人教版高中物理新教材同步讲义 必修第三册 第10章　专题强化3　电场线、等势面与电荷运动轨迹问题　等分法的应用（含解析）

电场线、等势面与电荷运动轨迹问题等分法的应用[学习目标]1.会分析电场线、等势面与电荷运动轨迹相结合的问题.2.会用等分法确定等势点(面)及电场方向．一、电场线、等势面与电荷运动轨迹综合问题例1(2021·长治市潞州区高二期中)如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在静电力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN.下列判断正确的是()A．vM＜vN，aM＜aN B．vM＜vN，φM＜φNC．φM＜φN，EpM＜EpN D．aM＜aN，EpM＜EpN答案D解析由粒子的运动轨迹知粒子所受静电力的方向偏向右，因粒子带负电，故电场线方向偏向左，由沿电场线方向电势降低，可知φN<φM，EpM<EpN；N点附近电场线比M点密，故场强EM<EN，由加速度a＝eq\f(Eq,m)知aM<aN，粒子若从N点运动到M点，静电力做正功，动能增加，故vM>vN，粒子若从M点运动到N点，静电力做负功，动能减小，故vM>vN.综上所述，选项D正确．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法1．从轨迹的弯曲方向判断受力方向(合外力指向轨迹凹侧)，从而分析电场方向或电荷的正负．2．结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等．3．根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况．针对训练1(多选)如图所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹．设电子在A、B两点的加速度大小分别为aA、aB，电势能分别为EpA、EpB.下列说法正确的是()A．电子一定从A向B运动B．若aA＞aB，则Q靠近M端且为正电荷C．无论Q为正电荷还是负电荷一定有EpA＜EpBD．B点电势可能高于A点电势答案BC解析电子仅在静电力作用下可能从A运动到B，也可能从B运动到A，A错误；若aA＞aB，说明电子在A点受到的静电力大于在B点受到的静电力，所以A距离点电荷较近，B距离点电荷较远，又因为电子受到的静电力指向轨迹凹侧，因此Q靠近M端且为正电荷，B正确；无论Q是正电荷还是负电荷，若电子从A运动到B，一定是克服静电力做功，若电子从B运动到A，一定是静电力做正功，即一定有EpA＜EpB，C正确；对于同一个负电荷，电势低处电势能大，B点电势一定低于A点电势，D错误．例2(2022·温州市高二期中)如图所示，某次雷雨天气，带电云层和建筑物上的避雷针之间形成电场，图中虚线为该电场的三条等差等势线，实线为某带电粒子从A运动到B的轨迹，A、B为运动轨迹上的两点．带电粒子的重力不计，避雷针带负电．则()A．带电粒子带负电B．避雷针尖端附近电势较高C．带电粒子在A点的加速度大于在B点的加速度D．带电粒子在A点的电势能大于在B点的电势能答案D解析根据带电粒子的运动轨迹可知，带电粒子受到指向曲线弯曲内侧的作用力，即带电粒子与带负电的避雷针之间为相互吸引力，带电粒子带正电，A错误；避雷针带负电，带电云层和建筑物上的避雷针之间形成的电场中，电场线指向避雷针，沿着电场线的方向，电势降低，由此可知，避雷针尖端附近电势较低，B错误；等差等势线越密集的位置，电场强度越强，由此可知，B点的电场强度大小大于A点的，由牛顿第二定律a＝eq\f(Eq,m)，则带电粒子在B点的加速度大于在A点的加速度，C错误；避雷针尖端附近电势较低，即φA>φB，根据电势能与电势的关系Ep＝qφ，又因为粒子带正电，则带电粒子在A点的电势能大于在B点的电势能，D正确．二、用等分法确定匀强电场中的等势线和电场线1．在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等，如图甲所示，如果AB＝BC，则UAB＝UBC.2．在匀强电场中，相互平行且相等的线段两端点间的电势差相等，如图乙所示，▱ABCD中，UAB＝UDC，UBC＝UAD.3．由于匀强电场中沿任意一条直线电势降落都是均匀的，如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的eq\f(1,n)，像这样采用等分间距求电势的方法，叫作等分法．4．确定匀强电场的电场方向：在匀强电场中，先利用等分法确定电势相等的点，画出等势面(线)，然后根据电场线与等势面(线)垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面(线)指向电势低的等势面(线)，电场线的方向也就是电场方向．