2022-2023学年北京西城区十四中初二（上）期中数学试卷及答案

2022北京十四中初二（上）期中数学一、选择题（每小题2分，共20分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.两根长度分别为，的木棒，若想钉一个三角形木架，第三根木棒的长度可以是（）A.B.10C.7D.62.下列计算正确的是（）A.a2a3=a6B.10a2=a5C.(2a)=2aD.()333a2=a63.如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是（A.30B.45C.50D.4.下列说法正确是（）A.全等三角形的周长和面积分别相等B.周长相等的两个三角形是全等三角形C.全等三角形是指形状相同的两个三角形D.所有的等边三角形都是全等三角形5.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A.(a+2)(a−2)=a2−4B.x2+x−1=(x−x+2)+1Cax+bx+c=x(a+b)+cD.a2b−ab2=ab(a−b)6.已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的内角和是（）A.360°B.900°C.1440°D.1800°7.如图所示，如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于()A.B.105C.D.458.如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为，小正方形的面积为4，若分别用x，y(xy)表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（）A.x2+2+y2=49B.x2−2+y2=4C.x2+y2=25D.x2−y2=149.如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BECD相交于点F，若∠BFC=116°，则∠A=（）A.B.C.D.10.设a，b是实数，定义一种新的运算：ab=(a+b)2，则下列结论：①ab=0，则a=0且b=；②ab=ba；③ab+c)=ab+ac；④ab=(−a)(b)，正确的有（）0A.1B.2C.3D.4二、填空题（第—题每题3分，第19—20题每题2分，共28分）（3﹣2）0＝___．12.若等腰三角形的两边长分别是和6cm，则这个三角形的周长是_________cm．13.如图，Rt△中，ACB=90，A=58，将A折叠，使点A落在边CB上A处，折痕为CD，则DB=_____________．14.如图所示，∠ABC=DCB，添加一个条件：___________，使得ABCDCB（写出一种即可）15.如图，在中，CD是它的角平分线，⊥．若=，DE=4cm，则△的面积为________BCDcm2．16.a−b=，ab=5，则a2+4b2的值是___________．17.x2++是完全平方式，则k的值是_________．18.王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(ACBC，∠ACB＝90°)C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______cm.19.如图，已知点D是△的两外角平分线的交点，下列说法：（1）ADCD2D到AB、）D到△）点D在∠B的平分线上；其中正确的说法的序号是________________.20.如图，己知，平面直角坐标系中有四个点：(0,2)、B(4,0)CD．从、、DO五个点中任取两个点，和x轴上的一点P构成的三角形与全等，满足条件的点P的个数是___________．三、解答题（共52分）21.（1）()−2aab−5ab223（2）()2a2b2−ab32ab（3）(x+3)(x−4)22.因式分解（1）6ab−12a（2）2ax2−12ax+18a（3）m(a−+−a)23.作图题（要求：利用尺规作图，不写出作法，但要保留作图痕迹）已知：如图，在直线上求作一点PP到∠AOB两边的距离相等.24.如图，点EF在上，=CF，A=D，B=C，与DE交于O．求证：AB=DC．25.x2−4x−3=0，求代数式()()()2x−3+x+yx−y+y−2x的值．22226.数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图，在中，==6，求边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：①延长AD到，使得DM=AD；②连接，通过三角形全等把、2AD转化在中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为−+，从而得到AD的取值范围．问题：（1）依据小明的做法，请你补全图形，并写出AD的取值范围；（2）根据你补全的图形，写出AC与的数量关系和位置关系，并加以证明．27.如果一个正整数能表示为两个连续奇数平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如8=2−2,16=2−2,24=72−2，因此，，，这三个数都是“和谐数”．