圆中常见的“两解”问题失误剖

圆中常见的两解问题失误剖析圆中有两解的问题较多，如弦所对的圆周角就有两个，这两个圆周角互补.由于圆的对称性，圆中的两条平行弦与圆心也有两种位置关系等，解答这些问题时稍有不慎，就会造成下列失误.忽视对点与圆的位置关系的分类例1若点P到0O的最长距离为10cm,最短距离为2cm,则0O的半径为 cm.错解:填6.剖析:错解只考虑了点在圆内的情况,却忽视了点在圆外的情况.BP正解：(1)若点P在0O内如图1,过点P作直径AB,则PA=10m,PB=2m.BP.•・AB=PA+PB=12cm./.OO的半径为6cm.(2)若点P在0O外如图2,连接OP交0O于B,延长PO交00于A.则PA=10cm,PB=2cm..AB=PA—PB=8cm,・.0O的半径为4cm.所以填6cm或4cm.忘记两圆半径的大小关系造成失误例2已知00］与OO2内切，00］的半径为5cm,若两圆的圆心距为2cm,贝002的半径为 m.错解:填3.剖析:两圆内切,圆心距等于两圆半径之差.因为本题两圆半径大小关系不明确,所以圆心距等于两圆半径之差的绝对值.正解:设002的半径为rcm,则丨r—5|=2..r—5=±2..r=3或r=7.或分类讨论：若r>5，则r—5=2..:r=7.若r<5，则5—r=2..r=3.所以填3或7.因两圆相切的关系不具体导致漏解例3若00］与002相切，00］的半径为5cm,0O2的半径为8cm,则两圆的圆心距为 m.错解:填13.剖析:两圆相切,分内切、外切两种.正解:(1)当两圆内切时,圆心距为两圆半径之差,即3m.(2)当两圆外切时,圆心距为两圆半径之和，即13cm.填3cm或13cm.忽视对弦(不是直径)所对的弧的分类例4已知,AB是00中一条非直径的弦，ZA0B=8O°,点C是00上一点(不与A、B重合)，则圆周角ZACB的度数为 .错解:填40°.剖析:很明显,弦AB所对的弧一条是优弧,另一条是劣弧.因此,它所对的圆周角有两解,其和为180°.

解,其和为180°.正解：如图3,若点C在优弧上，则ZAC叱ZAOB=40°.若点C在劣弧上，则ZACB=180°—ZACB=140°.所以填40。或140°.忽视对平行弦与圆心的位置的讨论例5已知0O的半径为13cm,弦AB〃CD,AB=24cm,CD=10cm,则弦AB与CD的距PaJ疋l丿.A.7cmB.17cmC.12cmD.7cm或17cm错解:选A或选B.剖析:由于平行弦与圆心的位置关系有两种：(1)两条弦在圆心同侧,(2)两条弦在圆心异侧•所以要分类讨论.BB正解：过O作EF丄CD于E,交AB于F连接OA、OC,BB贝yCE=1CD=5cm,AF=1AB22=12cm.在RtACOE中,0E=(oc2—CE2=12cm.同理OF=5cm.所以选D.当弦AB,CD在圆心O同侧时，如图4,则EF=OE—OF=7cm.所以选D.当弦AB,CD在圆心O异侧时，如图5,则EF=OE+OF=17cm.忘记对圆周角与圆心的位置的分类例6已知0O的半径为2,若弦AB与AC的长分别为2打、2^2，则ZBAC的度数为 .错解:填75°.剖析:圆周角与圆心有三种位置关系,应分类讨论.本题不存在圆心在圆周角一边上的情况,错解只考虑了圆心在圆周角内部的情况,却忽略了圆心在圆周角外部的情况.正解:⑴当圆心O在ZBAC内部时，如图6,作直径AD,连接BD、CD.，则ZACD=ZABD=90°.在Rt^ABD中，AD=4,AB=2込.由勾股定理得BD»AD2—AB2=2,.•・BD=+AD,・・ZBAD=30°.2在Rt^ACD中，AD=4,AC=2^2.由勾股定理得CD=2、込.••・AC=CD.••・ZCAD=45°.AZBAC=ZCAD+ZBAD=75°.(2)当圆心O在ZBAC外部时，如图7,作直径AD,连接BD、CD,则ZACD=ZABD=90°。由(1)可知ZBAC=ZCAD—ZBAD=15°.所以填15°或75°.忽略对两圆圆心与公共弦的位置的讨论例7OO1与0O2相交于A、B两点，它们的半径O]A=15,O2A=13,公共弦AB=24贝V圆心距O1O2= .错解：填14.剖析：两圆相交，习惯上画成两圆圆心在公共弦两侧的情形，错解受到思维定势的影响忽略了两圆圆心也可能在公共弦同侧的情况.图8图8图9正解：设连心线O]O2(或其延长线)交AB于C,则O1O2垂直平分AB,AC=+AB=12.在RtAAO1C中，由勾股定理得0£=丫OA2—Ac2=9；在Rt^AO2C中，由勾股定理得02C=丫O