线性矩法在枯水研究中的应用

线性矩法在枯水研究中的应用

对床差流量的频率分析通过概率分布来阐明交通流量与产生频率之间的关系。由于每条河流其枯水径流的概率分布是未知的,因此大多采用实测资料去拟合理论频率曲线,并采用一定的统计特征量来寻求最佳的理论曲线。能用于枯水频率分析的理论分布主要有LN3、W3、P3以及LP3分布等。在判定频率分布线型的研究工作中,概率点据相关系数检验法(probabilityplotcorrelationcoefficient,PPCC)已经得到了一定的应用,但这些学者在利用PPCC法进行频率分析时,均是利用矩法进行分布函数的参数确定。近年来,线性矩法(L-moments)已经被证明是一种非常有效的分布函数参数确定方法,且被广泛地应用于洪水和枯水的频率分析中。本文将PPCC法的应用范畴加以拓宽,以6种常见的三参数分布函数作为假设分布线型,利用线性矩法较为深入地分析东江流域的年最小七日平均流量序列,用以解决东江流域的枯水频率分析。1基本方法1.1ppcc检验法的原理概率点据相关系数检验法,概念明确,便于使用。设一个待检验样本xi(i=1,2,…,n),则概率点据是指xi排序后第i项样本值x(i)的图形表示。大量研究表明,概率点据应采用无偏点据来表达,它再现了假设分布的第i项实测值的数学期望E[x(i)]。基于上述基本观点,若一个待检验样本的实际分布服从某个假设分布,则排序后的实测值x(i)与假设分布的理论值yi的概率点据存在着近似的线性关系。因此,可用概率点据相关系数统计特征量来描述序列x(i)与yi之间的相关程度,即R=n∑i=1(x(i)-ˉx)(yi-ˉy)√n∑i=1(x(i)-ˉx)2⋅n∑i=1(yi-ˉy)2.(1)式中:R为相关系数;n为样本数目;x(i)和ˉx分别为样本xi排序后的实测值和均值;yi和ˉy分别为假设分布相应于x(i)的理论值和均值,即yi=E[x(i)]。实际上,PPCC检验法就是根据实测样本序列排序后各实测值x(i)及其相对应的经验频率Pi,推求出某个假设分布F上经验频率Pi所对应的理论值yi=F-1(Pi),然后求两序列x(i)和yi的相关系数,用以判断选择何种分布函数线型。各个站点排序后的实测值x(i)的经验频率采用Gringorten无偏估计公式进行计算Ρ(i)=i-0.44n+0.12‚(2)式中:i为从小到大排列的序号,n为样本总数。为了得到假设分布的概率点据相关系数R,本文采用线性矩法推求分布函数的参数及其反函数。1.2线性组合的一般方法线性矩来源于Greenwood等人提出的概率权重矩(PWM)。对于随机变量X,第r阶概率权重矩定义如下βr=∫10x(F)FrdF‚r=1,2,3,⋯.(3)式中:F(x)为随机变量X的分布函数,x为概率为F时的反函数值。随机变量X的第r+1阶线性矩为λr+1=∫10x(F)Ρ*r(F)dF.(4)式中:Ρ*r(F)=r∑k=0(-1)r-k(r+k)!(k!)2(r-k)!Fk,利用该多项式和式(3),式(4)可化为λr+1=r∑k=0(-1)r-k(r+k)!(k!)2(r-k)!βk‚r=0,1,⋯,n-1.(5)从式(5)可以看出,随机变量X的线性矩是概率权重矩的线性组合。一般在实际应用中,需利用有限的样本数来计算样本线性矩。假设随机变量X有n个样本,把这n个值按照从小到大的顺序排列起来,即x1∶n≤x2∶n≤…≤xn∶n,xi∶n(i=1,2,…,n)为在n个值中第i小的值。与随机变量X的线性矩类似,前r+1阶样本线性矩定义为:lr+1=r∑k=0(-1)r-k(r+k)!(k!)2(r-k)!bk‚r=0,1,⋯,n-1‚(6)bk=n-1n∑i=k+1(i-1)(i-2)⋯(i-k)(n-1)(n-2)⋯(n-k)xi∶n.k=0,1,⋯,n-1.式中bk为概率权重矩βk的无偏估计值。