（1）请你再写出两个“和谐数”（，，（2）小云通过观察发现以上求出“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为2n−1和2n（其中n8的倍数”这个结论是否正确28.在中，=，ACB=90D在BC的延长线上，M是BD的中点，E是射线上一动点，且CE=CD，连接AD，作⊥，DF交EM延长线于点F．（1）如图1，当点E在上时，填空：ADDF（填“=”、“”或“”)．（22点E在AD与DF的结论．四、附加题（共10分）29.在学习整式乘法一庶时，小明发现()()x−yx+y=x2−y2()()x−yx2++y2=x3−y3()()x−yx3+x2y+xy2+y3=x4−y4()()x−yx4+x3y+x2y2+xy3+y4=x3−y5，……（1）借助小明发现的等式，不完全归纳()()x−yxn1+xn−2y++yn1=_________________；（2）利用（1）中的规律，因式分解x7−1=_________________；（3）运用新知：计算1+5+2+3+__________________．30.四边形AC平分∠BADCEAB于E，∠ADC+CBE=180°，求证：2AE=AB+AD.参考答案一、选择题（每小题2分，共20分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】B【解析】【分析】设第三边的长度为x，根据三角形的三边关系进行解答即可．【详解】解：设第三边的长度为x，则−2x+2，即8x12，则x=10符合题意，故选：B【点睛】此题考查了三角形的三边关系，熟练掌握“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”是解题的关键．2.【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂乘除法，积的乘方和幂的乘方计算法则求解判断即可．【详解】解：A、a2a3=a5计算错误，不符合题意；B、10a2=a8计算错误，不符合题意；C、(332a=8a计算错误，不符合题意；D、()3a2=a6，计算正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了同底数幂乘除法，积的乘方和幂的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键，注意同底数幂乘除法指数是相加减，幂的乘方和积的乘方指数是相乘．3.【答案】C【解析】【详解】由三角形内角和为，可求边长为3的边所对的角为180−45−85=50，由全等三角形对应角相等可知x=50，故选4.【答案】A【解析】【分析】根据全等三角形的性质与概念进行逐一判断即可．【详解】解：A、全等三角形的周长和面积分别相等，说法正确，符合题意；B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，说法错误，不符合题意；C、全等三角形是指形状和大小完全相同的两个三角形，说法错误，不符合题意；D、只有边长相等的等边三角形是全等三角形，说法错误，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与概念，熟知全等三角形的相关知识是解题的关键．5.【答案】D【解析】出答案．A、(a+2)(a−2)=a2−4符合题意；B、x2+x−1=(x−x+2)+1，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、ax+bx+c=x(a+b)+c，不是因式分解，故此选项不符合题意；D、a2b−ab2=ab(a−b)，从左到右的变形，是因式分解，故此选项符合题意．故选D．【点睛】考查了因式分解，正确把握因式分解的定义是解题关键．6.【答案】C【解析】【分析】由正多边形的外角为36°，可求出这个多边形的边数，再根据多边形内角和公式(n2)⋅180°，计算该正多边形的内角和.【详解】解：∵一个正多边形的外角等于36°，∴这个多边形的边数为360°÷36°=10，∴这个多边形的内角和=(10−2)×180°=1440°，故选：C.【点睛】本题考查多边形的外角和、内角和，理解和掌握多边形的外角和、内角和的计算方法是解决问题的关键.7.【答案】B【解析】【分析】先求出2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：如图，2=90−45=，由三角形的外角性质得，1=2+，=45+，=105．故选：．【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，解题的关键是熟记性质．8.【答案】C【解析】【分析】根据完全平方公式及图形的特点找到长度关系即可依次判断．【详解】解：A、因为正方形图案的边长，同时还可用(x+y)来表示，故(x+y2=x2+2+y2=72=49，正确；B、由图象可知(x−y)2=4，即x2−2+y2=4，正确；45C、由(x+y2=x2+2+y2=72=49和(x−y)2=x2−2+y2=4，可得2=，22245x+y=x+y−2=49−=26.525，错误；()22D、由x+y=7，x−y=2，可得x=，y=2.5，所以x2−y2=4.52−2.52=20.25−6.25=14，正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解答本题需结合图形，利用等式的变形来解决问题．9.【答案】B【解析】【详解】分析：根据三角形的内角和可就求出∠CBF∠BCF=64°，再根据平线的性质和三角形的内角和．