人教版数学八年级上册 14.2 乘法公式

14.2乘法公式14.2.1平方差公式一、新课导入1.导入课题:某同学在计算98×102时将其变成（100-2）（100+2）并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课我们一起来探讨上述计算的规律.2.学习目标:（1）掌握平方差公式的推导及应用.（2）了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.3.学习重、难点:重点：平方差公式及应用.难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.二、分层学习1.自学指导:（1）自学内容：探究平方差公式.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：通过计算多项式乘以多项式，观察等式两边的结构特点进行总结规律.（4）探究提纲：①用多项式相乘的方法计算（x+1）(x-1)=x2-1.(m+2)(m-2)=m2-4.(2x+1)(2x-1)=4x2-1.②再来计算(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.③观察上面的结果，你发现了什么规律？把你发现的规律写出来.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.④用你发现的规律直接写出结果.(a+1)(a-1)=a2-1;(x+3)(x-3)=x2-9;⑤你能根据图1中图形的面积说明平方差公式吗？方法一：设矩形EBNM的面积+矩形ADFE的面积=S.S=(a-b)b+(a-b)a=a2-b2.方法二：如果剪下矩形EBNM拼到FBND的位置，如图2，则S=S四边形AEBN=(a+b)(a-b).2.自学：学生结合探究提纲进行自主探究.3.助学：（1）师助生:①明了学情:了解学生能否从计算中发现规律并用数学式子表达规律.②差异指导:引导学困生理解公式中a、b表示的意义及思考图中面积S的计算方法.（2）生助生:互讲推导过程与方法，有异议的地方可合作交流探讨.4.强化：（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a2-b2.（2）直接利用公式计算（3x+y）(3x-y)=9x2-y2.1.自学指导:（1）自学内容：教材第108页例1、例2.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：注意运用平方差公式时如何确定公式中a、b分别表示什么？（4）自学参考提纲：①例1中，式子(-x+2y)(-x-2y)可以将-x看成公式中的a,2y看成公式中的b,结果是x2-4y2.②例2中，（y-1）(y+5)为什么没有用平方差公式进行运算？不符合平方差公式的条件，不能写成一个式子的平方与另一个式子的平方差的形式.③例2中，102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996，这是数字计算中的一种巧算，试想想怎样的两个数能用平方差公式进行简便运算？2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情:了解学生是否看懂例题是如何运用公式的，公式中的a,b各代表什么？②差异指导:强化不同层次学生对平方差公式适用的条件的理解及公式中a,b代表的式子的确定.(2)生助生：学生之间相互交流探讨解决问题.4.强化：（1）无论是“两数和乘以两数差”还是“两项式乘以两项式，一项相同，另一项互为相反数”，都应该符合平方差公式的要求，都能运用公式进行计算.（2）认真分析式子的特点，特别注意符号变化.（3）下列式子能用平方差公式计算吗？①（3x+2）(3x-2);②(b+2a)(2a-b);③（-x+2y）(-x-2y);能.9x2-4能.4a2-b2能.x2-4y2④102×983；⑤（-x+y）(x-y).不能.不能.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和学后体会.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、收效及不足进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：平方差公式体现了特殊多项式相乘的结果，教师可引导学生由多项式乘法法则推出，然后引导学生观察公式的结构特征，从本质上认识符合公式特征的多项式相乘，以便于灵活解决实际问题.一、基础巩固（每题10分，共70分）1.下列多项式中，可以用平方差公式计算的是（B）A.(2a-3b)(-2a+3b)B.(-3a+4b)(-4b-3a)C.(a-b)(b-a)D.(a-b-c)(-a+b+c)2.下列各式中，运算结果为x2-36y2的是（D）A.(x+4y)(x-9y)B.(-6y+x)(-6y-x)C.