2024届福建省莆田四中、莆田六中高二数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

2024届福建省莆田四中、莆田六中高二数学第一学期期末综合测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（）A.2 B.1C. D.2．已知：，直线l：，M为直线l上的动点，过点M作的切线MA，MB，切点为A，B，则四边形MACB面积的最小值为（）A.1 B.2C. D.43．已知数列满足，则（）A. B.1C.2 D.44．在平面直角坐标系中，直线+的倾斜角是（）A. B.C. D.5．已知向量，则“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是A. B.C. D.7．曲线上存在两点A，B到直线到距离等于到的距离，则（）A.12 B.13C.14 D.158．已知向量，，且，则实数等于（）A1 B.2C. D.9．在等比数列中，，，则等于（）A.90 B.30C.70 D.4010．已知p：，q：，那么p是q的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件11．已知全集，，（）A. B.C. D.12．函数的大致图象是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．双曲线的离心率为__________14．如图所示的是一个正方体的平面展开图，，则在原来的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为___________.15．已知函数在点处的切线为直线l，则l与坐标轴围成的三角形面积为___________.16．已知等差数列中，，，则______________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知动圆过定点，且与直线相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）直线过点与曲线相交于两点，问：在轴上是否存在定点，使？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由.18．（12分）已知数列为各项均为正数的等比数列，若（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和19．（12分）在中，内角的对边分别是，且（1）求角的大小（2）若，且，求的面积20．（12分）如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.21．（12分）如图，在四棱锥中中，平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，.（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.22．（10分）已知数列的前n项和为，且.（1）求的通项公式；.（2）求数列的前n项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】先根据垂直关系设切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径列式解得结果.【详解】因为切线与直线平行，所以切线方程可设为因为切线过点P(2，2)，所以因为与圆相切，所以故选：C2、B【解析】易知四边形MACB的面积为，然后由最小，根据与直线l：垂直求解.【详解】：化为标准方程为：,由切线长得：,四边形MACB的面积为，若四边形MACB的面积最小，则最小，此时与直线l：垂直，所以，所以四边形MACB面积的最小值，故选：B3、B【解析】根据递推式以及迭代即可.【详解】由，得，，，，，，.故选：B4、B【解析】由直线方程得斜率，从而得倾斜角【详解】由直线方程知直角斜率为，在上正切值为1的角为，即为倾斜角故选：B5、A【解析】根据得出，根据充分必要条件的定义可判断.【详解】解：∵，向量，，∴，即，根据充分必要条件的定义可判断：“”是“”的充分不必要条件，故选：A.6、D【解析】由于BF⊥x轴，故，设，由得，选D.考点：椭圆的简单性质7、D【解析】由题可知A，B为半圆C与抛物线的交点，利用韦达定理及抛物线的定义即求.【详解】由曲线，可得，即，为圆心为，半径为7半圆，又直线为抛物线的准线，点为抛物线的焦点，依题意可知A，B为半圆C与抛物线的交点，由，得，设，则，，∴.故选：D.8、C【解析】利用空间向量垂直的坐标表示计算即可得解【详解】因向量，，且，则，解得，所以实数等于.故选：C9、D【解析】根据等比数列的通项公式即可求出答案.【详解】设该等比数列的公比为q，则，则.故选：D10、C【解析】若p成立则q成立且若q成立不能得到p一定成立,p是q充分不必要条件.【详解】因为>0,<1,所以若p：成立，一定成立,但q：成立，p：不一定成立,所以p是q的充分不必要条件.故选：C.11、C【解析】根据条件可得，则，结合条件即可得答案.【详解】因，所以，则，又，所以，即.故选：C12、A【解析】由得出函数是奇函数，再求得，，运用排除法可得选项.【详解】法一：由函数，则，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除B；因为，所以排除D；因为，所以排除C，故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】∵双曲线的方程为∴，∴∴故答案为14、【解析】将展开图还原成正方体，通过建系利用空间向量的知识求解.【详解】将展开图还原成正方体，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，.则.设平面的法向量为，由令，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：15、【解析】先求出切线方程，分别得到直线与x、y轴交点，即可求出三角形的面积.【详解】由函数可得：函数，所以，.所以切线l：，即.令，得到；令，得到；所以l与坐标轴围成的三角形面积为.故答案为：.16、【解析】设等差数列的公差为，依题意得到方程，求出公差，再根据等差数列通项公式计算可得；【详解】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，所以，所以故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）存在，.【解析】（1）利用两点间的距离公式和直线与圆相切的性质即可得出；（2）假设存在点，满足题设条件，设直线的方程，根据韦达定理即可求出点的坐标【小问1详解】设动圆的圆心，依题意：化简得：，即为动圆的圆心的轨迹的方程【小问2详解】假设存在点，满足条件，使①，显然直线斜率不为0，所以由直线过点，可设，由得设，，，，则，由①式得，，即消去，，得，即，，，存在点使得18、（1）（2）【解析】（1）利用等比数列通项公式列出方程组，可求解，，从而写出；（2）化简数列，裂项相消法求和即可.【小问1详解】设数列的公比为，∵，∴，即①∵，∴②②÷①，解得∴∴【小问2详解】∵，∴∴∴19、（1）；（2）【解析】（1）根据，通过余弦定理求解.（2）根据，通过正弦定理，把角转化为边得，再根据，得．再代入的面积公式求解.【详解】（1）∵，∴由余弦定理得，又，∴.（2）∵，∴由正弦定理得，∵，∴，又，∴∴面积【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20、(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)证明，根据得到，得到证明.(Ⅱ)如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量，则，即，取得到，，设直线与平面所成角为故.【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据平面得到，结合得到证明。（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，计算平面的法向量，根据向量的夹角公式得到答案。【小问1详解】由于平面，平面，所以，由于，又，所以平面【小问2详解】两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，设平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，由，得，故可