频率的稳定性教案

频率的稳定性【学时安排】2学时【第一学时】【教学目的】1．知识与技能：通过实验让学生理解当实验次数较大时，实验频率稳定在某一常数附近，并根据此能预计出某一事件发生的频率。2．过程与办法：在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力，发展学生的辩证思维能力。3．情感与态度：通过对实际问题的分析，培养使用数学的良好意识，激发学习爱好，体验数学的应用价值；进一步体会“数学就在我们身边”，发展学生的应用数学的能力。【教学重点】通过实验让学生理解当实验次数较大时，实验的频率含有稳定性，并根据此能初步预计出某一事件发生的可能性大小。【教学难点】大量重复实验得到频率的稳定值的分析。【教学办法】学习方式：学生在教师指导下进行“猜想→实验→分析→交流→发现→应用”的一系列活动，主动思考，独立探索，自己发现并掌握对应的规律。教学方式：通过具体的现实情境，从学生已有的生活经验出发，通过“猜想→实验→分析→交流→发现→应用”，经历自主探索、分组实验、合作交流等活动形式，以学生为主体，教师创设和谐，愉悦的环境，辅以适宜的引导。同时运用计算机演示教学内容，提高教学的交互性与直观性，打破教学常规，提高课堂效率。【教学流程】本节课设计了七个教学环节：教学准备；创设情境，激发爱好；分组实验，获取数据；合作交流，探究新知；巩固训练，发展思维；归纳小结；作业布置。【教学准备】以2人合作小组为单位准备图钉。【教学过程】一、创设情境，激发爱好。活动内容：教师首先设计一种情景对话：以小军和小凡玩抛图钉游戏为背景展开交流，引出钉尖朝上和钉尖朝下的可能性不同的猜想，进而产生通过实验验证的想法。活动目的：培养学生猜想游戏成果的能力，并从中初步体会实验成果可能性有可能不同。让学生体会猜想成果，这是很重要的一步，我们所学到的诸多知识，都是先猜想，再通过多次的实验得出来的。并且由此引出猜想是需通过大量的实验来验证。这就是我们本节课要来研究的问题。实际教学效果：学生在一种开放的环境下对生活中存在的问题进行猜想，事实上，学生对游戏的公平性进行猜想的过程，就已经开始体会事件发生的可能性有大有小，这就为下一环节用实验估算事件发生频率打好基础。同时简短对话易于快速引入新课，利于课堂环节的衔接。二、分组实验，获取数据。活动内容：参考教材提供的任意掷一枚图钉，出现钉尖朝上和钉尖朝下两种成果，让同窗猜想钉尖朝上和钉尖朝下的可能性与否相似的情境，让学生来做做实验。请同窗们拿出准备好的图钉：（一）两人一组做20次掷图钉游戏，并将数据统计在下表中：实验总次数钉尖朝上次数钉尖朝下次数钉尖朝上频率（钉尖朝上次数/实验总次数）钉尖朝下频率（钉尖朝下次数/实验总次数）介绍频率定义：在n次重复实验中，不拟定事件A发生了m次，则比值称为事件发生的频率。（二）累计全班同窗的实验成果，并将实验数据汇总填入下表：实验总次数n204080120160200240280320360400钉尖朝上次数m钉尖朝上频率m/n活动目的：通过分组实验让学生体验不拟定事件发生的可能性的发现过程，验证之前的猜想。当实验的次数较少时，规律不明显，甚至与开始的猜想有矛盾，让学生动脑得出造成这种成果的因素是实验的次数不够，培养学生发现问题、解决问题的能力。从而使学生自发地把全班实验的成果都统计出来，学会进行实验和收集实验数据。分组实验也能够培养学生的合作精神和探索意识，激发学生形。从大胆猜想到验证猜想最后总结规律的数学思考过程。实际教学效果：学生通过这一环节对不拟定事件发生的频率的发现过程有了全方面地认识，通过实验进一步使学生明确钉尖朝上和钉尖朝下的频率大小，领略数学是来源于生活，进一步理解不拟定事件的特点，发展随机观念，培养求真意识；在动手操作的过程中认识到频率的稳定性。三、操作交流，探究新知。活动内容：（1）请同窗们根据已填的表格，完毕下面的折线统计图。（2）小军共做了400次掷图钉游戏，并统计了游戏的成果绘制了下面的折线统计图，观察图像，钉尖朝上的频率的变化有什么规律？结论：在实验次数很大时，钉尖朝上的频率都会在一种常数附近摆动，即钉尖朝上的频率含有稳定性。