2023高一数学暑假精讲精练3.1.2函数的表示法新人教A版

3．1.2函数的表示法知识点一函数的表示方法知识点二分段函数1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．题型一、函数的表示方法1．判断正误．（1）任何一个函数都可以用列表法表示．()（2）任何一个函数都可以用解析法表示．()（3）函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．()【答案】

错误

错误

错误【详解】（1）如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示；（2）有些函数无解析式，如某地一天24小时内的气温变化情况；（3）反例：的图象就不是连续的曲线.2．某问答游戏的规则是：共5道选择“题”，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法､图象法､解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x（x∈{0，1，2，3，4，5}）之间的函数关系.【答案】列表、图象见解析，解析法(x∈{0，1，2，3，4，5}).【详解】该函数关系用列表表示为：x/道012345y/分50403020100该函数关系用图象表示，如图所示该函数关系用解析表示为（x∈{0，1，2，3，4，5}）.题型二、求函数解析式命题点1已知函数类型求解析式1．（1）已知f（x）是一次函数，且满足f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋3，求f（x）的解析式．（2）若二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，求g（x）的解析式．【答案】（1）f（x）＝－2x－9；（2）g（x）＝3x2－2x.【详解】（1）设f（x）＝kx＋b（k≠0），则f（x＋1）－2f（x－1）＝kx＋k＋b－2kx＋2k－2b＝－kx＋3k－b，即－kx＋3k－b＝2x＋3不论x为何值都成立，∴解得∴f（x）＝－2x－9.（2）设g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），∵g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，∴解得∴g（x）＝3x2－2x.2．（1）已知是一次函数，且，求；（2）已知是二次函数，且满足，求.【答案】（1）或；（2）.【详解】（1）设，则因为，所以所以解得或所以或（2）设由，得由得整理，得所以所以所以命题点2换元法求解析式1．设函数，则的表达式为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，则且，所以，，因此，.故选：B.2．若函数，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】令，则，所以，即.故选：C3．已知函数，那么（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】令，则，.故选：C.4．若函数，则__________.【答案】【详解】令，则，，函数的解析式为.故答案为：.命题点3配凑法求解析式1．已知，求的解析式.【答案】【详解】，因为所以，故答案为：.2．已知f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋eq\f(1,x4)，求f

(x)的解析式；【详解】(配凑法)∵f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))2－2，∴f

(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞)．命题点4函数方程组法求解析式1．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，则f(x)＝________．【答案】【详解】因为2f(x)＋f(－x)＝3x，①所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②解由①②组成的方程组得f(x)＝3x.故答案为3x2．已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，且3f(x)＋5f＝＋1，则函数f(x)的解析式为________．【答案】f(x)＝x－＋(x≠0)【详解】用代替3f(x)＋5f＝＋1中的x，得3f＋5f(x)＝3x＋1，不妨记：3f(x)＋5f＝＋1为①式；记3f＋5f(x)＝3x＋1为②式.①×3－②×5,化简得f(x)＝x－＋(x≠0).故答案为：f(x)＝x－＋(x≠0).3．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（

）A．f(x)＝x2－12x＋18B．f(x)＝－4x＋6C．f(x)＝6x＋9D．f(x)＝2x＋3【答案】B【详解】用代替原方程中的得：f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9，∴消去得：－3f(x)＝－x2＋12x－18，.故选：B命题点5赋值法求抽象函数的解析式1．已知定义在上的函数满足：对于任意的实数，，都有，且，则函数的解析式为_____．【答案】【详解】令，则所以由可得因为，所以故答案为：2．函数对一切实数都有成立，且.求的解析式；【答案】【详解】令，，则，即，.令，则，.题型三、分段函数求值1．已知函数.(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)4；4；(2)或.【详解】(1)，，所以；(2)若，则，解得，符合；若，则，解得，均不符合；若，则，解得，符合，综上，或.2．已知函数.(1)求的值；(2)若，求的取值范围；(3)画出函数的图象，若函数的图象与直线有三个交点，求的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)图象见解析，【详解】(1)由题意可得，则.(2)当时，由，得，解得，此时；当时，由，可得，此时.综上所述，实数的取值范围是.(3)作出函数的图象如下图所示：由图象可知，当时，函数的图象与直线有三个交点，因此，实数的取值范围是.3．已知函数（1）求的值；（2）若在上恒成立，求m的取值范围．【答案】（1）21；（2）【详解】（1）函数，，，；（2）若在上恒成立，则，当时，在单调递增，，当时，在单调递减，在单调递增，，所以在上，所以1．设为一次函数，且．若，则的解析式为（

