第二章2 2函数基本性质

§函数的基本性质考点考点 函数的单调ｘꎬｘ∈Ｄ且ｘ１<ｘｆｘｘꎬｆ(ｘ)ｆ(ｆ( ｆ(ｆｘｘꎬｆ(ｘ)ｆ(ｆ( ｆ(函数ｆｘ函数ｆｘｙ图象关于原点

对应学生用书起始页码 若ｆｘ>ｆｘｙ＝ｆｘＤｘ１ꎬｘ２若[ｆ(ｘ１)ｆ(ｘ２)](ｘ１ｘ２)>０ꎬ则ｙ＝ｆ(ｘ)在Ｄ上单调增ꎻ若[ｆ(ｘ１)ｆ(ｘ２)](ｘ１ｘ２)<０ꎬ则ｙ＝ｆ(ｘ)在Ｄ上单调减.ｙ＝ｆｘ)ｙ＝ｇｘ为增函数ꎬ①ｙ＝ｆｘ＋ｇｘ②ｙ＝ｆｘｇｘｆｘｇｘ复合函数的单调性法则是“同增异减”ꎬ即若两个简单函数

ꎬ两个奇函数的和是奇函数ꎻ②两个偶函数的和ꎻ③一奇一偶函数的ｙ＝ｆｘｆ＝０.ａａ≠１)ａ ｆｘ＝ａｘ＋ａｘｆｘ＝ａｘａ ②函数ｆｘ＝ａｘ＋ａｘ＝ａ２ｘ＋１的单调性相同ꎬ则这两个函数的复合函数为增函数ꎻ若两个简单函数的单调性相反ꎬ则这两个函数的复合函数为减函数.

ｆｘ＝

１ａ１＋ｘ３.ｘｙ＝ｘ＋的单调增区间为(ꎬ＋区间为(１ꎬ０ꎬ１).ｘ

ｆｘ＝ｌｏｇａｘ＋ｘ＋２.ｙ＝ｆｘＴꎬ使得当ｘ取定义域内的任何值时ꎬ都有ｆ(ｘ＋Ｔ)＝ｆ(ｘ)ꎬ那么就称函数ｙ＝ｆ(ｘ)为周期函数为这个函数的周期.如果在周期函数ｆ(ｘ)ｘｙ＝ａｘ＋ｂａ>０ꎬｂ>０)的单调增区间为ｘ

那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期和和

ꎬ＋ꎻ单调减区间为ｙｙｆｘＩꎬꎬｘｆｘｘｆｘ)ｘＩꎬｆｘｘｆｘ)ｙｆｘｙｆｘ考点 考点 函数的奇偶性与周期

ꎬ０和ꎬ０和

１.若函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称ꎬ则ｆ(ｘ)＝ｆ(２ａ２.若函数ｆｘａꎬｂｆｘ＋ｆａｘ＝２ｂ.３.与对称性、ｆｘｘ＝ａｘ＝ｂ对称ꎬ则函数ｆｘ必为周期函数ꎬ２ａｂ是它的一个周期.ｆｘａｂ对称ꎬ则ｆｘ必为周期函数ꎬ２ａｂ是它的一个周期.ｆｘ的图象关于点(ａ和直线ｘ＝ｂ对称ꎬ则函数ｆｘ必为周期函数ꎬ４ａｂ是它的一个周期.１.

一、

对应学生用书起始页码定义法:要注意函数的定义域图象法:作出函数图象ꎬ从图象上直观判断

＋增＝增ꎬ减＋减＝减ꎬ增减＝增ꎬ减增＝减ꎻ.２.

答案

第二章函 (１)比较大小.比较函数值的大小ꎬ应将自变量转化到同一个单调区间内ꎬ然后利用函数的单调性解决.

下列区间中ꎬ函数ｆ(ｘ)＝ｌｎ(２ｘ)在其上为增函数的 解不等式.通常利用函数的单调性将ｆ符号脱掉ꎬ转化为具体的不等式求解ꎬ此时应特别注意函数的定义域

Ａ.(∞ꎬ Ｂ.

１ꎬ３视参数为已知数ꎬ依据函数的图象或单调性定义ꎬ确定函数的单调区间ꎬ与已知单调区间比较求

Ｃ.０ꎬ３ Ｄ.[１ꎬ２答案２下列函数中ꎬ０ꎬ＋

解析由题知ｆｘ＝

ｌｎｘｘ<２ꎬｌｎｘｘ<１.Ａ.ｙ＝ｌｎ( Ｂ.ｙ ２ｘｘＣ.ｙ＝１ Ｄ.ｙ＝ｘ＋２ｘｘａ２ｌｏｇｘ＋２<ｘ

由复合函数的单调性可知ꎬ函数ｆｘ(上递减.已知函数ｆｘ＝ｘｅｘ＋ａｘ２３ａｘ则ａ的取值范围 ｆｘ

ａｘ２＋１ꎬ

在(２

Ａ.[２ｅꎬ＋∞ Ｂ.