活动目的：通过绘制折线统计图的过程，使学生进一步对数据进行解决，观察形象直观的统计图进而得出结论，突出本节课的重点。学生分组讨论议一议的两个问题，进一步加深对频率稳定性的认识，初步体会用频率能够预计事件发生的可能性的大小。实际教学效果：学生通过小组之间的合作、交流，绘制折线统计图，使学生学会独立解决数据。通过观察图象分析，产生初步判断。再通过共同观察幻灯片上的折线图进一步验证猜想，为回答接下来的议一议做好准备。在议一议中，学生对1，2问题快速做出回答。学生通过小组讨论交流后得出结论，培养了学生的语言组织能力和体现能力。通过数学史实的介绍，让学生理解数学知识产生的背景，增加见闻，培养学习数学的爱好。四、巩固训练发展思维。活动内容：问题1．某射击运动员在同一条件下进行射击，成果以下表：射击总次数n1020501002005001000击中靶心次数m9164188168429861击中靶心频率m/n（1）完毕上表；（2）根据上表画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图；（3）观察画出的折线统计图，击中靶心的频率变化有什么规律？问题2：某林业部门要考察某种幼树在一定条件的移植成活率，应采用什么具体做法？在同样条件下，大量地对这种幼树进行移植，并统计成活状况，计算成活的频率。如果随着移植棵数n的越来越大，频率越来越稳定于某个常数，那么这个常数就能够被当作成活率的近似值。（1）下表是统计实验中的部分数据，请补充完整：移植总数（n）成活数（m）成活的频率10502704007501500350070009000140008472353696621335320363358073126280.80________0.871________________0.8900.915________________0.902（2）由下表能够发现，幼树移植成活的频率在左右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律更加明显。（3）林业部门种植了该幼树1000棵，预计能成活_______棵。（4）我们学校需种植这样的树苗500棵来绿化校园，则最少向林业部门购置约_______棵。问题3．某厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法拟定多个颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生，并在调查到1000名、名、3000名、4000名、5000名时分别计算了多个颜色的频率，绘制折线图以下：（1）随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？（2）你能预计调查到10000名同窗时，红色的频率是多少吗？（3）若你是该厂的负责人，你将如何安排生产多个颜色的产量？数学理解：抛一种如图所示的瓶盖，盖口向上或盖口向下的可能性与否同样大？如何才干验证自己结论的对的性？活动目的：设立问题1重要是衔接本节课的探索实验题，使学生形成分析数据、计算数据、绘制表格、归纳总结的数学思维，同时进一步体会频率的稳定性。本题难度不大，适合学生独立完毕后展演。问题2幼树移植成活率是实际问题中的一种概率问题，也是反映频率稳定性的典型题。这个实际问题中的移植实验不属于多个成果可能性相等的类型，因此成活率要由频率去预计。先由学生讨论出，幼树移植成活率不属于多个成果可能性相等的类型，因此成活率要由频率去预计。接着计算出上述表格中的空缺（成活的频率），观察表格，根据成活的频率那一组数所稳定到的那个常数，得出幼树移植成活的频率，进而用这个频率来预计幼苗成活的可能性的大小。问题3设计了一种学生生活中经常使用的笔袋问题，贴近学生生活。给出折线统计图，避免了繁琐的计算和绘图过程，节省了学生答题的时间，提高了课堂教学的效率。本题设立了复式折线统计图的形式，拓展了题型，丰富了本节课的教学内容。本题采用独立思考后抢答的形式进行，有助于活跃课堂氛围，激发学习爱好。数学理解是考察学生设计实验解决问题的能力，本题与抛图钉问题类似，有助于检查教学效果。实际教学效果：学生独立完毕第一题后教师设计展演环节。