例3(2021·南昌一中期中)如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别是φA＝15V，φB＝3V，φC＝－3V，由此可以推断D点的电势φD是()A．6VB．9VC．3VD．12V答案B解析由匀强电场的特点知，在匀强电场中，相互平行且相等的线段两端点间的电势差相等．故有UAB＝UDC，即φA－φB＝φD－φC，所以φD＝9V，故选B.例4如图所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6V，点B处的电势为3V，则电场强度的大小为()A．200V/m B．200eq\r(3)V/mC．100V/m D．100eq\r(3)V/m答案A解析在匀强电场中，沿某一方向电势均匀降低或升高，故OA的中点C的电势φC＝3V(如＝eq\f(1,2)，所以d＝eq\f(1,2)eq\x\to(OC)＝1.5×10－2m．匀强电场的电场强度E＝eq\f(U,d)＝eq\f(3,1.5×10－2)V/m＝200V/m，故选项A正确．用等分法找等势点的技巧1．在匀强电场中，将电势最高点和电势最低点连接后，根据需要等分成若干段，必能找到第三点的等势点．2．在匀强电场中，两等势点的连线一定是等势线，与等势线垂直、由高电势指向低电势的方向一定是电场方向．3．等分法的关键是找到电势相等的点，进而画出电场线．4．用等分法确定电势或电场强度方向只适用于匀强电场．针对训练2(多选)(2021·驻马店市高二期末)如图所示，在xOy坐标系中有一底角为60°的等B点电势为0，则由此可以判定()A．电场的电场强度大小为150eq\r(3)V/mB．电场的电场强度大小为100eq\r(3)V/mC．电场的方向与x轴正方向成30°角向上D．电场的方向沿x轴正方向答案AC解析因原点O的电势为9V，B点电势为0，可知OB连线中点(设为D)的电势为φD＝eq\f(φO＋φB,2)＝4.5V，因A点电势为4.5V，可知AD为等势面，则由几何关系可知，场强方向沿OB方向，与x轴正方向成30°角向上，大小为E＝eq\f(UOB,dOB)＝eq\f(9,2×2×\f(\r(3),2))V/cm＝150eq\r(3)V/m，故选A、C.考点一电场线、等势面与电荷运动轨迹的综合问题1．若带正电荷的微粒在电场中运动，只受静电力作用，它在任意一段时间内()A．一定沿电场线由高电势处向低电势处运动B．一定沿电场线由低电势处向高电势处运动C．不一定沿电场线运动，但一定由高电势处向低电势处运动D．不一定沿电场线运动，也不一定由高电势处向低电势处运动答案D解析微粒的运动情况取决于合力和初速度的关系，微粒只受到静电力的作用，是否沿电场线运动，还要看电场线是直线还是曲线，微粒有没有初速度及初速度方向与电场线的关系；只有当电场线是直线且微粒的运动方向沿着电场线时，微粒才沿电场线运动，微粒不一定由高电势处向低电势处运动，故A、B、C错误，D正确．2.(多选)(2022·宣威市第三中学高二期末)负点电荷Q固定在正方形的一个顶点上，带电粒子P仅在该电荷的静电力作用下运动时，恰好能经过正方形的另外三个顶点a、b、c，如图所示，则()A．粒子P带负电B．a、b、c三点的电势高低关系是φa＝φc<φbC．粒子P由a到b电势能增加，由b到c电势能减小D．粒子P在a、b、c三点时的加速度大小之比是2∶1∶2答案BCD解析由运动轨迹可知，粒子P受引力作用，粒子带正电，故A错误；a、c与负点电荷Q的距离相等，b点距离负点电荷Q较远．距离负电荷越远，电势越高，故B正确；正电荷在电势越高(低)的位置，电势能越大(小)，结合A、B选项，粒子P由a到b电势能增加，由b到c电势能减小，故C正确；由几何关系，a、b、c三点到负点电荷Q的距离关系为ra＝rc＝eq\f(\r(2),2)rb，又根据F＝keq\f(Qq,r2)＝ma，得aa∶ab∶ac＝2∶1∶2，故D正确．3．(2021·普宁市高二上期中)一带电粒子沿图中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势面的电势关系满足φa>φb>φc>φd，若不计粒子所受重力，则()A．粒子一定带正电B．粒子的运动是匀变速运动C．粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大D．粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大答案B解析由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，根据粒子运动轨迹可知该粒子所受静电力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子做匀变速曲线运动，静电力做正功，粒子的动能增大，电势能减小，故选B.4.(多选)(2021·嫩江市期中)如图所示，平行线代表电场线，但未标明方向，一个带正电、电荷量为10－6C的微粒在电场中仅受静电力作用，当它从A点运动到B点时动能减少了10－5J，则以下判断正确的是()A．微粒的运动轨迹如图中的虚线1所示B．微粒的运动轨迹如图中的虚线2所示C．B点电势高于A点电势D．B点电势低于A点电势答案AC解析由题知，带正电的微粒仅受静电力的作用，从A点运动到B点时动能减少了10－5J，说明静电力做负功，则知静电力方向水平向左，根据曲线运动的合力指向轨迹的内侧，故微粒的运动轨迹如题图中虚线1所示，故A正确，B错误；由于微粒带正电，所受静电力水平向左，则电场强度方向水平向左，沿着电场线方向电势逐渐降低，则B点电势高于A点电势，故C正确，D错误．5.(2022·辽宁高二期末)两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等差等势面如图中虚线所示，一带负电的粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹为图中实线所示，若粒子只受静电力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是()A．a、b、c、d、e各点中c点电势最高B．b点和d点的电场强度相同C．粒子在a点的电势能大于在c点的电势能D．粒子从a点运动到e点的过程中的动能先减小后增大答案D解析从粒子运动轨迹看出，轨迹向上弯曲，可知带负电粒子受到了向上的静电力的作用，可知电场强度方向大致向下，沿电场线电势逐渐降低，则a、b、c、d、e各点中c点电势最低，故A错误；根据两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面的特点可得，b点和d点的电场强度大小相同，方向不同，故B错误；根据电势能Ep＝φq可知，负电荷在电势高的地方电势能低，故粒子在a点的电势能小于在c点的电势能，故C错误；粒子从a点运动到e点的过程中电势能先增大后减小，所以动能先减小再增大，故D正确．考点二等分法的应用6．(2022·重庆市沙坪坝区月考)A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5V，φB＝2V，φC＝1V，H、F三等分AB，G为AC的中点，下列图形中能正确表示电场强度方向的是()答案C解析由题意可知，各点的电势分别为φA＝5V，φB＝2V，φC＝1V，则AB连线上距B点eq\f(1,3)处的F点电势为3V，AC的中点G点电势也为3V，所以F点与AC中点的连线，即为等势线，由于沿着电场线方向，电势降低，故C正确，A、B、D错误．7.如图所示，匀强电场中有一个等边三角形ABC，其边长为1m，三角形所在的平面跟匀强电场平行．已知A、B、C三点的电势分别为6V、4V、2V，下列说法正确的是()A．匀强电场的方向垂直于AC边B．匀强电场的电场强度大小为2V/mC．等边三角形中心的电势为5VD．将一个电子从A点沿直线移到B点，其电势能增加了2eV答案D解析根据U＝Ed知在匀强电场中，沿同一方向相等距离电势差相等．设AC中点为D，D点的电势为φD＝eq\f(φA＋φC,2)＝eq\f(2＋6,2)V＝4V，则φD＝φB，BD为一条等势线．根据电场线与等势面垂直，且由高电势处指向低电势处，知AC连线为一条电场线，匀强电场的方向垂直于BD向下，如图所示，故A错误；AC间的电势差为UAC＝φA－φC＝6V－2V＝4V，匀强电场的电场强度大小为E＝eq\f(UAC,LAC)＝eq\f(4,1)V/m＝4V/m，故B错误；因为BD为一条等势线，等边三角形中心在BD边线上，则等边三角形中心的电势为4V，故C错误；将一个电子从A点沿直线移到B点，静电力做功为W＝－eUAB＝－e(φA－φB)＝－e×(6－4)V＝－2eV，则电子的电势能增加了2eV，故D正确．8.(多选)如图，在匀强电场中，A、B、C、D、E、F位于边长为L＝2cm的正六边形的顶点上，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面．已知A、B、C、D的电势分别为－4V、0、8V、12V，则下列说法正确的是()A．E点的电势φE＝8VB．A、F间的电势差UAF＝4VC．C、F间的电势差UCF＝－8VD．