人教版数学八年级上册 专项综合全练（二）

拓展训练2020年人教版数学八年级上册专项综合全练（二）等腰三角形及等边三角形的性质和判定类型一等要三角形的性质和判定1.已知一个等腰三角形的一个内角是50°，则这个等腰三角形的另外两个内角的度数分别是()A．50°，80°B．65°，65°C．50°，80°或65°，65°D．无法确定2．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=72°，∠ACB=∠DBC=36°，则图中等腰三角形的个数是()A.2B．3C．4D.53．在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为()A.70°B.35°C.110°或35°D.110°4．如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，则∠D=.5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有个。6．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=45°，点D在AC上，DE⊥AB于E，且DE=DC．连接EC.请写出图中所有的等腰三角形（△ABC除外），并说明理由．类型二等边三角形的性质和判定7．将等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是()A．有一个内角是60°B．有一个外角是120°C．有两个角相等D．腰与底边相等8．如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，使NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ的周长是()A.8+2aB.8+aC.6+aD.6+2a9．如图，将等边△ABC的边BC延长至D，使得CD=AC，若点E是AD的中点，则∠DCE的度数为.10.如图，将边长为5cm的等边△ABC沿BC向右平移3cm，得到△DEF，DE交AC于M，则△MEC是三角形，DM=cm.11.如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，则∠EDF的度数为．12.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)试判断△ODE的形状，并说明你的理由；(2)线段BD、DE、EC之间有什么关系？写出你的判断过程．13.如图，点P是等边△ABC内一点，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△BDC，连接PD.(1)求证：△DPC是等边三角形；(2)当∠APC=150°时，试判断△DPB的形状，并说明理由；(3)当∠APB=100°且△DPB是等腰三角形时，求∠APC的度数．等腰三角形及等边三角形的性质和判定1．C当底角是50°时，顶角为180°-50°×2=80°；当顶角是50°时，底角为（180°-50°）÷2=65°．故这个等腰三角形的另外两个内角的度数分别是50°，80°或65°，65°．2.D在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=72°，∠ACB=∠DBC=36°，则∠ABC=∠DCB=72°，所以∠ABE=∠DCE=36°，∠AEB=∠DEC=72°，则题图中等腰三角形有△ABC，△ABE，△CDE，△BEC，△BDC，共5个，故选D．3．B∵∠A的相邻外角是70°，∴∠A=180°-70°=110°，∵△ABC为等腰三角形，∴∠B=×（180°-110°）=35°．4．答案66°解析∵OA=AC，∴∠C=∠AOC=×(180°-∠A)=×(180°-48°)=66°.∵AC∥BD，∴∠D=∠C=66°.5．答案5解析(1)∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；(2)∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠EBC=ABC，∠ECB=∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；(3)∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=×(180°-36°)=72°，又BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=×∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．6．解析等腰三角形有△AED，△DEC，△BEC.理由：∵∠A=45°，DE⊥AB于E，∴∠AED=90°，∠ADE=45°，∴∠A=∠ADE，∴AE=DE．∴△AED为等腰直角三角形．∵DE=DC，∴△DEC为等腰三角形，∴∠DEC=∠ADE=22.5°，∴∠BEC=180°-90°-22.5°=67.5°，又∵∠A=45°，AB=AC．∴∠B=∠BCA=67.5°，∴∠B=∠BEC，∴BC=EC．∴△BEC为等腰三角形．7.CA项，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项正确；B项，若等腰三角形有一个外角是120°，则该等腰三角形的一个内角是60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可知，有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形，故本选项正确；D项，腰与底边相等的等腰三角形的三条边相等，所以腰与底边相等的等腰三角形是等边三角形，故本选项正确，故选C．8.D因为∠P=60°，MN=NP，所以△MNP为等边三角形，又因为△MNP的周长为12，所以MN=PN=4，又因为MQ⊥PN，所以PQ=NQ=NG=2，∠QMN=30°，所以∠G=∠MNQ=30°，所以∠QMN=∠G=30°，所以MQ=QG=a，所以△MGQ的周长=MQ+QG+MG=MQ+QG+MN+NG=a+a+4+2=2a+6．故选D．9．答案60°解析∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠ACD=180°-60°=120°.又∵CD=AC，点E是AD的中点，∴CE平分∠ACD，即∠DCE=∠ACE=∠ACD=60°.10.答案等边；3解析∵AB∥DE，∴∠MEC=∠B，∠CME=∠A，∵△ABC是等边三角形．∴∠MEC=∠EMC=∠ACB=60°，∴△MEC是等边三角形．∵△ABC沿BC向右平移3cm，∴BE=3cm，∴EC=2cm，∴DM=DE-EM=5-2=3cm.11．答案60°解析∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°.∵DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠BDE=∠AFD=90°.∵∠AED是△BDE的一个外角，∴∠AED=∠B+∠BDE=60°+90°=150°，∴∠EDF=360°-∠A-∠AED-∠AFD=360°-60°-150°-90°=60°.12.解析(1)△ODE是等边三角形．理由：∵△ABC是等边三角形．∴∠ABC=∠ACB=60°，∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°，∴△ODE是等边三角形．(2)BD=DE=EC.理由：∵BO平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABO=∠OBD=30°，∵OD∥AB，∴∠BOD=∠ABO=30°，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，同理，EC=EO，∵DE=OD=OE，∴BD=DE=EC.13.解析(1)证明：由旋转可得△APC≌△BDC，则PC=DC，∠PCD=∠ACB，∵在等边△ABC中，∠ACB=60°，∴∠PCD=60°，∴△DPC是等边三角形．(2)△DPB是直角三角形．理由：由旋转得∠BDC=∠APC=150°，又∵△DPC是等边三角形，∴∠PDC=60°，∴∠BDP=∠BDC-∠PDC=90°，∴△DPB是直角三角形．(3)设∠APC=x，则∠BPD=200°-x，∠BDP=x-60°，①若PD=PB，