可分别让各个层次的学生运用实物投影展示第一题的完毕状况，并点评存在的问题，巩固对频率稳定性的认识；问题2重要以学生讨论为主，体现小组合作意识，培养合作交流的能力，完毕进一步的巩固；问题3的设立体现递进性，拓展学生思维，体现课堂教学的实用性和高效性。五、回想思考，归纳小结。活动内容：（一）通过本节课的学习，你理解了哪些知识？（二）在本节课的教学活动中，你获得了哪些活动体验？活动目的：对本节课的知识进行回想，师生互相交流如何通过实验的办法来拟定频率的稳定性，及用频率来预计事件发生的可能性的大小。同时总结活动体验，有助于学生积累活动经验，形成良好的数学思考过程。实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，树立对的的随机观念，通过现实世界中熟悉和感爱好的问题，丰富对频率背景的认识，积累大量的活动经验。【第二学时】【教学目的】1．知识与技能：学会根据问题的特点，用统计来预计事件发生的概率，培养分析问题，解决问题的能力；2．过程与办法：通过对问题的分析，理解用频率来预计概率的办法，渗入转化和估算的思想办法；3．情感态度与价值观：通过对实际问题的分析，培养使用数学的良好意识，激发学习爱好，体验数学的应用价值；进一步体会“数学就在我们身边”，发展学生的应用数学的能力。【教学重点】通过对事件发生的频率的分析来预计事件发生的概率。【教学难点】通过对事件发生的频率的分析来预计事件发生的概率。【教学过程】以4人合作小组为单位准备一元硬币，并回想知识点。一、创设情境，激发爱好。活动内容：教师首先让学生回想学过的三类事件，接着让学生抛掷一枚均匀的硬币，硬币落下后，会出现正面朝上、正面朝下两种状况，你认为正面朝上和正面朝下的可能性相似吗？（让学生体验数学来源于生活）。活动目的：使学生回想学过的三类事件，并由掷硬币游戏培养学生猜想游戏成果的能力，并从中初步体会猜想事件可能性。让学生体会猜想成果，这是很重要的一步，我们所学到的诸多知识，都是先猜想，再通过多次的实验得出来的。并且由此引出猜想是需通过大量的实验来验证。这就是我们本节课要来研究的问题（自然引出课题）。实际教学效果：学生在一种开放的环境下对生活中存在的问题进行猜想，并且解说中小组之间互相补充、互相竞争，氛围热烈，使猜想的成果更加精确。事实上，学生对游戏发生的可能性进行猜想的过程，就已经开始体会事件发生的可能性，这就为下一环节用实验验证事件发生的可能性打好基础。二、合作交流，获取数据。活动内容：参考教材提供的任意掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上和正面朝下两种成果，让同窗猜想正面朝上和正面朝下的可能性与否相似的情境，让学生来做做实验。请同窗们拿出准备好的硬币：（一）同桌两人做20次掷硬币的游戏，并将数据填在下表中：实验总次数20正面（壹圆）朝上的次数正面朝下的次数正面朝上的频率（正面朝上的次数/实验总次数）正面朝下的频率（正面朝下的次数/实验总次数）（二）各组分工合作，分别累计进行到20、40、60、80、100、120、140、160、180、200次正面朝上的次数，并完毕下表：实验总次数20406080100120140160180200正面朝上的次数正面朝上的频率正面朝下的次数正面朝下的频率活动目的：一是通过实验让学生体验等可能性事件发生的可能性的发现过程，当实验的次数较少时，折线在“0.5水平直线”的上下摆动的幅度较大，与开始的猜想有矛盾，让学生动脑得出造成这种成果的因素是实验的次数不够，培养学生发现问题、解决问题的能力。从而使学生自发地把全班实验的成果都统计出来，学会进行实验和收集实验数据。二是培养学生的合作精神，通过实验和收集实验数据的过程使学生之间增进感情，并明白团体精神的重要性。实际教学效果：学生通过这一环节对等可能性事件发生的可能性的发现过程有了全方面地认识，通过实验进一步使学生理解事件发生的可能性，领略数学是来源于生活，进一步理解不拟定事件的特点，发展随机观念；在丰富的问题情境中认识到概率是刻画不拟定现象的数学模型。