样本离差系数定义为t=l2/l1.(7)样本线性矩系数定义为tr=lr/l2‚r=3,4,5,⋯,n.(8)2干水频率分析2.1枯水径流特征东江流域为珠江流域的支流,发源于江西省寻邬县的桠髻体。东江流域地处亚热带,气候温和,多年平均雨量为1750mm,年径流量较为丰沛。由于受亚热带季风气候的影响,年径流量在年内的变化较大,流域70%～80%的年降雨量和年径流量集中在每年5月—8月,剩余的时间基本上属于枯水季节。选取其中13个子流域作为研究对象,流域面积大约为37.2～2091km2,且这些子流域基本上不受人类活动的影响。这些子流域日平均流量资料的长度为9～45a,各子流域的平均资料长度约为22a。在枯水径流的频率分析中,由于最小七日平均流量可以更好地反映枯水径流的特性,大多数研究者以它作为枯水径流的统计特征量。本文结合东江流域的具体特点,利用滑动平均法得到每个水文年(每年的4月—次年的3月)内的七日平均流量,以每个水文年的最小值组成年最小七日平均流量序列,对这些序列进行枯水径流的频率分析研究。2.2频率分布线型枯水径流的频率分布究竟服从何种分布,至今尚无统一定论。本文利用基于线性矩法的PPCC检验法和四阶线性矩(τ4)检验法来判别本研究区域的枯水流量的频率分布。所要探讨的理论分布为常见的6种三参数分布:Generalizedextreme-value分布(GEV)、Generalizedlogistic分布(GLO)、三参数对数正态分布(LN3)、Generalizedpareto分布(GPA)、PearsontypeIII分布(P3)和LogPearson分布(LP3)。利用线性矩法求解各种分布函数的参数及其反函数的方法详见文。为了深入比较的需要,除了得到概率点据相关系数R外,还增加了确定性系数QD、均方根误差RMSE和平均绝对误差MAE作为统计特征量来分析频率分布线型,这3个统计特征量描述了两序列x(i)和yi的拟合程度,分别定义为:QD=1-n∑i=1(x(i)-yi)2n∑i=1(x(i)-ˉx)2‚(9)RΜSE=1n√n∑i=1(x(i)-yi)2‚(10)ΜAE=1nn∑i=1|x(i)-yi|.(11)利用式(1)和式(9—11)分别得到各个子流域在6种假设分布情况下的统计特征量R、QD、RMSE和MAE的数值。另外,Pandey等人于2001年从理论上导出了利用四阶线性矩系数τ4作为选择分布函数的准则,并用实例加以验证。该方法简捷方便,只要分别求出某个假设分布函数和样本的四阶线性矩,这两个线性矩之差的绝对值最小的分布线型就为最优的分布线型。本文在利用PPCC检验法的基础上,也利用了该检验系数作为统计特征量。为了分析这6个假设分布线型在整个研究区域上的特征,将以上5种统计特征量在13个子流域上的数值取平均,其结果见表1。从中可看出,在所有5个统计特征量中,LN3分布皆为最优。采用经验频率的计算式(2)计算出13个站点实测枯水流量序列所对应的经验频率,用所得到的经验频率基于LN3分布分别求得各个站点的模拟值,比较同频率下的实测值和模拟值。图1为整个研究区域内13个子流域的七日最小平均流量qv序列的实测值与模拟值比较图,从中可看出,除了少数点据外,实测值和模拟值基本接近。基于LN3分布得到研究区域内各站十年一遇的七日设计枯水流量qv(7,10),计算值和实测值对比见图2,实测值利用式(2)内插得到。从图2看出,除了少数站点外(例如第10个站),设计枯水流量和实测枯水流量的数值非常接近。整个研究区域中13个站的相对误差范围为0.01%～28.95%,平均相对误差为6.59%。因此,LN3分布较好地描述了研究区域的年最小七日平均流量的概率分布,可以被用来作为该研究区域的枯水分布线型。3枯水径流分布函数线性矩法具有优良的稳健性,被广泛地应用于水文特征值的频率分析中。利用概率点据相关系数检验法(PPCC)来选择描述东江流域枯