2018-2019学年江苏省无锡市崇安区、梁溪区九年级（上）期末数学试卷

2018-2019学年江苏省无锡市崇安区、梁溪区九年级（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四总分得分注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。一、选择题1、方程x（x-2）=0的解是（）A.-2 B.0或2 C.0或-2 D.无实数根 2、已知=，则的值为（）A. B.C. D. 3、若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有一个解为x=-1，则m的值为（）A.-1 B.1 C.-3 D.3 4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则cosA的值是（）A. B.C. D. 5、如图，点A、B、C为⊙O上三点，∠ABC=40°，则∠AOC的度数是（）A.40° B.50° C.60° D.80° 6、河堤的横断面如图所示，堤高BC=5m，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长是（）A.10mB.5mC.10

mD.5m 7、对于二次函数y=x2-2x-1，下列说法不正确的是（）A.函数图象的对称轴是直线x=1 B.函数图象的顶点坐标为（1，-2）C.当x＞2时，y随x的增大而增大 D.函数图象与y轴交于点（0，1） 8、如图，一个扇形纸片AOB，其圆心角为90°，半径为6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A.12 B.6C.6 D. 9、如图．等边△ABC的边长为5，点D、E、F分别在三边AC、AB、BC上，且AE=2，DF⊥DE，∠DEF=60°，则DF的长为（）A.3 B.2C. D. 10、若关于x的方程x2-2kx+k-3=0的一个实数根为x1≥3，另一个实数根x2≤0，则关于x的二次函数y=x2-2kx+k-3图象的顶点到x轴距离的最小值是（）A. B.C. D. 二、填空题1、已知sinα=，那么锐角α的度数是______．2、已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是______．3、如图，▱ABCD中，E是BC上一点，BE：EC=2：1，AE交BD于点F，若S△BEF=4，则S△ADF=______．4、某种植基地2018年蔬菜产量为100吨，预计2020年蔬菜产量将达到144吨．设蔬菜产量平均每年增长的百分率为x，根据题意可列方程为______．5、如图，一次函数y=mx+n的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于A（-1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是______．6、如图，由边长为1的小正方形组成的虚线网格中，点A、B、C、D为格点（即小正方形的顶点），AB、CD相交于点P，则PC的长为______．7、如图，△ABC中，BC=5，AC=4，S△ABC=，点D从点B开始以每秒1个单位的速度沿BC向点C运动，同时点E从点C开始以每秒2个单位的速度沿CB向点B运动，过点E作直线EF∥AC交AB于点F，当运动______秒时，直线EF与以点D为圆心，BD为半径的圆相切．8、在一个等腰三角形中，若腰上的高与底角的平分线的比值为，则这个等腰三角形的顶角的度数为______．三、计算题1、解方程：（1）x2-4x+2=0（2）（2x-3）2=3（2x-3）______四、解答题1、已知二次函数y=x2+bx+c的图象的顶点坐标为（2，-3），求b、c的值．______2、已知，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）．（1）以点B为位似中心，在网格区域内画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且位似比为2：1；（2）点A1的坐标是______；（3）△A1BC1的面积=______个平方单位．______3、某商店以20元/千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图中线段AB所示．（1）求y与x的函数表达式；（2）要使每天的销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？______4、如图，已知▱ABCD，点E在边BC延长线上，连接AE，如果∠EAC=∠D．（1）求证：△EAC∽△EBA；（2）若=，求的值．______5、如图是投影仪安装截面图，投影仪A发出的光线夹角∠BAC=30°，投影屏幕高BC=m．固定投影仪的吊臂AD=0.5m，且AD⊥DE，AD∥EF，∠ACB=45°，求屏幕下边沿C离教室顶部的距离CE（结果精确到01m），______6、如图，一次函数y=x+4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，点P是线段AB上的一动点，以P为圆心，r为半径画圆．（1）若点P的横坐标为-3，当⊙P与x轴相切时，求半径r的值并判断此时⊙P与y轴的位置关系；（2）若r=，当⊙P与坐标轴有且只有3个公共点时，求点P的坐标．______7、如图，点O在▱ABCD的AD边上，⊙O经过A、B、C三点，点E在⊙O外，且OE⊥BC，垂足为F．（1）若EC是⊙O的切线，∠A=65°，求∠ECB的度数；（2）若OF=4，OD=1，求AB的长．______8、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的正半轴交于点A、B，与y轴的负半轴交于点C，点D为OC的中点，DA的延长线交抛物线于另一点E，连接OE，已知点A（1，0），且S△AOD=2S△AOE．（1）求点D和点E的坐标（用含字母c的代数式表示）；（2）若tan∠OED=，求该二次函数的函数表达式．______9、如图，在正方形ABCD中，AB=1，点E，F，G分别在边AD，AB，CD上，△EFG为等边三角形（1）如图1，当FG∥BC时，求AE的长；（2）当AE=时，求∠DGE的正切值；（3）如图2，设AE长为x，△EFG的面积为S，求S与x的函数表达式，并直接写出x的取值范围．______

