2024届北京市北师大二附中高二上数学期末检测试题含解析

2024届北京市北师大二附中高二上数学期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（）A.2 B.3C.4 D.52．若数列的通项公式为，则该数列的第5项为（）A. B.C. D.3．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，.若双曲线M的右支上存在点P，使，则双曲线M的离心率的取值范围为（）A. B.C. D.4．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则输入的的值可能为（）A.96 B.97C.98 D.995．正方体的表面积为，则正方体外接球的表面积为（

）A. B.C. D.6．若圆与圆相切，则的值为（）A. B.C.或 D.或7．某家大型超市近10天的日客流量（单位：千人次）分别为：2.5、2.8、4.4、3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是（）A.散点图 B.条形图C.茎叶图 D.扇形图8．如图，是函数的部分图象，且关于直线对称，则（）A. B.C. D.9．用反证法证明“若a，b∈R，，则a，b不全为0”时，假设正确的是（）A.a，b中只有一个为0 B.a，b至少一个不为0C.a，b至少有一个为0 D.a，b全为010．已知等比数列的前n项和为，且，则（）A.20 B.30C.40 D.5011．已知点，是椭圆：的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，且，则的离心率为（）A. B.C. D.12．已知双曲线，其中一条渐近线与x轴的夹角为，则双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设是数列的前项和，且，，则__________14．已知数列都是等差数列，公差分别为，数列满足，则数列的公差为__________15．已知抛物线C：，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则______16．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为___________海里.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．其中e为然对数的底数（1）若，求函数的单调区间；（2）若，讨论函数的零点个数18．（12分）在平面直角坐标系中，点到两点的距离之和等于4，设点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）设直线与交于两点，为何值时？19．（12分）直线：和：（1）若两直线垂直，求m的值；（2）若两直线平行，求平行线间的距离20．（12分）已知，（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）当时，，求实数a的取值范围21．（12分）命题存在，使得；命题对任意的，都有（1）若命题p为真时，求实数a的取值范围；若命题q为假时，求实数a的取值范围；（2）如果命题为真命题，命题为假命题，求实数a的取值范围22．（10分）如图，在三棱锥中，侧面为等边三角形，，，平面平面，为的中点.（1）求证：；（2）若，求二面角的大小.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】依据椭圆和双曲线定义和题给条件列方程组，得到关于椭圆的离心率和双曲线的离心率的关系式，即可求得的值.【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，令，不妨设则，解之得代入，可得整理得，即，也就是故选：C2、C【解析】直接根据通项公式，求；【详解】，故选：C3、A【解析】利用三角形正弦定理结合，用a，c表示出，再由点P的位置列出不等式求解即得.【详解】依题意，点P不与双曲线顶点重合，在中，由正弦定理得：，因，于是得，而点P在双曲线M的右支上，即，从而有，点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有，因此，，而，整理得，即，解得，又，故有，所以双曲线M的离心率的取值范围为.故选：A4、D【解析】根据程序框图得出的变换规律后求解【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，可得输出的T关于t的变换周期为4，而，故时，输出的值为，故选：D5、B【解析】由正方体表面积求得棱长，再求得正方体的对角线长，即为外接球的直径，从而可得球表面积【详解】设正方体棱长为，由得，正方体对角线长，所以其外接球半径为，球表面积为故选：B6、C【解析】分类讨论:当两圆外切时，圆心距等于半径之和；当两圆内切时，圆心距等于半径之差，即可求解.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为.①当两圆外切时，有，此时.②当两圆内切时，有，此时.综上，当时两圆外切；当时两圆内切.故选：C【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解答两圆相切问题时易忽略两圆相切包括内切和外切两种情况.解答时注意分类讨论，属于基础题.7、A【解析】根据数据的特征以及各统计图表的特征分析即可；【详解】解：茎叶图、条形图、扇形图均能将数据描述出来，并且能够体现出数据的变化趋势；散点图表示因变量随自变量而变化的大致趋势，故用来描述该超市近10天的日客流量不是很合适；故选：A8、C【解析】先根据条件确定为函数的极大值点，得到的值，再根据图像的单调性和导数几何意义得到和的正负即可判断.