高斯定理在广义引力引力计算中的应用

高斯定理在广义引力引力计算中的应用

在电磁学中，高斯定理和动静轨迹法是两个反应静态能量的基本特征。这两个假设可以解决许多对称分布于祖母的静电学问题。众所周知,静电场中的高斯定理和静电环路定理源于真空中两个点电荷之间的作用力满足平方反比规律——库仑定律。在经典力学领域里,两物体之间的万有引力也满足平方反比规律——牛顿万有引力定律。本文应用类比的方法,通过在万有引力场中定义引力场强矢量和万有引力势,将静电场中的高斯定理和静电环路定理推广到了经典万有引力场中,然后举例说明了这两个定理分别在某些质量对称分布的问题和天文上的应用。1高思定理在现场的引入1.1fb计算静电学中的库仑定律:⇀F=14πε0q1q2r2⋅⇀er(1)F⇀=14πε0q1q2r2⋅e⇀r(1)牛顿万有引力定律:⇀F=G⋅m1m2r2⋅⇀er(2)F⇀=G⋅m1m2r2⋅e⇀r(2)以上(1)、(2)两式在数学形式上完全等同。比较两式可得如下结论:1)电学中14πε014πε0相当于力学中的G,为了记法的方便,我们记为14πε0⇔G(下同),于是有1ε0⇔4πG(3)上式中ε0=8.85×10-12(C2·N-1·m-2),G=6.67×10-11(N·m2·kg-2)2)电学中电荷q相当于力学中的质量m,有q⇔m(4)1.2引力场强度矢量静电场中点电荷在电场中受到的电场力:⇀F=q⇀E(5)经典力学中质点在引力场中受到的重力:⇀Ρ=m⇀g(6)和电场强度类似,在万有引力场中定义一个引力场强度矢量(以下简称引力场强)⇀g⇀E⇔⇀g(7)且规定:试探质点在引力场中某点受到的力⇀f与其质量之比定义为引力场中该点的引力场强⇀g=⇀fm(8)如果已知引力场中某点的引力场强⇀g‚则质点在该处受到的引力可由下式给出⇀f=m⇀g(9)1.3道s的总引力场强通量的确定—万有引力场中高斯定理一般说来,引力场中的某点的⇀g是该点位置⇀r的矢量函数,对于多个质点产生的引力场,引力场强满足叠加原理。有了引力场强的定义后,就可以仿照电通量Фe的概念,在引力场中定义引力场强通量Фg:对某面积微元的引力场强通量:dΦg=⇀g⋅d⇀S=gdScosθ。其中θ是引力场强⇀g与面积微元d⇀S的夹角,因此,对某曲面S的总引力场强通量:Φg=∬S⇀g⋅d⇀S(10)有了引力场强通量的概念,就可以讨论穿过闭合曲面引力场强通量的问题。仿照电场中高斯定理的证明过程可以证明引力场中的高斯定理(本文证明从略)。由(7)、(3)、(4)式,并考虑到闭合曲面面积微元的法线正方向定义后,不难得到穿过某某闭合曲面S的引力场强通量应满足∯⇀E⋅d⇀S=1ε0∑qi⇔∯⇀g⋅d⇀S=-4πG∑mi(11)上式称为万有引力场中的高斯定理,与静电场中的高斯定理具有相似的形式。根据散度的定义,我们还可以将(11)式写成相应的微分形式∇⋅⇀E=ρε0⇔∇⋅⇀g=-4πGρ(12)此式说明万有引力场是一种有源场,它的源可认为就是质量分布。2高辛理论在柯尔伯格领域的应用2.1u3000y,品质微元dm的引力值及ls-df例题1:如图1,有一质量分布均匀的无限长细杆,其单位长度上的质量为ρ,细杆外距离细杆为a处有一质量为m0的质点。求质点受到的细杆的万有引力。