３ｅꎬ＋∞＋∞)上是单调函数ꎬ则实数ａ的取值范围 ２２２２２２

Ｂ.１<ａ≤２或ａ<

Ｃ.(∞ꎬ２ｅ Ｄ.答案

ꎬ３２２解析(１)函数ｙ＝ｌｎ(ｘ＋２)在区间(０ꎬ＋∞)上为增函数ꎻ函数ｙ ｘ＋１在区间(０ꎬ＋∞)上为减函数ꎻ函数ｙ＝１ｘ２

解析ｆｘ＝２ｅｘ＋ｘｅｘ＋２ａｘꎬ依题意有ｆｘ (２ｘ＋１) 对于任意的>０恒成立ꎬ即２ 对于任意的>０

ꎻ函数

＝ｘ＋１

成立.设ｇｘ

(２ｘ＋１) ａｇ (ꎬ则２ ａｇ ｘ单调函数.故选ｘ(２)当函数ｆ(ｘ)在 ２ꎬ＋∞)上是增函数时ꎬ

∵ｇ′(ｘ)

２ｘｅｘ＋ｘ(２ｘ＋１)ｅｘ(２ｘ＋１)ｅｘ

２ｘ２＋ｘ１ ｅａ２ａ>０ａ２

ａ≤ｆｘ２ꎬ＋

∴ｇｘ１ꎬ２１ꎬ＋∞上为增函数ꎬ则ｇｘｍｉｎ＝ｇ１＝４ｅ２ａ２１<０

ａ<０ａ２

无解.综上可得ꎬ１<ａ≤

从而有２ａ≤４ｅａ≥２ｅ二、１.首先判断定义域是否关于原点对称ꎬｆ(ｘ与ｆｘ)ｆ(ｘ与ｆｘ的关系ꎬ只有当所有区间上都满足相同的关系时ꎬ才能判定其奇奇函数±奇函数＝奇函数ꎬ偶函数±偶函数＝偶函数ꎻ偶函数×偶函数＝偶函数ꎬ奇函数×奇函数＝偶函数ꎬ×偶函数＝奇函数２.求函数解析式:当已知函数ｆｘ在原点一侧的解析式时ꎬｆ(ｘｆｘ的关系得到在原点另一侧的解析式ꎬ

ｆ(ｘ０)＋ｆ(ｘ０)＝０ꎻ偶函数的图象关于ｙ轴对称ꎬ有ｆ(ｘ０)＝ｆ(ｘ０).ｆ(ｘ)的奇偶性及ｆ(ｘ０)的值ꎬ由上述关系可ｆｘ.(１)已知ｆ(ｘ)＝４ｘ２ꎬｇ(ｘ)＝ｘ２ꎬ则下列结论正确的 (Ａ.ｈｘ＝ｆｘ＋ｇｘＢ.ｈｘ＝ｆｘｇｘｘＣ.ｈｘ＝ｇｘｆｘ)ｘ２ｇＤ.ｈｘ＝ｆｘ)是奇函数２ｇ ＋ｘ｜ｘ ＋ｘｆｘ＝Ｍꎬｍ２｜ｘ｜则Ｍ＋ｍ等 (４ ４求得函数在整个定义域内的解析式.当函数表达式中含有字母参数时ꎬ利用ｆ(ｘ)±ｆ(ｘ)＝０可得关于字母的恒等式ꎬ由系数对应相等即可求得字母参数的值

解析ｈｘ＝ｆｘｇｘ＝４ｘ２＋２ｘꎬｘ∈[２ꎬ２].

＋ｘ２(２)求某些特殊的函数值:奇函数的图象关于原点对称ꎬ

ｈ(ｘ＝ ４ｘ２＋２＋ｘ≠ｈｘｈ(ｘｈｘＢ.ｈｘ＝ｆｘｇｘ＝[２ꎬ２].