2018-2019学年江苏省无锡市崇安区、梁溪区九年级（上）期末数学试卷参考答案一、选择题第1题参考答案:B解：∵x（x-2）=0，∴x=0或x-2=0，解得：x1=0，x2=2，故选：B．通过提取公因式（x-2）对等式的左边进行因式分解，然后解方程．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．---------------------------------------------------------------------第2题参考答案:C解：∵=，设x=5k，y=3k（k≠0），则==，故选：C．设x=5k，y=3k（k≠0），代入所求式子可得结论．本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积，解决问题的关键是利用设k法．---------------------------------------------------------------------第3题参考答案:C解：根据题意，将x=-1代入x2-2x+m=0，得：1+2+m=0，解得m=-3，故选：C．把x=-1代入方程x2-2x+m=0得1+2+m=0，然后解关于m的方程即可．本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．---------------------------------------------------------------------第4题参考答案:A解：在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得AB==，∴cosA===，故选：A．根据勾股定理，可得AB的长，根据余弦函数等于邻边比斜边，可得答案．本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．---------------------------------------------------------------------第5题参考答案:D解：∵∠AOC=2∠ABC，∠ABC=40°，∴∠AOC=80°，故选：D．根据圆周角定理即可解决问题．本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．---------------------------------------------------------------------第6题参考答案:A解：∵Rt△ABC中，BC=5米，迎水坡AB的坡比为1：，∴BC：AC=1：，∴AC=•BC=5（米），∴AB==10（米）故选：A．在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用坡度和勾股定理解答．---------------------------------------------------------------------第7题参考答案:D解：∵二次函数y=x2-2x-1=（x-1）2-2，∴对称轴是直线x=1，故选项A正确，顶点坐标为（1，-2），故选项B正确，当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项C正确，函数图象与y轴交于点（0，-1）故选项D错误，故选：D．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．本题考查二次函数的性质、图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．---------------------------------------------------------------------第8题参考答案:C解：连接OD，如图，∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，∴AC=OC，∴OD=2OC=6，∴CD==3，∴∠CDO=30°，∠COD=60°，∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD-S△COD=-•3•3=6π-，∴阴影部分的面积为6π-．故选：C．连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，AC=OC，则OD=2OC=6，CD=3，从而得到∠CDO=30°，∠COD=60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD-S△COD，进行计算即可．本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠的性质．---------------------------------------------------------------------第9题参考答案:D解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，∵∠DEF=60°，∴∠ADE=180°-60°-∠1，∠2=180°-∠1-60°，∴∠ADE=∠2，∴△ADE∽△BEF，∴=，∵DF⊥DE，∠DEF=60°，∴=2，∴BF=2AE=4，过E作EG⊥BF于G，∵∠B=60°，BE=5-2=3，∴BG=1.5，EG=，∴FG=，∴EF==，∴DF=EF=，故选：D．根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B=60°，∠DEF=60°，根据相似三角形的性质得到BF=2AE=4，过E作EG⊥BF于G，解直角三角形得到BG=1.5，EG=，求得FG=，根据勾股定理得到EF==，于是得到DF=EF=．本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，根据平角等于180°和三角形的内角和定理求出∠2=∠ADE是解题的关键，也是本题的难点．---------------------------------------------------------------------第10题参考答案:D解：由题意得：x=3时，y≤0，x=0时，y≤0，即：，解得：，二次函数y=x2-2kx+k-3=（x-k）2-k2+k-3，顶点的y坐标为：-k2+k-3，当时，-k2+k-3，在k=时，取得最小值，即：当k=时，-k2+k-3=-，即：图象的顶点到x轴距离的最小值是，故选：D．由题意得：x=3时，y≤0，x=0时，y≤0，可以确定k的取值范围；二次函数顶点的纵坐标为-k2+k-3，在k的取值范围内计算最小值即可．本题考查的是二次函数的综合运用，核心是通过：x=3时，y≤0，x=0时，y≤0，可以确定k的取值范围，此题难度适中．