解:建立如图所示的坐标系,在y轴上选取长度为dy的质量微元dm,则dm=ρdy,质点m0受到该质量微元dm的引力大小为dF=Gm0dmr2=Gm0ρdyr2(13)dF的x、y分量分别是dFx=dFsinθ‚dFx=Gm0ρsinθdyr2(14)dFy=dFcosθ‚dFy=Gm0ρcosθdyr2(15)结合图中几何关系,对以上两式积分可得:Fx=Gm0ρ∫sinθdyr2=Gm0ρa(cosθ1-cosθ2)(16)方向沿x轴负向;Fy=Gm0ρ∫cosθdyr2=Gm0ρa(sinθ2-sinθ1)(17)方向沿y轴负向;当a≪L时,细杆可视为无限长,这时有θ1=0,θ2=π于是有Fy=0‚Fx=2Gm0ρa(18)因此无限长质量分布均匀的细杆对它附近的质点的引力大小F=2Gm0ρa方向垂直于细杆沿着径向指向细杆。2.2柱面为小细杆的情况由于空间的各向同性以及细杆质量分布的轴对称性可知:细杆周围的引力场强的分布也具有轴对称性,它表现在:离开细杆距离相等的点g大小相等,这些点g方向垂直于细杆沿着径向指向细杆。作如图2所示圆柱形高斯面并计算其引力场强通量:Φg=∯S⇀g⋅d⇀S=∬上底⇀g⋅d⇀S+∬下底⇀g⋅d⇀S+∬侧⇀g⋅d⇀S(19)圆柱面的上下底面由于g的方向与dS方向处处垂直,故通量为0。在圆柱的侧面,g的方向与dS方向处处夹180°角,且侧面上各点的g大小相等。因此Φg=∯S⇀g⋅d⇀S=∬侧⇀g⋅d⇀S=-⇀g⋅∫侧dS=-g⋅2πrl(20)高斯面内包围的质量Σmi=ρl,由引力场的高斯定理得到-g⋅2πrl=-4πGρl→g=2Gρr(21)方向垂直于细竿沿着径向指向细杆。于是高斯面上质量为m0的质点受到的引力大小为Fx=2Gm0ρr(22)方向垂直细杆沿着径向指向细杆。这和方法(1)得到的结果相同。比较两种方法可知:应用引力场中的高斯定理大大简化了繁琐的运算。本题中如果细杆的粗细不能忽略,那么其引力场强分布就应为⇀g={-2πGρR2⇀err‚(r＞R)-2πGρ⇀r‚(r＜R)(23)式中⇀er是由柱收指向外的沿径向单位矢。这时,如果再用万有引力定律,就要求解复杂的二重积分。2.3引力场中的高斯定理例题2:将地球看成近似正圆球,设想沿地球赤道方向挖一条隧道,隧道内有一质量为m的小球,如图3。试分析小球的受力情况。忽略所有摩擦,并假设地球具有均匀密度ρ。解:设质点在距离球心为r处的万有引力场强为g,以球心为中心,r为半径作球面S。注意到地球质量分布的球对称性,应用引力场中的高斯定理:Φg=∯S⇀g⋅d⇀S=-g⋅4πr2(24)高斯面包围的质量:∑mi=ρ4πr23(25)因此,-g⋅4πr2=-4πG⋅ρ43πr3→g=43πGρ⇀r方向沿径向指向球心。在隧道中的质点受力大小为,F=mg=43πGρmr(26)方向沿径向指向球心。令k=43πGρm(常数),并设由球心指向外的单位矢为⇀er,此式可写为F=-kr⇀er=-k⇀r(27)由式(27)可知:力与位移大小成正比,方向与之相反。因此质点在隧道内的运动为简谐振动。此题如果根据万有引力定律去分析,我们将不可避免地要求解三重积分。高斯定理的应用直观明了且省去了许多繁杂的积分运算。类似地,我们可以求出质量分布均匀的球体对其内和其外的质点的作用力,这里不再赘述。3波浪方程和波浪方程3.1万有引力场的特征仿照万有引力场中的高斯定理的导出方法,可以用类比的方法导出万有引力场中的环路定理。