(-6y+x)(6y-x)D.(-6y-x)(6y-x)3.下列计算结果正确的是（C）A.(x+2)(x-2)=x2-2B.(x+2)(3x-2)=3x2-4C.(ab-c)(ab+c)=a2b2-c2D.(-x-y)(x+y)=x2-y24.(xn+4)(xn-4)=x2n-16,(-a+2b)(-a-2b)=a2-4b25.计算：(+x)(-x=-x2.6.计算：（a+3）(-a+3)=9-a2.7.用简便方法计算:（1）20×19解：原式=（20+）（20-）=202-（）2=400-=399（2）20152-2014×2016解：原式=20152-（2015-1）（2015+1）=20152-［20152-1］=1二、综合应用（每题10分，共20分）8.计算(x-3)(x2+9)(x+3)解：原式=(x2-9)(x2+9)=x4-819.计算(a+b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b)解：原式=a2-b2-(9a2-4b2)=b2-8a2三、拓展延伸（共10分）10.已知x2-y2=34,x-y=2,求3y-x的值.解：∵x2-y2=(x+y)(x-y)=342(x+y)=34x+y=173y-x=(x+y)-2(x-y)=17-2×2=1314.2.2完全平方公式一、新课导入1.导入课题：一块边长为a米的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.（如图）用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你发现了什么呢？2.学习目标：（1）能用符号和文字表述完全平方公式.（2）能运用完全平方公式解题.（3）体验归纳添、去括号法则.3.学习重、难点：重点：完全平方公式及应用及添、去括号法则.难点：完全平方公式的几何意义的理解.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：探究完全平方公式.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：计算、比较分析、猜想结论.（4）探究提纲：①计算下列多项式的积，观察它们的算式形式与运算结果有什么规律.a.(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+1;b.(m+2)2=m2+4m+4;c.(2a+1)2=4a2+4a+1;d.(2x-3)2=4x2-12x+9.②猜想：根据你发现的规律，你能直接写出（a+b）2的计算的结果是a2+2ab+b2，（a－b）2的结果是a2-2ab+b2.③下列等式正确吗？若不对，对比②中发现的规律找出错在什么地方？(x－3)2=x2－9(2m+1)2=4m2+1都不对，都漏掉完全平方公式的“中间项”.④试用下图1，2验证(a±b)2的结果的正确性.请你根据图1，图2说出（a+b）2和（a-b）2的计算结果的几何意义.⑤试用文字表述②中发现的规律.两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.2.自学：学生结合探究提纲进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生的探究过程及归纳总结的规律是否正确，收集学习中存在的问题.②差异指导：教师询问个别学生从探究中如何总结规律并表述规律及如何借助图1、2验证猜想.（2）生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：（1）总结交流：公式的特点.等号左边等号右边符号特征（2）先用公式计算下列各题，再用多项式乘法法则验证.①（2x－3）2；②（x+y）2；③（m+2n）2；④（2x－4）2解：①4x2-12x+9②x2+2xy+y2③m2+4mn+4n2④4x2-16x+161.自学指导：（1）自学内容：教材第110页例3、例4.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：认真观察例题中如何运用公式，分清题目中相当于公式中a、b的数或式是什么.（4）自学参考提纲：①式子（4m+n）2中，4m看作公式中的a,n看作公式中的b，所以（4m+n）2=（4m+n)(4m+n)=16m2+8mn+n2.②（y－）2=y2－2·y·()+=y2-y+.③因为102=100+2，所以1022=(100+2)2=(100)2+2×100×2+(2)2=10404.④怎样计算9982？说说你的想法.用完全平方公式，将998写成1000-2，则9982=(1000-2）2=10002-2×1000×2+22=996004.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生是否从例题中学会正确运用公式的思考过程.②差异指导：帮助学困生对照公式怎样确定“a”、“b”.