详解：在△中BFC+∠FBC+∠BCF180°，∴∠FBC+∠BCF180°-116°=64°，∵∠B、∠C的平分线BECD相交于点F，∴∠ABC+∠BCA=（∠FBC+∠BCF）=264°=128°..在△ABC中∠A+∠ABC+∠BCA=180∴∠A=180°128°=52°.故选B.点睛：本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的性质.从复杂图形中分解出简单图形再利用三角形的内角和定理及角平分线的性质是解题的关键.10.【答案】B【解析】【分析】根据ab=(a+b)2，分别表示出各项的意义，再比较是否相等．【详解】解：∵ab=(a+b)2，①若ab=0，则(a+b)2=0，则，b互为相反数，故错误；②ab=(a+b)=()22ba=b+a，故正确；③ab+c=(a+b+c)≠()()()ab+ac=a+b+a+c，故错误；222④ab=(a+b)，()()222(−a)(−b)=−a−b=a+b，故正确；故选B．【点睛】本题考查了定义新运算，解题的关键是理解题中所给的运算法则，以及整式的混合运算．二、填空题（第—题每题3分，第19—20题每题2分，共28分）【答案】1【解析】【分析】根据零指数幂的运算法则计算即可．3﹣2）＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了零指数幂，熟知任何非零实数的零次幂都等于1是解本题的关键．12.【答案】14【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为和6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当腰长是时，因为2+2＜，不符合三角形的三边关系，应排除；当腰长是时，因为＞2，符合三角形三边关系，此时周长是14cm；故答案为：14．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．13.【答案】26##26度【解析】BD角形外角的性质求出答案．【详解】解：∵Rt△中，ACB=90，A=58，∴∠B=90−∠A=32，由折叠的性质可知D=A=，∴∠DB=∠D−B=26，故答案为：26．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，正确求出B和D的度数是解题的关键．14.【答案】=或∠A=D或∠ACB=DBC【解析】【分析】利用SASAAS、来判定三角形全等，即可得答案．【详解】∵∠ABC=DCB，且=CB如果添加AB=DC，构成可得△ABC≌△DCB；如果添加∠A=D，构成AAS可得△ABCDCB；如果添加∠ACB=∠DBC，构成ASA可得△ABC≌△DCB；综上：添加=或∠A=D或∠ACB=DBC都能使得ABCDCB故答案是：=或∠A=D或∠ACB=DBC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．15.【答案】24【解析】【分析】如图所示，过点D作⊥于F，利用角平分线的性质得到DF=DE=4cm，即可利用三角形面积公式求出答案．【详解】解：如图所示，过点D作⊥于F，∵CD平分ACB，⊥，⊥，DE=4cm∴DF=DE=4cm，又∵=，∴11S=BCDF=412=24cm2△，22故答案为：24．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．16.【答案】【解析】【分析】利用完全平方公式的变形()a2+4b2=a−2b2+4ab进行求解即可．【详解】解：∵a−b=，ab=5，∴()a−2b=100，4ab=20，2∴()a2+4b2=a−2b2+4ab=100+20=120，故答案为：120．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，正确得到a2+4b2=(a−2b)2+4ab是解题的关键．17.【答案】8【解析】【分析】根据完全平方式的定义，列出关于k的方程，即可求解．【详解】∵x2++是完全平方式，k=，解得：k=8．()162∴2故答案是：8．【点睛】本题主要考查完全平方式的定义，掌握完全平方式的二次项系数为1时，一次项系数一半的平方等于常数项，是解题的关键．18.【答案】20【解析】【分析】根据题意可得ACBC，∠ACB＝90°ADDEBEDE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DACADC≌△.【详解】解：由题意得：ACBC，∠ACB＝90°ADDEBE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+BCE＝90°，∠ACD+DAC＝90°，∴∠BCEDAC，在△ADC和△=CEB=BCE=，∴△ADC≌△CEB(AAS)；由题意得：AD＝EC＝，DCBE＝14cm，∴DEDC+CE＝20(cm)，答：两堵木墙之间的距离为20cm.故答案是：20.【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．19.）（3（4）【解析】【详解】试题解析：如图，过点D作⊥交BA的延长线于，作⊥交的延长线于，作DG⊥AC于G，∵点D是的两外角平分线的交点，=，=故(2)正确；==故3)正确；∴点D在B的平分线上，故(4)正确；只有=时，AE=CF，AD=CD，故)错误.