学生在单独一种小组进行实验时各小组之间正面朝上的频率数据差距较大，与猜想产生矛盾，学生对产生的矛盾进行了讨论，最后得出造成这种成果的因素是实验的次数不够，使学生能够自己去发现问题，从而得出把全班各个小组的总实验次数统计出来。接下来对如何把全班的实验的成果都统计出来产生了激烈的争论，使学生树立在学习过程中找到最佳解决方法的思想。三、操作交流，探究新知。活动内容：（一）请同窗们根据已填的表格，完毕下面的折线统计图。正面朝上的频率正面朝上的频率1.01.00.80.80.60.60.50.50.40.40.0.2实验总次数实验总次数1206020408020018016014010012060204080200180160140100（二）观察上面的折线统计图，你发现了什么规律？（三）下表列出了某些历史上的数学家所作的掷硬币实验的数据：实验者投掷次数n正面出现次数m正面出现的频率m/n布丰404020480.5069德∙摩根409220480.5005费勒1000049790.4979皮尔逊160190.5016皮尔逊2400010.5005维尼30000149940.4998罗曼诺夫斯基80640396990.4923表中的数据支持你发现的规律吗？（四）总结新知：1．在实验次数很大的事件发生的频率，都会在一种常数附近摆动，这个性质称为：频率的稳定性。2．我们把这个刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A的概率，记为P（A）。3．普通的，大量重复的实验中，我们惯用不拟定事件A发生的频率来预计事件A发生的概率。（五）想一想：事件A发生的概率P（A）的取值范畴是什么？必然事件发生的概率是多少？不可能事件发生的概率又是多少？必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；不拟定事件A发生的概率P（A）是0与1之间的一种常数。活动目的：突出本节课的重点：通过对事件发生的频率的分析来预计事件发生的概率，并掌握三类事件的概率值。实际教学效果：学生通过小组之间的合作、交流，对不拟定事件发生的频率的分析来预计事件发生的概率。再通过对历史上数学家所作掷硬币实验数据的讨论学生的思维变得更加活跃，为回答接下来的新知应用做好准备。四、新知的应用过程。（一）学以致用。由学生运用刚刚学习的概率的知识解决教材中掷硬币的问题。题目内容：1．由上面的实验，请你预计抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上和正面朝下的概率分别是多少？它们相等吗？（二）牛刀小试。学生运用刚刚学习的由事件发生的频率来估概率解决实际问题，使学生体会数学来源于生活又能解决生活中的实际问题。1．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，成果以下表所示：随机抽取的乒乓球数n1020501002005001000优等品数m7164381164414825优等品率m/n（1）完毕上表；（2）根据上表，在这批乒乓球中任取一种，它为优等品的概率是多少？（3）如果再抽取1000个乒乓球进行质量检查，对比上表统计下数据，两表的成果会同样吗？为什么？（三）是“玩家”就玩出水平。通过让学生自由选择任务难度，实现分层次教学。在好学生的引领下，逐步突出本节课的重点知识。题目内容：1．下列事件发生的可能性为0的是（）。A．掷两枚骰子，同时出现数字“6”朝上。B．小明从家里到学校用了10分钟，从学校回到家里却用了15分钟。C．今天是星期天，昨天必然是星期六。D．小明步行的速度是每小时40千米。2．口袋中有9个球，其中4个红球，3个蓝球，2个白球，在下列事件中，发生的可能性为1的是（）。A．从口袋中拿一种球恰为红球。B．从口袋中拿出2个球都是白球。C．拿出6个球中最少有一种球是红球。D．从口袋中拿出的球恰为3红2白。3．小凡做了5次抛掷均匀硬币的实验，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，他认为正面朝上的概率大概为，朝下的概率为，你同意他的观点吗？你认为他再多做某些实验，成果还是这样吗？超人版1