（2）生助生：完成自学提纲，同组内互相检查、交流帮助纠错.4.强化：（1）应用公式时，先确定公式中的“a”、“b”是什么？（2）运用完全平方公式计算：①（－x－y）2；②（2y－）2解:①x2+2xy+y2;②4y2-y+.（3）思考：（a+b）2与（-a－b）2相等吗？（a-b）2与（b-a）2相等吗？为什么？相等.相等.因为互为相反数的数或式子平方相等.1.自学指导：（1）自学内容；教材第111页例5上面的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真看课本，并结合自学参考提纲进行学习，注意添加括号时，括号前面是正号和负号时，括号内各项符号的变化.（4）自学参考提纲：①整式中添加括号的依据是什么？②添括号法则是怎样的？③如何验证你添括号的正确性？④在等号右边的括号内填上适当的项.a+b-c=a+（b-c）;a+b-c=a-（c-b）;a-b+c=a-(b-c)a-b-c=a-（b+c）;a+b+c=a-（-b-c）;a+2b-6c=a+2(b-3c).2.自学：学生可结合自学提纲进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生对添括号法则是否学会，会不会检验添括号的正确性.②差异指导：对学生进行个别指导：括号前为负号时，添括号后注意什么.（2）生助生：学生之间相互指导.4.强化：(1)添括号法则.（2）括到括号内的各项符号的变与不变与什么有关.(3)注意各项都变或都不变的意思.(4)判断下列运算是否正确，若不正确，请改正过来.①2a-b-=2a-（b-）②m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）③2x-3y+2=-（2x+3y-2）④a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）解：①不正确，应等于2a-b+②不正确，应等于m-(3n-2a+b)③不正确，应等于-（-2x+3y-2）④不正确，应等于（a-2b）-（4c-5）1.自学指导：（1）自学内容；教材第111页例5的内容.（2）自学方法：认真看教材，注意观察多项式相乘的特点，以便合理地添括号选用相应的公式.（3）自学参考提纲：①计算（x+2y-3）（x-2y+3）时，第一步将整式变形为［x+(2y-3)］［x-(2y-3)］，目的是什么？本题计算过程中，先后运用了几个公式？本题对应用公式计算有何启示？②计算(a+b+c)2时，例题是写成［(a+b)+c］2，把a+b当作完全平方式中的a，把c当作完全平方式中的b，还有没有其它的添括号的方法计算本题，试试吧！③运用乘法公式计算（1）(a+2b-1)2;（2）（2x+y+z）(2x-y-z).解：（1）原式=（a+2b）2-2（a+2b）+12=a2+4ab+4b2-2a-4b+1;（2）原式=[2x+（y+z）][2x-（y+z）]=4x2-(y+z)2=4x2-y2-2yz-z2.2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生是否灵活运用添括号的法则添加括号，并运用完全平方公式计算.②差异指导：对学生学习过程中存在的问题予以分类指导.（2）生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：（1）总结交流：在乘法运算时，一定要观察多项式的特点，选用对应的公式进行运算.（2）添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号是否正确.（3）练习：计算①(a+b+1)(a+b-1);②(2x-y-3)2.解：①原式=a2+2ab+b2-1;②原式=（2x）2-2x·（y+3）+(y+3)2=4x2-2xy-6x+y2+6y+9三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和学习体会.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、收效及不足进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时教学重点是引导学生观察分析完全平方公式的结构特征，教师可组织学生独立观察，再在小组内交流，最后由教师归纳评点，以便学生认识与完全平方公式相关的所有变式.一、基础巩固（第1、2、3、4、5题每题8分，第6题20分，共60分）1.（-3x-1）2=9x2+6x+1;（-2x+5）2=4x2-20x+25;2.（x-y-1）2=x2+y2-x-xy+2y+1;(x-y)2=x2-xy+y2.3.（x+y）2-4xy=（x-y）299.82=(100-0.2)2=9960.044.（1）若（x-5）2=x2+kx+25,则k=-10;（2）若4x2+mx+9是完全平方式，则m=12.5.下列各式中，与（x-1）2相等的是（B）A.x2-1B.x2-2x+1