该匀强电场的场强E＝400V/m答案AD解析连接AD、BF、CE，AD与BF、CE的交点分别为M、N.设六边形的中心点为O，如图所示：由图可知，AD与BF、CE都垂直，由正六边形的特点可知，AM＝MO＝ON＝ND，所以可知M、O、N的电势分别是0、4V、8V，所以BF和CE为等势面，则φF＝φB＝0，φE＝φC＝8V，故A正确；A、F间电势差为UAF＝φA－φF＝－4V－0＝－4V，故B错误；C、F间电势差为UCF＝φC－φF＝8V－0＝8V，故C错误；因为电场线和等势面垂直，BF为等势面，故电场线和BF垂直，故AD为电场线，因为沿着电场线方向电势降低，所以电场线方向由D指向A，即电场线垂直于BF连线，且指向A，该匀强电场的电场强度大小E＝eq\f(UBA,Lsin30°)＝eq\f(0－－4,2×0.5×10－2)V/m＝400V/m，故D正确．9.(2022·四川泸州高级中学校高二月考)如图所示，真空中有一个固定的点电荷，电荷量为＋Q，图中的虚线表示该点电荷形成的电场中的四个等差等势面．有两个一价离子M、N(不计重力，也不计它们之间的静电力)先后从a点以相同的速率v0射入该电场，运动轨迹分别为曲线apb和aqc，其中p、q分别是它们离固定点电荷最近的位置．以下说法中正确的是()A．M一定是正离子，N一定是负离子B．M在p点的速率一定小于N在q点的速率C．M在b点的速率一定大于N在c点的速率D．M从p→b过程电势能的增量一定小于N从a→q过程电势能的增量答案D解析由题图可知离子N受到中心电荷的斥力，而离子M受到中心电荷的引力，故两离子的电性一定不同．由于中心电荷带正电，则M一定是负离子，N一定是正离子，A错误；由题图可判定M在从a到p运动过程中，静电力做正功，动能增加，而N在从a到q运动过程中，静电力做负功，动能减小．所以M在p点的速率一定大于N在q点的速率，B错误；由于a、b、c三点在同一等势面上，所以M在从a向b运动过程中静电力所做的总功为0，N在从a向c运动过程中静电力所做的总功为0.由于两离子以相同的速率从a点射入电场，故两离子分别经过b、c两点时的速率一定相等，C错误；由题图可知q点离正电荷更近一些，N离子在从a向q运动过程中静电力做负功的值大于离子M在从p向b运动过程中静电力做负功的值，故M从p到b过程电势能的增量一定小于N从a到q电势能的增量，D正确．10.(多选)(2021·宁波中学期中)空间有一与纸面平行的匀强电场，纸面内的A、B、C三点位于以O点为圆心、半径为10cm的圆周上，并且∠AOC＝90°，∠BOC＝120°，如图所示，现把一个电荷量q＝1×10－5C的正电荷从A点移到B点，静电力做功－1×10－4J；从B点移到C点，静电力做功为3×10－4J．则该匀强电场的电场强度方向和大小是()A．电场强度大小为200V/mB．电场强度大小为100V/mC．电场强度方向垂直OA向右D．电场强度方向垂直OC向下答案AC解析由题意有UAB＝eq\f(WAB,q)＝eq\f(－1×10－4,1×10－5)V＝－10V，UBC＝eq\f(WBC,q)＝eq\f(3×10－4,1×10－5)V＝30V，则UAC＝UAB＋UBC＝20V．若设φC＝0，则φA＝20V，φB＝30V，延长AO，与BC的连线交于BC的三等分点D(如图所示)，D点的电势应为20V，则AD为电势为20V的等势线，故电场强度方向垂直OA向右，大小为E＝eq\f(UAC,R)＝eq\f(20,0.1)V/m＝200V/m，故选A、C.11.(2021·海口中学期中)如图所示，匀强电场中有a、b、c三点，在以它们为顶点的三角形中，(2＋eq\r(3))V和2V．则该三角形的外接圆上最低电势、最高电势分别为()A．(2－eq\r(3))V、(2＋eq\r(3))VB．0、4VC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(4\r(3),3)))V、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(4\r(3),3)))VD．0、eq\r(3)V答案B解析如图所示，取ab的中点O，即为三角形的外接圆的圆心，且该点电势为2V，故Oc为等势线，其垂线MN为电场线，方向为M→N.外接圆上电势最低点为N点，电势最高点为M点．设外接圆的半径为R，则UOP＝UOa＝eq\r(3)V，UON＝E·R，UOP＝E·Rcos30°，则UON∶UOP＝2∶eq\r(3)，故UON＝2V，N点电势为0，为最低电势点，同理可得M点电势为4V，为最高电势点，故选B.12.(2022·广州六中高二期末)存在匀强电场的空间中有一边长为2eq\r(3)cm的正四面体ABCD，如图所示