朴地说，泛函分析就是这种抽象函数空间上的微积分。从观念上看，空间和函数两个基本概念有了变革：“空间”被理解为某类元素的集合，这些元素的关系被称作空间构造；“函数”概念则被推广为两个空间之间的元素的映射关系。其中，将函数映为实数（或复数）的映射称为泛函。对此明确叙述的是法国数学家弗雷歇，他是抽象泛函分析的奠基人。抽象空间理论与泛函分析在20世纪上半叶就有了巨大发展。19，波兰数学家巴拿赫提出了更普通的赋范空间概念，极大拓广了泛函分析的疆域。巴拿赫也是当代泛函分析的奠基人。广义函数论也是20世纪泛函分析发展中的重大事件。法国数学家施瓦茨、原苏联数学家索伯列夫和盖尔范德等对此作了奉献。泛函分析有力推动了其它分析分支的发展，使整个分析领域的面貌发生了巨大变化，其观点和办法还渗入到其它科学与工程技术领域。（3）抽象代数在20世纪公理化方向向各个领域渗入的过程中，抽象代数的形成与发展占有特殊的地位。19世纪，有关群的概念确实立，代数学的对象突破了数的范畴，在群的概念对象发展中，人们构造了多个各样的群，发展了与有关的多个代数系统。后来人们注意到这些代数系统中的具体对象并不重要，重要的是这些元素的运算和所服从的规律。数学家们开始舍弃对象的具体性质，开始从具体的代数系统向抽象代数系统的过渡。凯莱首先（1849－1854）引进了（有限）抽象群概念；弗罗贝尼乌斯（1849－1917）发展（1895）了群表达论，韦伯（1842－1913）提出（1893）域的抽象理论。20世纪初，享廷顿域狄克森给出了抽象群的公理系统（1902，1905）；斯坦尼兹对抽象域的综合研究（1911），韦德波恩发展了线性结合代数（1907）。代后，在希尔伯特直接影响下的诺特（1882－1935）及其学派最后确立了公理化办法在代数领域的统治地位。19诺特发表《环中的抱负论》揭开了当代抽象代数的开端。她用公理化泛函发展了普通抱负论，奠定了抽象交换环理论的基础。其后逐步建立非交换代数及其表达理论，1932年与人合作证明的“代数主定理”称为代数发展史上的重大转折。由于她的工作，吸引了世界各地的学者，形成了哥廷根抽象代数学派。因此，哥廷根大学成了20世纪代和30年代前期世界抽象代数中心。抽象代数使代数构造成为代数学研究的中心，代数构造由集合以及集合元素之间的二元运算构成。代数构造对当代数学的发展产生了深远影响，在此基础上，法国布尔巴基学派提出了普通的数学构造观点，明确了另外两类构造——“拓扑构造”和“序构造”，并将它们结合代数构造称为“母构造”。构造观点能够说是公理化办法更上一层楼，引发了对数学中更普通的抽象构造的研究。（4）拓扑学拓扑学是研究几何图形的持续性质，即在持续变形下保持不变的性质。早期的哥尼斯堡七桥问题、地图四色问题都与拓扑学有关，高斯耶研究过与拓扑学有关的问题。“拓扑学”名称则是高斯学生尼斯廷首先引用的。但是，拓扑学本质上是20世纪抽象学科。庞加莱在1895－19间发表了一组论文，开创了当代拓扑学研究，他将几何图形剖分成有限个互相连接的基本片，并用代数组合的办法研究其性质，即形成了组合拓扑学。1926年，诺特注意到群论在组合拓扑学中的重要意义。此后，一系列数学家将组合拓扑学发展成代数拓扑学。从点集概念出发，则建立起的是“点集拓扑学”或“普通拓扑学”。（5）公理化概率论概率论的公理化，是20世纪数学抽象的又一大成果。概率论来源于15－16世纪有关赌博问题的讨论。到19世纪，在一系列数学家的努力下，概率论积累了大量的概念和定理并系统化，开始从组合技巧向分析办法过渡。19世纪后期，极限理论的发展成了概率论研究的中心课题。19世纪末，人们开始追求概率论的基础。20世纪，在人们对概率论公理化的过程中，揭示了概率论的基本概念于测度论及度量函数基本概念之间的深刻相似性，使数学家们看到了一条建立概率论逻辑基础的对的道路。代开始，前苏联数学家科尔莫戈罗夫通过概率论和数学分析之间概念的类比，建立了公理化概率论。从而赋予了概率论以演绎数学的特性。在公理化基础上，当代概率论获得了一系列理论突破。三、数学统一化数学统一化的趋势是20世纪数学的又一大特性。数学不同领域和分支的办法和思想不停交叉融合，形成了一系列的综合性交叉学科。1微分突破和代数拓扑以微分流行为基本对象的拓扑学就是微分拓扑学。2整体微分几何整体微分几何以研究微分几何性质于整体性质的联系为目的。陈省身作了奠基性的奉献。整体微分几何体现了与当代分析学更深刻的联系。3代数几何用抽象的代数办法在抽象域中建立代数几何理论。4多复变函数论多复变函数论是单复变函数论的自然推广。20世纪下半叶，综合运用了拓扑学、微分几何、偏微分方程以及抽象代数领域的概念与办法，多复变函数论获得了长足的进步和突破。以华罗庚为首的中国数学家在此方向作出了自己的特色。5动力系统动力系统的研究由于拓扑办法和分析办法的结合获得了重大进步，借助于计算机又拓展了混沌、分岔、分形理论的研究。