４ｘ２ ４ｘ２ｘ４

答案解析ｆｘ上的奇函数ꎬｆ＝０ꎬｆｘ＝ｅｘ＋ｍｆ＝ｅ＋ｍ＝１＋ｍ＝０ꎬ解得ｍ＝ｈ(ｘ＝ ４ｘ２＋ｘｈｘｈ(ｘｈｘｇ(ｘ)ｆ(

ｘｆｘ＝ｅｘ１ꎬ∴ｆｍ＝ｆ(＝ｆ＝ｅ１＝１ｅ.Ｂ.ｘＣ.ｈ(ｘ)ｘ

４ｘ２ꎬｘ∈[２

已知函数ｆｘＲ上的奇函数ꎬ当ｘ>０原点对称ꎬ是非奇非偶函数

ｆ(ｘ)＝ｘｅｘꎬ则不等式ｆ(ｘ)>３ｘ的解集 ｇＤ.ｈ(ｘ)＝ｆ(ｘ)ｇ２(

２４ ꎬｘ∈[４

Ａ.{ｘｌｎ３<ｘ<ｌｎ３ Ｂ.{ｘｘ<ｌｎ３或ｘ>ｌｎ３Ｃ.{ｘｌｎ３<ｘ<０或ｘ>ｌｎ３ Ｄ.{ｘｘ<ｌｎ３或０<ｘ<ｌｎ３答案ｆｘ

解析ｘ<０ꎬ∴ｘｆ(ｘ)

２｜ｘ｜＋１＋３ｘ＝ｘ２｜ｘ｜

２(２｜ｘ｜＋１) ｜ｘ｜ ＝２＋２｜ｘ｜＋１

∴当ｘｆ(ｘ＝ｘｅｘｆｘ上的奇函数∴ｆ(ｘ＝ｘｅｘ＝ｆｘｆ＝设ｇｘ＝｜ｘ｜＋１ꎬ则ｇ(ｘ＝ｇｘｘ

则ｆｘ＝ｘｅｘꎬ∴ｇｘｇ

＋ｇ(

＝

当ｘ>０时ꎬ不等式ｆｘｘ等价于ｘｅｘ>３ｘꎬ即ｅｘ∵Ｍ＝ｆ(

＝２＋ｇ(

ꎬｍ＝ｆ

＝２＋ｇ(

ｍｉｎ

得ｘ>ｌｎ当ｘ<０时ꎬ不等式ｆｘｘ等价于ｘｅｘ>３ｘꎬ即ｅｘ∴Ｍ＋ｍ＝２＋ｇｘｍａｘ＋２＋ｇｘｍｉｎ＝４ꎬ故选答案(２０１７山东模拟ꎬ６)已知ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的奇函数ꎬ当ｘ≥０时ꎬｆ(ｘ)＝ｅｘ＋ｍ(ｍ为常数)ꎬ则ｆ(ｍ)

得ｌｎ３<ｘ当ｘ＝０时ꎬ不等式ｆｘｘ等价于ｘｌｎ３<ｘｘ>ｌｎ３ 故选Ａ.ｅ Ｂ.１

Ｄ.ｅ三、１.对于函数单调性与奇偶性的综合问题ꎬ注意奇偶函数图象的对称性以及奇偶函数在关于原点对称的区间上单调性的２.周期性与奇偶性的综合问题多为求值问题ꎬ常利用奇偶性和周期性将问题进行转换ꎬ即将所求值的自变量转化到已知解析式的自变量范围内求解.

又ｇ＝４ꎬ∴ｆ＝ｆｘｆ(＝答案设ｆ(ｘ)＝ｅｘꎬｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)ｈ(ｘ)ꎬ且ｇ(ｘ)为偶函数ꎬｈ(ｘ)为奇函数ꎬ若存在实数ｍꎬ当ｘ∈[１ꎬ１]时ꎬ不等式ｍｇ(ｘ)＋ｈ(ｘ)≥０成立ꎬ则ｍ的最小值 (３.

ｅ２

ｅ２

１４.

Ａ.ｅ２ Ｂ.ｅ２ Ｃ.ｅ２ ｆ(ｘｆ(ｆ(ｘｆ(ｆ(ｘｆ(ｆ(ｘｆ(ｆ(ｘｆ(ｘｆ(ｘａ)ｂ)(ｆ(２ａｘ)ｆ(ｆｂｘ)ｆｘ)ａ≠ｂ)周期２２２２ａ２ｂ解析ｆｘ＝ｇｘ)ｈｘｅｘ＝ｇｘ)ｈｘｅ＝ｇ(ｘ)ｈ(ｘｇｘｈｘ∴ｅｘ＝ｇｘ＋ｈｘｇｘ＝１ｅｘ＋ｅｘｈｘ＝１ｅｘｅｘ).递推法:若ｆｘ＋ａ＝ｆｘｆｘ２ａ＝ｆｘ＋ａ＋ａ]ｆｘ＋ａ＝ｆｘ２ａ为ｆｘ换元法:若ｆｘ＋ａ＝ｆｘａ)ꎬ令ｘａ＝ｔꎬ则ｘ＝ｔ＋ａꎬ则ｆ

ｍｇｘ＋ｈｘｅｘｅｘ

１(ｅｘ＋ｅｘ)＋１ ２

ｅ