综上所述，说法正确的是(2)3)(4).故答案为(2)(3)(4).点睛角平分线上的点到角两边的距离相等.20.【答案】4【解析】【分析】先判断出=1，CD=2，ACD，根据要求画出所有满足条件的三角形即可．【详解】解：由题意可知，=1，CD=2，ACD，画图如下，由图可知共有4个点满足要求，分别是(−1,0)，0)，(−0)，(0)，即满足条件的点P的个数是4,故答案为：4【点睛】此题考此查了三角形全等判定，熟练掌握全等三角形的判定并画出图形是解题的关键．三、解答题（共52分）21.）6ab2+10ab35ab−b2（2）2（3）x2−x−12【解析】）利用单项式乘多项式的法则计算即可；（2）利用多项式除以单项式的法则计算即可；（3）利用多项式乘多项式的法则计算即可．【小问1详解】解：()−2aab−5ab223=−32+336ab10ab【小问2详解】()2ab−ab2ab2235

=ab−b

22【小问3详解】(x+3)(x−4)=x2−4x+3x−12=x2−x−12【点睛】此题考查了整式的乘除法，熟练掌握法则是解题的关键．22.）6a(b−2)（2）()2ax−32（3）(a−3)(m−2)【解析】）利用提供因式法分解因式即可；（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解即可；（3）利用提公因式法分解因式即可．【小问1详解】解：6ab−12a=6a(b−2)【小问2详解】解：2ax2−12ax+18a()=2ax−6x+92=2a(x−3)2小问3详解】解：m(a−)+2(3−a)=ma−−a−(3)2(3)=−−(a3)(m2)【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．23.【答案】见详解.【解析】AOBAOB的平分线与直线P【详解】解：如图所示，作∠AOB的平分线，∠AOB的平分线与直线交于一点，则点P即为所求．【点睛】此题主要考查了作角平分线，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．24.【答案】见解析【解析】=CF推出=CE“角角边证明△ABF△DCE相等即可证明．【详解】证明：∵=CF，∴+=CF+，即=CE，在△ABF和中，A=D=BC∵=BFCE，∴△ABF△DCEAAS，∴=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据=CF推出=CE，从而得到三角形全等的条件是解题的关键．25.【答案】18【解析】【分析】先利用乘法公式去括号，然后根据整式的加减计算法则化简，最后代值计算即可．【详解】解：()()()2x−3+x+yx−y+y−2x222=4x−12x+9+x−y+y−2x22222=3x−12x+9，2∵x2−4x−3=0，∴x2−4x=3，∴原式()=2−+=+=．3x4x933918【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的相关计算法则是解题的关键．26.）图见见解析，17（2）AC∥BM，且=，【解析】1延长AD到M得DM=AD接根据题意证明知=，在中，根据−+，即可；（2）由（）知，，可知M=CAD，=，进而可知AC∥BM；【小问1详解】解：如图，延长AD到M，使得DM=AD，连接，∵AD是的中线，∴=，在△MDB和中，BD=CD=BDMCDA=DMAD，∴，∴BM=AC=6，在中，−+，∴8−6AM8+6，2AM14，∴17，故答案为：17；【小问2详解】AC∥BM，且=，理由是：由（）知，，∴M=CAD，=，∴AC∥BM【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．27.），是和谐数；（2）正确，验证见解析【解析】）根据题意，可以判断，0这两个数是和谐数；（2）根据题意，列出代数式进行计算可以证明结论成立，本题得以解决．【小问1详解】解：∵32=92−72，40=2−92，∴3240【小问2详解】证明：∵(2n+)−(2n−)22()=2++−2−+4n4n14n4n1=2++−2+−4n4n14n4n1=n，∴“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的．【点睛】本题考查因式分解应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的知识解答．28.）=2）AD=DF，理由见解析【解析】【分析1）连接，先证ΔACDBCE(SAS)，得AD=BE，EBM=，再证()ΔEBM≌ΔASA，得BE=DF，即可得出结论；（2）连接，先证ACD和ΔBCE(SAS)，得AD=BE，=，再证()≌ASA，得BE=DF，即可得出结论．）AD=DF，理由如下：连接，如图1所示：=90，DCA=90，在ACD和中，=CDCE=DCAECB=BC，()，ACDBCESASAD=BE，EBM=，+=90，+=90，=，=，是BD的中点，BM=DM，在EBM和中，EBM=FDM=BM=EMBFMD，()，ASABE=DF，AD=DF，故答案为：=；（2）根据题意将图形补全，如图2所示：AD与DF的数量关系：AD=DF，证明如下：连接，=90，点D在的延长线上，ACD=BCE=，在ACD和中，===CDCE，ACDBCESAS，()=，=，ADBE=90，⊥，+=+=，=，是BD的中点，=，在BME和中，MBE=MDF=MB=EMBFMD，ΔBMEΔ(