高斯方程建模的数值模拟分析

高斯方程建模的数值模拟分析

近年来的研究结果表明，梯度、梯度和弯曲只是弯曲剖面线的决定因素。根据曲面论基本定律，曲面由第一类基本量和第二类基本量决定。据此我们建立了高精度曲面建模方法（HASM）。按照HASM的发展阶段，我们将其区分为HASM1,HASM2,HASM3和HASM4。HASM1精度较TIN提高了5倍，HASM2精度较TIN提高了15倍HASM3精度较TIN提高了300多倍。虽然HASM1,HASM2和HASM3从根本上解决了长期以来困扰CAD系统和GIS的误差问题及其应用中的多尺度问题，但是由于整个模拟过程需要求解偏微分方程组，随着计算域栅格总数的增加，计算量成几何级数增长。为了解决HASM速度和超大计算量问题，我们对HASM3的迭代模拟过程进行了改进，并将改进后的HASM命名为HASM4。HASM4不但计算速度有了很大的提高，而且在迭代足够次数后模拟精度与TIN相比可提高47470倍以上。由于HASM3和HASM4的主方程完全相同，HASM4只在HASM3的基础上对其迭代模拟过程进行了技术改进，因此本文主要分析HASM1、HASM2和HASM4精度和运算速度提高的理论根源。1插值模拟结果的描述虽然HASM的理论基础是高斯方程组，但由于有限差分所带来的数值困难，完全照搬高斯方程并不能达到所期望的计算模拟结果，需要通过数值模拟实验对其改造处理。对曲面z=f(x,y)，高斯方程组高斯方程组的迭代差分方程为若Fn+1=(fn+11,1,…,fn+11,N,fn+12,1,fn+12,N,……fn+1N-1,1,fn+1N,1,…,fn+1N,N)T,归一化模拟区域为[0,1]×[0,1],n≥0,计算步长为,F0为插值模拟得到的结果,则第一个方程可以表达为其中，A为第一个方程的系数矩阵；Dn+1=[D1n+1,D2n+1,…,DN-1n+1,DNn+1]T1×N2为第一个方程的右端项矩阵。第二个方程可以表达为其中，B为第二个方程的系数矩阵；En+1=[E1n+1,E2n+1,…,EN-1n+1,ENn+1]T1×N2为为第二个方程的右端项矩阵。第三个方程可以表达为其中，C为第三个方程的系数矩阵；Hn+1=[H1n+1,H2n+1,…,HN-1n+1,HNn+1]T1×N2为第三个方程的右端项矩阵。2等式约束的最小二乘HASM1,HASM2和HASM4是高斯方程组三个方程的不同方程或不同方程的组合。如果将高斯方程组三个方程依先后顺序依次标记为a、b和c，则基于高斯方程组第一个方程的高精度曲面建模方法HASM1a可表达为等式约束的最小二乘问题：其中，J和K分别为采样点和采样值。如果为第t个采样点的坐标和采样值，则对充分大的λ，HASM1a可表达为类似地，基于高斯方程组第二个方程的高精度曲面建模方法HASM1b可表达为基于高斯方程组第三个方程（交叉项方程）的高精度曲面建模方法HASMc可表达为基于高斯方程组第一个方程和第二个方程的高精度曲面建模方法HASM4可表达为基于高斯方程组第一个方程和第三个方程（交叉项方程）的高精度曲面建模方法HASMac可表达为基于高斯方程组第二个方程和第三个方程（交叉项方程）的高精度曲面建模方法HASMbc可表达为基于高斯方程组三个方程的高精度曲面建模方法HASM2可表达为3基于高斯方程的模型检验数值实验结果表明（表1），基于高斯方程组第一个方程的高精度曲面建模方法HASM1a和基于高斯方程组第二个方程的高精度曲面建模方法HASM1b，模拟误差相似，但随着迭代的进行，计算误差缓慢增长，不能达到收敛。由于系数矩阵不可逆，基于高斯方程组第三个方程（交叉项方程）的高精度曲面建模方法HASMc的计算无法进行，导致数值缺失；对两个方程结合产生的HASMac,HASMbc和HASM4，无论是第一个方程还是第二个方程，只要是与第三个方程结合产生的模型，数值模拟结果就会出现溢出现象，而第一个方程和第二个方程的结合则得到了最好的收敛结果；基于高斯方程组三个方程的高精度曲面建模方法HASM2与HASM1a和HASM1b相比，其模拟误差较小、误差的增长速度较慢，但其模拟误差远大于HASM4的模拟误差、所需的CPU时间较HASM4长的多。即除了HASM4之外，HASM1a,HASM1b,HASMc,HASMac,HASMbc和HASM2的模拟误差都随着迭代次数的增加而增大。第三个方程（交叉项方程）的引入，严重地影响了HASM的模拟结果（图1）。4交叉项方程的引入数值实验分析结果表明，HASM1a和HASM1b本身的系数矩阵结构非常好，只进行一个方向的迭代，计算量小，所需CPU时间最少；其次是HASM4，系数矩阵的结构仍然很好，由于需要进行两个方向的模拟计算，所以所耗费的时间比单个方向的多一些，但其模拟精度较单方向模拟精度提高了多个数量级；由于第三个方程（交叉项方程）的引入，对系数矩阵的结构有一定程度的破坏，矩阵求逆需要耗费更多的时间，所以HASM2比HASM4所耗费的时间多、误差大；尽管HASMac和HASMbc数据存储比HASM2小，但由于单个的第一个方程或第二个方程不如第一个方程和第二个方程结合更能抵消第三个方程（交