静电场的环路定理∮L⇀E⋅d⇀l=0(28)⇀E⇔⇀g→引力场强⇀g的环流∶∮L⇀g⋅d⇀l=0(29)上式称为万有引力场中的环路定理。根据旋度的定义,(29)式可以写为相应的微分形式∇×⇀g=0(30)(30)式表明:和静电场一样,万有引力场也是一种无旋场。结合(12)式可以知道:万有引力场是一种有源无旋场。它们所反映的物理图像是质量分布是万有引力场的源,在静质量情形下万有引力场没有旋涡状结构。因此可以在万有引力场中引入万有引力势(以下简称引力势)和万有引力势能(以下简称引力势能)的概念。3.2引力势差的量值静电场中a、b两点的电势能之差定义为Wa-Wb=Aab=b∫aq0⇀E⋅d⇀l用Ep表示万有引力场中某点的势能,则万有引力场中a、b两点的引力势能之差定义为W⇔Ep,q⇔m,⇀E⇔⇀g→Epa-Epb=Aab=b∫am0⇀g⋅d⇀l(31)该势能差的量值就是将物体m0从a点移动到b点万有引力所做的功。势能是个相对概念,如果事先选取b点势能为0,则质量为m0的物体在a点具有的引力势能就为Epa=Aa0=(0)∫am0⇀g⋅d⇀l(32)该势能在量值上等于将物体m0从a点移动到零势能点万有引力所做的功。3.3引力势的叠加静电场中a、b两点的电势能之差定义为Va-Vb=Vab=b∫a⇀E⋅d⇀l用U表示万有引力场中某点的势,万有引力场中a、b两点的引力势之差可定义为V⇔U‚⇀E⇔⇀g→Ua-Ub=Uab=b∫a⇀g⋅d⇀l(33)引力势是个相对概念,如果事先选取b点引力势能为0,则万有引力场a点的引力势为Ua=Aa0m0=(0)∫a⇀g⋅d⇀l(34)一般说来,引力场中的某点的U是该点位置⇀r的标量函数,对于多个质点产生的引力场,引力势满足叠加原理。综合引力场强的定义,引力势和引力场强的关系应为⇀g=-∇U(35)结合(12)式有∇2U=4πGρ(36)式(36)即为静质量分布引力场——牛顿引力场方程。4例如，不规则路面计算的示例4.1第一宇重要速度的确定从地面以一定初速度v0发射一质量为m的人造地球卫星。人造地球卫星的初速度需要满足什么条件才能使得:(设地球质量为M,半径为Re)①卫星环绕地球运动?②卫星能够从地球引力场中逃逸?解:将卫星和地球组成的系统作为研究对象。①假定卫星绕地球作半径为r的圆周运动,则在初态:在地表开始发射时,系统的机械能E0=12mv20-GΜmRe(37)末态:卫星围绕地球运动时,系统的机械能E=12mv2-GΜmr(38)卫星绕地球运动时,有G=Μmr2=man=mv2r(39)此过程中机械能守恒:E=E0(40)由式(37)、(38)、(39)、(40),并考虑到在地表GΜmR2e=mg→GΜR2e=g‚最后得到:v0=√2gRe(1-Re2R)(41)显然,r增大,v0跟着增大,当r=Re=rmin时,v0=√gRe=7.9km/s。这就是第一宇宙速度,也称为环绕速度。②要使卫星能够从地球引力场中逃逸,卫星的初动能必须足以克服地表的引力势能,即12mv20≥GΜmRe→v0≥√2gRe=11.2km/s(42)这就是第二宇宙速度,也称为逃逸速度。5万有引力场中的质量分布万有引力场中的高斯定理说明了穿过闭合曲面的引力场强通量只和它包围的质量有关。万有引力场中的环路定理说明了万有引力沿闭合路径的环流为0,在万有引力场中可以定义引力势的概念。万有引力场也是一种有源无旋场,它的源就是质量分布。类