二、填空题---------------------------------------------------------------------第1题参考答案:30°解：∵角α是锐角，且sinα=，∴∠α=30°．故答案为：30°．根据特殊角的锐角三角函数值求解．本题主要考查的是特殊角的三角函数值．---------------------------------------------------------------------第2题参考答案:20πcm2解：这个圆锥的侧面积=•2π•4•5=20π（cm2）．故答案为20πcm2．根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．---------------------------------------------------------------------第3题参考答案:9解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BFE∽△DFA，∵BE：EC=2：1，∴BE：AD=2：3，∴=（）2=，∵S△BEF=4，∴S△ADF=9，故答案为：9．根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，证明△BFE∽△DFA，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算．本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．---------------------------------------------------------------------第4题参考答案:100（1+x）2=144解：设该种植基地蔬菜产量的年平均增长率（百分数）为x，根据题意，得100（1+x）2=144，故答案为：100（1+x）2=144．根据2020年的产量=2018年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2019年和2020年的产量的代数式，根据条件找准等量关系，列出方程．---------------------------------------------------------------------第5题参考答案:x＜-1或x＞4解：当x＜-1或x＞4，所以关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是x＜-1或x＞4．故答案为x＜-1或x＞4．写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．---------------------------------------------------------------------第6题参考答案:解：由勾股定理得，CD==，由图形可知，点E是CD的中点，∴EC=CD=，BE=，∵AC∥BE，∴△APC∽△BPE，∴==，即=，解得，PC=，故答案为：．根据勾股定理求出CD，结合图形求出CE，根据相似三角形的性质定理列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．---------------------------------------------------------------------第7题参考答案:解：如图，作BM⊥AC于M，设直线EF与⊙D相切于点N，连接DN．∵S△ABC=•AC•BM=，∴BM=，∵FE∥AC，∴∠DEN=∠C，∵∠DNE=∠BMC，∴△DNE∽△BMC，∴=，∴=，∴DE=x，∵BC=BD+DE+EC，∴5=x+x+2x，∴x=故答案为．如图，作BM⊥AC于M，设直线EF与⊙D相切于点N，连接DN．利用相似三角形的性质求出DE，根据BC=BD+DE+EC，构建方程求出x即可．本题考查切线的性质与判定，平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．---------------------------------------------------------------------第8题参考答案:20°或100°解：如图1，∵BD⊥AC，BE平分∠ABC，∵sin∠BED==，∴∠BED=60°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠C+∠EBC=180°-60°=120°，∴∠C=80°，∴∠ABC=∠C=80°，∴∠A=20°；如图2，∵BD⊥AC，BE平分∠ABC，∵sin∠BED==，∴∠BED=60°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠C+∠EBC=60°，∴∠C=40°，∴∠ABC=∠C=40°，∴∠BAC=100°，故答案为：20°或100°．如图1，根据三角函数的定义得到∠BED=60°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．；如图2，根据三角函数的定义得到∠BED=60°，根据等腰三角形的性质和三角形的我觉得性质即可得到结论．本题考查了等腰三角形的性质，三角函数的定义，正确的作出图形是解题的关键．三、计算题---------------------------------------------------------------------第1题参考答案:解：∵x2-4x+2=0，∴a=1，b=-4，c=2，则△=16-4×1×2=8＞0，∴x==2±，∴x1=2+，x2=2-；（2）∵（2x-3）2=3（2x-3），∴（2x-3）2-3（2x-3）=0，∴（2x-3）（2x-3-3）=0，即（2x-3）（2x-6）=0，则2x-3=0或2x-6=0，解得x1=，x2=3．（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．此题分别考查了一元二次方程的几种解法，我们用适当方法首先考虑因式分解法，然后结合方程的形式选择计算最简单的方法解方程即可解决问题．四、解答题---------------------------------------------------------------------第1题参考答案:解：∵y=x2+bx+c的图象的顶点坐标为（2，-3），∴由题意可设y=（x-2）2-3，∴y=x2-4x+1，∴b=-4，c=1．根据二次函数的顶点式即可得到结论．本题主要考查了待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的性质．解题的关键是正确求出二次函数解析式．---------------------------------------------------------------------第2题参考答案:（-3，2）