6偏微分方程与泛函分析偏微分方程以往重要以幂级数为重要工具。20世纪，借助了泛函分析的观点和办法打开了全新的局面。当代偏微分方程论与拓扑学、微分几何、多复变函数论都有亲密的联系。7随机分析概率论与分析、几何等结合。数学是统一的。数学理论越向前发展，就越显示出数学构造的一致性。数学的这种统一性是数学发展的源泉，也是数学与其它学科广泛联系的生命力。四、进一步的基础探讨数学的严格性是数学家追求的目的，也是人们信服数学真理性的理由。数学基础的严格化是在对数学悖论的探讨中发展起来的。每一次探讨都引发了数学发展的高峰，变革了人们的认识观念。20世纪的数学基础的研究是在集合论悖论的讨论中发展起来的。1罗素悖论19，罗素提出了一种被称之为“剪发师悖论”的集合问题。这一悖论引发了数学的第三次危机。罗素悖论的两种表述：M是其本身的集合，N表达不是其本身的集合，那么N是属于哪个集合。“剪发师悖论”：一小岛上的剪发师有一种规定：他只给那些不给自己剪发的人剪发，那么他的发谁理呢。罗素悖论除了集合概念外不设计任何概念，从而明白无疑地揭示了集合论本身存在矛盾，在数学界引发一片震惊。这类悖论产生的因素罗素认为是一种待定义的对象用了包含该对象在内的一类对象来定义。这样集合论和整个典型分析都包含着悖论。为了消除悖论，人们对集合概念加以公理化，并建立了多个公理系统。三大学派：对集合论悖论的进一步的尝试，形成了有关数学基础的三大学派，即以罗素为代表的逻辑主义；以布劳威尔为代表的直觉主义和以希尔伯特为代表的形式主义。Ⅱ空前发展的应用数学线索问题：120世纪应用数学有哪些特点？2数学物理、生物数学、数理经济学等学科有哪些成果？3数理统计、运筹学和控制论等学科特点有哪些？4计算数学、机器证明等有哪些重要成果？重要内容：应用数学的特点：20世纪40年代后来数学以空前的广度与深度向其它科学技术和人类知识领域渗入，数学与计算机的结合，使应用数学发展成为当代数学的一股强大的潮流。体现为以下特点：（1）数学的应用突破了传统的范畴而向人类几乎全部的知识领域渗入。（2）纯正数学几乎全部的分支都获得了应用，其中最抽象的某些分支也参加了渗入。（3）当代数学对生产技术的应用变得越来越直接。（4）当代数学在向外渗入的过程中，产生了某些相对独立的应用学科。这些重要有：数理统计、运筹学、控制论等。这些学科运用数学办法与数学理论为基础，发展成为相称广泛的领域。计算机发明，产生了许多有关的数学学科：如计算数学。四色定理的机器证明能够当作纯正数学研究与计算机结合的典范。计算机科学中的数学：如组合数学和含糊数学。组合数下颚：早期的组合数学的趣味性和益智性激起了许多的人类探求欲望，当它逐步与后来的数论/概率论等当代数学领域结合在一起，才显示出了理论和应用上的价值。当代组合数学研究任意一组离散性事物如何按一定规则安排成多个集合，涉及这种安排的存在性、记数、构造与优化等。含糊数学：1965年，美国数学家扎德发表《含糊集合》，开辟新的数学分支——含糊数学。含糊数学是对典型数学的基础——集合论的改造，因此它引发了数学的广泛的变革，出现了多个含糊数学的分支。含糊数学和计算机结合在一起，发展了数学对日益复杂的系统的应用。含糊数学已被应用于专家系统、知识工程等方面，与新型计算机的研制有亲密的关系。机器证明：机器证明的发展是人工智能发展的一种方向。机器证明是指针对于一整类问题的普通的机械化证明，厄976年后来，中国数学家吴文俊开辟了一条定理机器证明的代数化途径。Ⅲ当代数学成果十例线索问题：1歌德尔不完全性定理的重大意义是什么？2四色问题的内容是什么？320世纪在几何观念在维度上有什么变化？

综述数学五千年的历史，后浪推前浪，浩浩荡荡，滚滚飞跃而来，又不停向前奔去。19世纪的数学：18世纪法国大革命也带来了法国的数学繁华。拉格朗日（1736－1813）、拉普拉斯（1749－1827）、勒让德、蒙日都是一代数学权威。1794年诞生的法国综合工科学校，成为19世纪初世界数学中心。傅立叶（1768－1830）的调和分析，柯西（1789－1857）的分析学就是其中的代表。进入19世纪中叶，德国的哥廷根大学崛起。数学王子高斯（1789-1857）称雄世界，黎曼（1826－1866）给世人留下了众多的数学珍品。法国和德国在数学上争雄的局面贯穿了整个19世纪。19世纪是数学思想革命的世纪。伽罗瓦的群论，罗巴切夫斯基的非欧几何学，柯西的复变函数论，为人们打开了全新的天地。数学完全独立出来，进入了抽象的意境世界，揭开了充满发明激情的数学文化新篇章。另首先，数学的应用继续前行。以英国为首的应用数学传统大放异彩。英国亚当斯和法国的勒威耶用数学计算了海王星的轨道，傅立叶（法）分析推动了热力学和振动理论，格林（英）的位势理论推动了电磁学理论的发展，麦克斯韦（英）的电磁方