）A．或 B．C． D．【答案】B【详解】设，其中，则，所以，，解得或.当时，，此时，合乎题意；当时，，此时，不合乎题意.综上所述，.故选：B.2．若二次函数满足，，求.【答案】.【详解】因为二次函数满足；所以设，则：；因为，所以；∴；∴；∴，；∴.故答案为：.3．设，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以又因为，所以，令，则，，所以.故选：B.4．已知函数，则___________，函数___________.【答案】

6

【详解】当时，；设，得，则，所以故答案为：；5．已知函数f(x+1)=x2+2x，则的解析式为________.【答案】【详解】令，则，，所以，即.故答案为：.6．已知，求的解析式．【答案】【详解】，令，则，.7．已知函数对于一切实数、都有成立，且．（1）求的值；（2）求的解析式．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）令，，因为，，所以，即；（2）因为，令，则，所以.8．已知，对于任意实数、，恒成立，则的解析式为_________.【答案】【详解】令，则有，再令，则.故答案为：.9．设，，且，则______.【答案】1【详解】①，令则②

②①，得，，故故答案为：110．已知函数满足，则___________.【答案】【详解】因为①，所以②，②①得，．故答案为：．11．已知对于任意实数x，函数f（x）都满足f（x）+2f（2-x）=x，则f（x）的解析式为______．【答案】【详解】由题意，因为f（x）+2f（2-x）=x①；∴f（2-x）+2f（x）=2-x②；①②联立解得.故答案为．12．求下列函数的解析式：(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；(2)已知求f(x)的解析式.【详解】(1)(2)以－x代替x得：,与联立得：.13．根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；（2）f(2x＋1)＝6x＋5；（3）f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.【详解】（1）由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1由恒等式性质，得或∴所求函数解析式为或（2）设2x＋1＝t，则∴f(x)＝3x＋2.（3）将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，14．（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（4）已知，求函数的解析式；（5）已知是上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．【详解】（1）∵，∴．（2）设，则，，即，∴，∴．（3）∵是二次函数，∴设．由，得．由，得，整理得，∴，∴，∴．（4）∵，①∴，②②①，得，∴．（5）令，则，∴．15．已知函数(1)分别求和的值；(2)若，求的值．【详解】(1)，因为，所以；(2)若，则，解得（舍）或；若，则，解得（舍）或；综上：.16．已知（1）求；（2）若，求a的值；（3）若其图像与y=b有三个交点，求b的取值范围.【详解】（1），，（2）当时，，当时，，解得，综上，（3）作出的图象，如图，由图象可知，当时，与y=b有三个交点.17．已知函数（1）画出函数的图象；（2）求的值；（3）当时，求x的取值范围.【详解】（1）函数的图象如下图所示：（2）；（3）当时，；当时，，符合题意；当时，，综上所述：x的取值范围为：.1．根据下列条件，求的解析式(1)已知满足(2)已知是一次函数，且满足；(3)已知满足【详解】(1)令，则，故，所以；(2)设，因为，所以，即，所以，解得，所以；(3)因为①，所以②，②①得，所以.2．（1）已知二次函数满足，求的解析式；（2）已知满足，求的解析式.【详解】（1）设二次函数，则，故，解得，故.（2）因为满足，则，联立方程组解得，即为所求.3．根据下列条件，求函数的解析式；（1）已知是一次函数，且满足；（2）已知函数为二次函数，且，求的解析式；（3）已知；（4）已知等式对一切实数､都成立，且；（5）知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立；（6）已知，求的解析式．【详解】（1）设，则所以解得：所以；（2）设，解得：（3），令，由双勾函数的性质可得或，，或（4）因为对一切实数､都成立，且令则，又因为所以，即（5）将代入等式得出，联立，变形得：，解得（6）由题意得：定义域为设，则

．4．（1）已知，求的解析式．（2）已知满足，求的解析式．（3）已知，求的解析式．【详解】（1）∵，且或，∴（或）．（2）∵①，把①中的x换成，得2f()＋f(x)＝②，①×2－②得3f(x)＝6x－，∴．（3）∵，用－x代x得：f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，两式联立得：.5．根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；（3）.【详解】（1）解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性质，得∴a＝1，b＝3∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.（2）设x＋1＝t，则x＝t－1f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.（3）解，将原式中的x与互换，得.于是得关于f(x)的方程组解