【详解】根据题意得，为函数部分函数的极大值点，所以，又因为函数在单调递增，由图像可知处切线斜率为锐角，根据导数的几何意义，所以，又因为函数在单调递增，由图像可知处切线斜率为钝角，根据导数的几何意义所以.即.故选：C.9、D【解析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设【详解】由于“a，b不全为0”的否定为：“a，b全为0”，所以假设正确的是a，b全为0.故选：D10、B【解析】利用等比数列的前n项和公式即可求解.【详解】设等比数列的首项为，公比为，则，由得，即，解得或（舍），且代入①得，则，所以.故选：B.11、D【解析】设，先求出点，得，化简即得解【详解】由题意可知椭圆的焦点在轴上，如图所示，设，则，∵为等腰三角形，且，∴.过作垂直轴于点，则，∴，，即点.∵点在过点且斜率为的直线上，∴，解得，∴.故选：D【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出椭圆的代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（通过已知找到关于离心率的方程解方程即得解）.12、C【解析】由已知条件计算可得，即得到结果.【详解】由双曲线，可知渐近线方程为，又双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为，故，即渐近线方程为.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】原式为，整理为：，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以，即.【点睛】这类型题使用的公式是，一般条件是，若是消，就需当时构造，两式相减，再变形求解；若是消，就需在原式将变形为：，再利用递推求解通项公式.14、##【解析】利用等差数列的定义即得.【详解】∵数列都是等差数列，公差分别为，数列满足，∴.故答案为：.15、9【解析】过A、、作准线的垂线且分别交准线于点、、，根据抛物线的定义可知，由梯形的中位线的性质得出，进而可求出的结果.【详解】由抛物线，可知，则，所以抛物线的焦点坐标为，如图，过点A作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，由抛物线的定义可得，再根据为线段的中点，而四边形为梯形，由梯形的中位线可知，则，所以.故答案为：9.16、【解析】利用正弦定理求得甲驱逐舰与乙护卫舰的距离.【详解】，设甲乙距离，由正弦定理得.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调递减区间为，单调递增区间为和；（2）当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点.【解析】(1)求导，令导数大于零求增区间，令导数小于零求减区间；(2)求导数，分、、a＞2讨论函数f(x)单调性和零点即可.【小问1详解】当时，，易知定义域为R，，当时，；当或时，故的单调递减区间为，单调递增区间为和；【小问2详解】当时，x正0负0正单增极大值单减极小值单增当时，恒成立，∴；当时，①当时，，∴无零点；②当时，，∴有1个零点；③当时，，又当时，单调递增，，∴有2个零点；综上所述：当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点【点睛】结论点睛：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用18、（1）；（2）.【解析】（1）由题意可得：点的轨迹为椭圆，设标准方程为：，则，，，解出可得椭圆的标准方程（2）设，，直线方程与椭圆联立，化为：，恒成立，由，可得，把根与系数的关系代入解得【详解】解：（1）由题意可得：点的轨迹为椭圆，设标准方程为：，则，，，可得椭圆的标准方程为：（2）设，，联立，化为：，恒成立，，，，，，解得．满足当时，能使【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题19、（1）；（2）【解析】（1）由直线一般方程的垂直公式，即得解；（2）由直线一般方程的平行公式，求得，再由平行线的距离公式，即得解.【小问1详解】∵两直线垂直，∴，解得【小问2详解】∵两直线平行，∴，解得或1，经过验证时两条直线重合，舍去．∴可得：直线：，：∴两直线间的距离20、（1）（2）【解析】（1）求出函数的导函数，再解导函数的不等式，即可求出函数的单调递减区间；（2）依题意可得当时，当时，显然成立，当时只需，参变分离得到，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围；【小问1详解】解：当时定义域为，所以，令，解得或，令，解得，所以的单调递减区间为；【小问2详解】解：由，即，即，当时显然成立，当时，只需，即，令，，则，所以在上单调递减，所以，所以，故实数的取值范围为.21、（1）p为真时或，q为假时；（2）{或}.【解析】（1）p为真应用判别式求参数范围；q为真，根据恒成立求参数范围，再判断q为假对应的参数范围.（2）由题设易得p、q一真一假，讨论p、q的真假，结合（1）的结果求a的取值范围【小问1详解】若p真，则有实数根，∴，解得或若q为真，则，即故q为假时，实数a的取值范围为【小问2详解】∵命题真命题，命题为假命题，∴p，q一真一假，当p真q假时，，可得当p假q真时，，可得综上，实数a取值范围为或.22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）取中点，由面面垂直和线面垂直性质可证得，结合，由线面垂直