10

解：（1）如图所示，△A1BC1即为所求；（2）由图知，点A1的坐标是（-3，2），故答案为：（-3，2）．（2）△A1BC1的面积=6×4-×4×2-×2×4-×6×2=10（个平方单位），故答案为：10．（1）延长BA到A1，使BA1=2BA，延长BC到C1，使BC1=2BC，再顺次连接即可得；（2）由所作图形可得坐标；（3）利用割补法求解可得．此题主要考查了位似变换和三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．---------------------------------------------------------------------第3题参考答案:解：（1）设y与x的函数表达式为y=kx+b（k≠0），将（20，60），（80，0）代入y=kx+b，得：，解得：，∴y与x的函数表达式为为y=-x+80．（2）根据题意得：（x-20）（-x+80）=800，整理得：x2-100x+2400=0，解得：x1=40，x2=60．答：销售单价应定为每千克20元或60元．（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出y与x的函数表达式；（2）根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．---------------------------------------------------------------------第4题参考答案:（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠EAC=∠D，∴∠EAC=∠B，又∠E=∠E，∴△EAC∽△EBA；（2）解：△EAC∽△EBA，=，∴===，∴EC=EA，EB=EA，则=．（1）根据平行四边形的性质得到∠B=∠D，得到∠EAC=∠B，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质，利用EA表示出EC、EB，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．---------------------------------------------------------------------第5题参考答案:解：过B作BH⊥AC于H，过A作AP⊥EF于P，∴PE=AD=0.5，在Rt△BCH中，BC=，∠ACB=45°，∴BH=HC=1，在Rt△ABH中，∠BAH=30°，∴AH=，∴AC=+1，∴PC=（+1），∴CE=（+1）+0.5≈2.4m．答：屏幕下边沿C离教室顶部的距离CE为2.4m．过点A作AP⊥EF，垂足为P，想办法求出PC的长即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．---------------------------------------------------------------------第6题参考答案:解：（1）把x=-3代入y=x+4，得：y=1，∴P（-3，1），即此时点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，∴当⊙P与x轴相切时，r的值为1，此时⊙P与y轴相离．（2）当⊙P与x轴相切，与y轴相交时，则点P的纵坐标为，把y=代入y=x+4，得：x=-，∴点P的坐标为（-，）；当⊙P与y轴相切，与x轴相交时，则点P的横坐标是-，把x=-代入y=x+4，得：y=，∴点P的坐标为（-，）；综上，⊙P与坐标轴有且只有3个公共点时，点P的坐标为（-，）或（-，）．（1）求出x=-3时y的值，得出点P的坐标，再根据直线与圆的关系求解可得；（2）分⊙P与x轴相切，与y轴相交和⊙P与y轴相切，与x轴相交两种情况，根据相切得出点P的横坐标或纵坐标，再进一步求解可得．本题是一次函数的综合问题，解题的关键是掌握直线与圆的位置关系及圆的切线的判定与性质、一次函数上点的坐标特点．---------------------------------------------------------------------第7题参考答案:解：（1）连接OB、OC，如图，∵EC是⊙O的切线，∴∠OCE=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ABC=180°-∠A=180°-65°=115°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠A=65°，∴∠OBC=115°-65°=50°，∴∠OCB=50°，∴∠BCE=∠OCE-∠COB=90°-50°=40°；（2）解：作DH⊥BC于H，如图，设⊙O的半径为r，则AD=r+1，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD=r+1，AD∥BC，AB=CD，∵OE⊥BC，∴四边形ODHF为矩形，BF=CF=（r+1），∴FH=OD=1，DH=OF=4，在Rt△OCF中，42+（r+1）2=r2，解得r1=-（舍去），r2=5，在Rt△CDH中，∵CH=2，DH=4，∴CD==2，∴AB=2．（1）连接OB、OC，如图，利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质计算出∠OCB=50°，即可得到结论；（2）作DH⊥BC于H，如图，设⊙O的半径为r，则AD=r+1，利用平行四边形的性质得BC=AD=r+1，AD∥BC，AB=CD，再根据垂径定理得BF=CF=（r+1），在Rt△OCF中利用勾股定理得到42+（r+1）2=r2，解方程得到r=5，然后在Rt△CDH中利用勾股定理计算CD即可得到AB的长．本题考查了切线的性质，平行四边形的性质和垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．---------------------------------------------------------------------第8题参考答案:解：（1）如图1，过E作EH⊥x轴于H，当x=0时，y=c，∴C（0，c），∵点D为OC的中点，∴D（0，），∵S△AOD=2S△AOE，∴，∵EH∥OD∴△AOD∽△AHE∴=2∴AH=，EH=-，∴E（，-）；（2）如图2，作AM⊥AE，MN⊥OA，垂足分别为A、